Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.. Viết PT mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng P1 và P2.. Viết PTMC S có tâm nằm trên đờng thẳng d, tiếp xú
Trang 1MOÄT SOÁ BAỉI TAÄP MẶT CẦU
1 Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu, khi đó chỉ rõ
toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết:
a) ( )S :x2 + y2 +z2 − 2x− 4y+ 6z+ 2 = 0b) ( )S :x2 +y2 +z2 − 2x+ 4y− 2z+ 9 = 0
c) ( )S :3x2 +3y2 +3z2 −6x+3y−9z+3=0d) ( )S : −x2 −y2 −z2 + 4x+ 2y− 5z− 7 = 0
e) ( )S :2x2 + y2 + z2 −x+ y−2=0
2 a/Lập phơng trình mặt cầu tâm I(2; 2; -3) bán kính bằng 3
b/Lập PTMC đi qua điểm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I Ox∈ ĐS: (x−10)2+ y2 +z2 =50
3 Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; -1) và tâm I(1; 2; -1).
4 Cho hai điểm A(-5; -1; 2), B(3; -1; -4) Viết phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
5 Lập phơng trình mặt cầu (S) biết:
a Tâm I(2; 1; -1), bán kính bằng 4 b Đi qua điểm A(2; 1; -3) và tâm I(3; -2; -1)
c Qua điểm A(1;3;0) , B(1;1;0) và tâm I Ox∈ d Đờng kính là A(−1;2;3) , B(3;2; 7− )
6 Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(0;1;0 ,) (B 1;0;0 ,) (C 0;0;1) và tâm I nằm trên mặt phẳng (P): x y z+ + − =3 0 ĐS: x2 + y2 + +z2 2x+2y+2z− =1 0.
7 Cho mặt cầu (S) có phơng trình: x2 + y2 + −z2 2x−4y−4z =0
a Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu
b Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm (khác gốc toạ độ) của mặt cầu với các trục Ox, Oy, Oz Viết phơng trình mặt phẳng (ABC)
c Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (ABC) Xác định toạ độ điểm H ĐS: a Tâm I(1;2;2), R=3; b 2x+y+z-4=0; c H 1 5 5; ;
3 3 3
8 Cho họ mặt cong ( )S m có phơng trình( )S m : x2 + y2+ −z2 2m x2 −4my+8m2 − =4 0
a Tìm điều kiện của m để ( )S m là một họ mặt cầu
b CMR tâm ( )S m luôn nằm trên một parabol (P) cố định trong mp Oxy khi m thay đổi
ĐS: a.( )S m luôn là phơng trình mặt cầu với mọi m; b Tâm I m∈( ) :P y2 =4x
ĐS: b 4; c ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z =
d Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều ( )d1 và ( )d2
9 Viết phơng trình mặt cầu (S) biết:
a Tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 3x-4y-10=0
b Bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x+2y+z+3=0 tại điểm M(-3; 1; 1)
a.( ) (2 ) (2 )2
10 Viết phơng trình mặt cầu (S) biết:
a Tâm I (1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x-3y+2z-11=0
b Bán kính bằng 9 và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1; 1; -3)
c Tâm I (1; 4; -7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x+6y-7z+42=0
11 Cho (d): 0
1
x t
z
=
= −
và hai mặt phẳng ( )P1 : 3x+ 4y+ = 3 0, ( )P2 : 2x+ 2y z− + 39 0 =
Trang 2Viết phơng trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( )P1 ; P2
x y− z+
= = , ( )P1 :x+ −y 2z+ = 5 0, ( )P2 : 2x− + + =y z 2 0
a Gọi A, B là giao điểm của (d) với ( )P va P1 `( )2 Tính độ dài đoạn AB
b Viết PT mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )P1 và ( )P2
13 Cho đờng thẳng (d) (d): 1 2
x− y+ z
= = và mặt phẳng (P): 2x+ −y 2z+ = 2 0 Viết PTMC (S) có tâm nằm trên đờng thẳng (d), tiếp xúc với mạt phẳng (P) và có bán kính bằng 1
ĐS: ( ) ( ) (2 ) (2 )2 ( ) 8 2 9 2 1 2
ữ ữ ữ
14 Cho mặt phẳng (P): 16x− 15y− 12z+ 75 0 =
a Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ, tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S)
c Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P)
ĐS: a x2 + y2 +z2 =9, b 48 45 36; ;
25 25 25
96 90 72
; ;
25 25 25
15 Lập phơng trình mặt cầu (S) có tâm tại giao điểm I của mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d)
sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20π , biết:
( ) : 31 , ; ( ) : 2 3 0; ( ) : 2 2 1 0
2
= − +
= − +
16 Trong khụng gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; ;1) và mặt phẳng (P):
x+y+z-2=0 Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và cú tõm thuộc (P).(ĐH D04-05) ĐS: (x− 1) 2 + y2 + − (z 1) 2 = 1
17.1 Tớnh khoảng cỏch từ mặt phẳng (P): 2x+2y-2z+15=0 đến mặt cầu (Q):
x + y + −z y z+ − =
2 Viết PT đường thẳng (d) đi qua tõm của (Q) và vuụng gúc với (P).(ĐH An Giang A00-01)
18 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm I(0; 1; 2), A(1; 2; 3), B(0; 1; 3).
