bài tập phần phương trình mặt phẳng

Phương trìnhmặt phẳng Dạng 2: Biết một điểm thuộc mp và hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp đó... Tìm vectơ pháp tuyến từ 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1)Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

nhận vectơ

làm vectơ pháp tuyến là

Trả lời

( ; ; )

n  A B C

0( ; ; )0 0 0

M x y z

(3;4;1)

n  

 M x y z0( ; ; )0 0 0

( ; ; )

.

Dạng 1

2) Áp dụng:

a) Viết phương trình tổng quát của

mp(α) đi qua điểm A(1; 3; 2) và nhận

vectơ làm vectơ pháp

tuyến

2) Phương trình mp(α) là:

3(x – 1) + 4(y – 3) + (z – 2) = 0

hay 3x + 4y + z – 17 = 0

A x x  B y y C z z 

1)

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

trình tổng quát của mp(P) biết nó đi

qua điểm M(2 ; 5; 3) và song song với

mp(Q): 2x + 3y – z + 1 = 0

Giải

Do (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp

tuyến là

Phương trình mp (P) là 2(x – 2) + 3(y – 5) – (z – 3) = 0 hay 2x + 3y – z – 16 = 0

(2;3; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n                              n



 b r

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình nào

trong các

hình sau

mp có vectơ pháp

tuyến là

Đáp án: Hình 2, Hình 3 và

Hình 4

α



Hình 4

a 

b 

a 

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1) Lập phương trình mặt phẳng () đi

qua điểm M0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và biết 2

không cùng phương có giá song

song hoặc nằm trên ()

Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng () được tính theo công thức:

( ; ; ), ( ; ; )

a  a a a b  b b b

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, a a a, a a a,

n a b

b b b b b b

a 

0( ; ; )0 0 0

M x y z

.

 a b2 3 a b a b a b a b3 2; 3 1 1 3; 1 2 a b2 1

Dạng 2

Cách giải:

Tìm vectơ pháp tuyến

Áp dụng dạng 1 để giải

Biết hai vectơ không cùng phương có giá song song

hoặc nằm trên mp()

Dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp() (tính tích có hướng của 2 vectơ ) :

Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)

On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)

On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =

( ; ; ), ( ; ; )

a a a a b b b b

Thực hành trên máy tính

Casio fx570plus

Ví du:̣ Cho 2 vectơ Tính

Kết quả

,

a b

 

,

a b

 

(1;3;4), =(2;0;5)

a b

 

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1)Lập phương trình mp(ABC), biết

A(1; 1; 3), B(2; 2; 3), C(3; 1; 4)

Giải

Hai vectơ có giá nằm trên mp(ABC) là

Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là

Vậy mp(ABC) có phương trình là

(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 3) = 0

hay x – y – 2z + 6 = 0

2) Lập phương trình mp(α) biết nó đi qua 2 điểm A(1; 2; 0), B(2; 2; 1) và vuông góc với mp(β): 2x + y + z + 3 = 0

Giải

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(ABC) là

Vectơ pháp tuyến của mp(α) là

Vậy mp(α) có phương trình là

– (x – 1) + (y – 2) + (z – 0) = 0

hay – x + y + z – 1 = 0

A

C

B

Tìm vectơ pháp tuyến của mp

Hướng dẫn:

Tìm 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp

(1;1; 0) (2; 0;1)

AB AC







, (1; 1; 2)



 

   

(1; 0;1) (2;1;1)

AB

n







, ( 1;1;1)

n  AB n   



   

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0),

B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương

trình như thế nào? Phương trình này

gọi là phương trình gì ?

Trả lời Phương trình đó là:

hay bc x + ac y + ab z – abc = 0

gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

1

x y z

a  b  c 

Dạng 3

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

3 điểm :

A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 4).

Giải

Áp dụng công thức phương trình mp theo đoạn chắn, ta có phương trình

mp(α) là:

hay 2x + 4y + z – 4 = 0

4 x 8 y 2 z 8

1

2 1 4

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Cho hai mp:

Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến

Điều kiện để ?