1 Viết phương trỡnh của mặt cầu (S) tõm I qua điểm A
Viết phương trỡnh của mặt phẳng (P) qua điểm B cú vectơ phỏp tuyến là (1; 1; 1)
2 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn (C)
3 Tỡm tõm và bỏn kớnh của (C) (ĐH Đà Lạt A, B01-02)
19 Cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh 2 1
2
z t
= −
= −
= +
và mặt phẳng (P): 2x-y-2z-2=0
Trang 31 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), tâm cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3
2 Viết PTmp (R) qua đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất (ĐH Lâm Nghiệp 01-02)
20 Cho mặt cầu (S):x2 + y2 + −z2 2x−4y−6z− =11 0và mặt phẳng (P): x-2y+3z-20=0
1 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)
2 Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P)
3 Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C), hãy tìm tâm và bán kính của (C)
4 Gọi tâm hình cầu là I, tìm điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (P) (Viện ĐH Mở HN 01-02)
21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình: x-y-z+m=0
(m là tham số) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 +y2 + −z2 6x−2y−4z =0
1 Hãy xác định tọa độ tam và bán kính của mặt cầu (S)
2 Xét vị trí tương đối của (S) và (α) tùy theo giá trị của tham số m
3 Tìm tọa độ các giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 6; 2), B(7; 0; -1) và viết PT của các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó (ĐH DL KTCN D01-02)
22 1 Cho (P1): 3x+4y-5z+a=0 Tìm a để (P1) tiÕp xúc với mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 =1
2 LậpPTMC có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P2): x-y+z-5=0.(CĐ GTVT 01-02)
23 Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu (S): (x+ 1) 2 + − (y 2) 2 + − (z 2) 2 = 9
1 Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M(1; 3; 4)
2 Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Xác định tâm và tính bán kính của (C)
3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm N(4; 7) (CĐ SP Đồng Nai A01-02)
24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S): x2 + y2+ z2 =4 và mặt phẳng (P): x+z=2
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến giữa (P) và (S)
(ĐH Thủy Lợi A00-01) ĐS: 1 tâm (1; 0; 1), bán kính 2; 2 (C1): {2x2-4x+y2=0; z=0}
25 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + −z2 6x+ 4y− 2z+ = 5 0 và mặt phẳng (P): x+2y+2z+11=0
1 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)
2 Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là lớn nhất
(ĐH Thủy Lợi cơ sở II 00-01) ĐS: 1 Tâm (3; -2; 1), bán kính 3; 2 M(2; -4; -1)
26 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song
( ) : 2P x y− +2z− =1 0; ( ) : 2P x y− +2z+ =5 0 và điểm A(-1; 1; 1) nằm trong khoảng
Trang 4giữa hai mặt phẳng đó Gọi S là mặt cầu bất kì qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1), (P2)
1 Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu S là một hằng số và tính bán kính đó
2 Gọi I là tâm của hình cầu S Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố định Xác định toạ độ của tâm và bán kính của đường tròn đó
(ĐH QGHN & HV Ngân Hàng A01-02)
27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A
trùng với gốc O; B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm của hình vuông ADD’A’
1 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N
2 Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A’, B, C’, D
3 Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (CMN)
(ĐH SPHN B, D00-01) ĐS: 2 2 2 5 1 5
1 0
x +y + −z x− y− z+ = ; 2 14
19; 3 14
4
(CĐSP TP.HCM 01-02) ĐS: 2 4; 3 (S) có tâm (2; 1; 2) và bán kính 2.
28 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + −z2 2x−4z− =4 0 và ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(-1; 2; 1) nằm trên mặt cầu đó
1 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C
2 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)
3 Tìm tâm và bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(DHDL Hải Phòng A00-01)
29 Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz lấy các điểm A(a; 0; 0), B(0; b;
0), C(0; 0; c) trong đó a>0, b>0, c>0 và 1 1 1 2
a b c+ + =
1 Chứng minh rằng khi a, b, c thay đổi mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định đó
2 Tìm tâm, tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC và chứng minh rằng:
4 < ≤r 2( 3 1)
+