Điều kiện để cắt ?

Trả lời

1)

2) cắt

 

 

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

A x B y C z D

A x B y C z D





   

   

 

1 1 1 1

2 2 2 2

; ;

; ;







   1 //  2

 1  2

 1 //  2

  1  2

Hai mp song song, cắt nhau

n k n

                             

 A B C1 ; ; 1 1 k A B C 2 ; ; 2 2

 1 1 1  2 2 2

1 2

; ; ; ;

A B C k A B C

D kD



 





1 2

1 2

n k n

D kD

 



 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1) Xác định m và n để 2 mp sau song

song với nhau:

3x + my – 2z – 7 = 0 và

nx – 2y – z – 9 = 0

Giải

Để 2 mp đã cho song song với nhau thì

ta có:

(3; m; – 2) = 2(n; – 2; – 1 )

hay (3; m; – 2) = (2n; – 4; – 2 )

Vậy

2) Xác định m để 2 mp sau cắt nhau: 3x + my – 2z + 5 = 0 và

6x – 2y – 4z + 7 = 0

Giải

Để 2 mp đã cho cắt nhau thì ta có:

Vậy

3 4;

2

m  n 

1 (3; ; 2) (6; 2; 4)

2

(3; ; 2) (3; 1; 2)m

    

1

m 

Bài tập về nhà

1) Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A(1; 3; 5) và vuông góc với hai mp có

phương trình sau: 3x – 4y + 2z + 1 = 0 và x – 2y + z – 3 = 0

2) Viết phương trình mp biết nó đi tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 4)2 = 9, tại điểm A( 2; 4; 4)

3) Xác định m và n để 2 mp sau song song vơi nhau:

(α): 4x – my + 2z – 3 = 0

(β): nx + 3y – 4z – 5 = 0

4) Tính khoảng cách giữa hai mp song song

(α): 4x + 6y + 2z – 3 = 0

(β): 2x + 3y + z – 5 = 0

.

Phương trình

mặt phẳng

Dạng 2: Biết một điểm thuộc mp và hai vectơ

có giá song song hoặc nằm trên mp đó.

Dạng 3: Phương trình mp theo đoạn chắn

Điều kiện để hai mp song song hoặc cắt nhau

Dạng 1: mp đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 )

và có VTPT n=(A;B;C)

CỦNG CỐ BÀI

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là

( ; ; )

n  A B C

0( ; ; )0 0 0

M x y z



0( ; ; )0 0 0

M x y z

( ; ; )

.

Dạng 1

A x x  B y y C z z 

Lập phương trình mặt phẳng () đi

qua điểm M0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và biết 2

không cùng phương có giá song

song hoặc nằm trên ()

Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng () được tính theo công thức:

( ; ; ), ( ; ; )

a  a a a b  b b b

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, a a a, a a a,

n a b

b b b b b b

a 

0( ; ; )0 0 0

M x y z

.

 a b2 3 a b a b a b a b3 2; 3 1 1 3; 1 2 a b2 1

Dạng 2

Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0),

B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương

trình ? Phương trình này gọi là

phương trình gì ?

Trả lời Phương trình đó là:

hay bc x + ac y + ab z – abc = 0

gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

1

x y z

a  b  c 

Dạng 3

Cho hai mp:

Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến

Điều kiện để ?

Điều kiện để cắt ?

Trả lời

1)

2) cắt

 

 

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

A x B y C z D

A x B y C z D





   

   

 

1 1 1 1

2 2 2 2

; ;

; ;





   1 //  2

 1  2

 1 //  2

  1  2

Hai mp song song, cắt nhau

n k n

                             

 A B C1 ; ; 1 1 k A B C 2 ; ; 2 2

 1 1 1  2 2 2

1 2

A B C k A B C

D kD



 





1 2

1 2

n kn

D kD

 



 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tìm vectơ pháp tuyến từ 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt

phẳng.

* Dùng công thức:

* Hoặc dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp

Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)

On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)

On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =

, a a , a a a, a

n a b

 

  

rp MT