phương trinh mặt cầu

2 Chứng minh rằng mp cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn mà ta kí hiệu là C.. Tìm toạ độ tâm và bán kính của C.

1 Phương trình mặt cầu

a) Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R.

O x

y

z

I R

( ; ; ) ( )

( ) (2 ) (2 ) 2

x a− + y b− + −z c = R

⇔

x a− + y b− + −z c = R

IM = R

( )1

Phương trình gọi là phương( )1

trình của mặt cầu.

b) Xét phương trình có dạng:

x + y + z + Ax + By + Cz D+ = ( )2

( ) (2 ) (2 ) 2 2 2 2

x A+ + +y B + +z C = A + B + C − D

PT (2)⇔

I(-A; -B; -C)

Tâm:

Bán kính: R = A2 + B2 + C2 − D

Chú ý: Phương trìnhA x( 2 + +y2 z2 ) + 2Bx + 2Cy + 2Dz E+ = 0

với điều kiện A ≠ 0; B2 + C2 + D2 − AE >là phương 0

trình của một mặt cầu.

Vậy, (2) là phương trình của một mặt cầu

A B C D

Ví dụ:

Tìm tâm I và bán R của các mặt cầu có PT sau:

a) x2 + y2 + z2 = R R2 ( > 0)Tâm: I(0;0;0) Bánkính: ; R

b) x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 6z + = 5 0

Ta có:

I(-2;1;-3)

Vậy, mặt cầu đã cho có:

Tâm:

Bán kính: 2 ( ) 2 2

2 Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Trong Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu (S) có( )α

phương trình:

( )α : Ax By Cz D+ + + = 0

( ) ( ) (2 ) (2 ) 2 2

:

S x a− + −y b + −z c = R

Ta có:

IH = d I( ,( )α ) = Aa Bb Cc D2 2 2

A B C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S)

trên mặt phẳng ( )α

I R

H

IH R

∗ > ( ) ( )α I S = ∅

α

I R H

IH R

H: gọi là tiếp điểm

( )α

: gọi là tiếp diện của (S) tại H

{ }H

( ) ( )α I S =

⇒

⇒

I H

( )C

R

IH R

Suy ra, (C) có phương trình:

Tâm là điểm:

Bán kính:

M

r

2 2

r = R − IH

Vậy, hệ phương trình:

( ) (2 ) (2 ) 2 2

0

Ax By Cz D

x a y b z c R







là PT của một đường tròn ⇔ d I( ,( )α ) < R

H

( ) ( )α I S =

⇒

Đặc biệt:IH = 0 ⇒ ( ) ( )α I S = C I R( );

( ) (2 ) (2 )2 2

0

Ax By Cz D

x a y b z c R







Bài tập áp dụng:

và mặt cầu (S)

Bài 1: Trong Oxyz, cho mặt phẳng

( ) ( ) 2 2 2

x y z

S x y z x y z

có phương trình:

( )α

1) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Giải:

I(6;-2;3)

Vậy, mặt cầu đã cho có:

Tâm:

Bán kính:R = 5

( ) (2 ) (2 )2 2

x − + +y + −z =

1) Ta có: ( )S x: 2 + + −y2 z2 12x + 4y − + 6z 24 0 =

⇔

2) Chứng minh rằng mp cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn mà ta kí hiệu là (C) Tìm

toạ độ tâm và bán kính của (C).

( )α

Giải:

Ta có: d I( ,( )α ) = 2.6 2 2 1.3 1 12( )

4 3

4 4 1

Suy ra:( ) ( ) ( )α I S = C

Gọi (d) là đt đi qua I(6;-2;3) và vuông góc với( )α

( 2;2;1)

nr =

Suy ra, (d) nhận Suy ra, PTTS của (d) là:

6 2

2 2 ; 3

y t t R

z t

= +



 = − + ∈



 = +



Gọi H là tâm của đường tròn (C)⇒

x = y = − z =

{ }H = d I ( )α

Giải hệ gồm phương trình của (d) và mp( )αta được:

Suy ra: 10 ; 14 5;

H  − 

Gọi r là bán kính của đường tròn (C), ta có:

r = R2 − IH 2 = 25 16 3 − =

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;1)

và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α : x + 2y − + = 2z 5 0

Giải:

Bán kính của mặt cầu là:

R = d I( ,( )α ) = 2 2 2 5 1

1 4 4

− + − +

= + +

Vậy, mặt cầu (S) có phương trình là:

( ) (2 ) (2 )2

x + + −y + −z =

Bài 3: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) có PT:

Giải:

( ) (2 ) (2 ) 2 2

x − + −y + +z = Suy ra, tâm của (S) là:

Ta có: x2 + + − −y2 z2 6x 2y + + = 4z 5 0

⇔

I(3;1;-2)

Tiếp diện của mặt cầu (S) tại M(4;3;0) đi qua M(4;3;0)

và nhậnIMuuur = (1;2;2)làm VTPT

Vậy, phương trình tiếp diện là:

1 x − + 4 2 y − + 3 2 z − = 0 0

2 2 10 0

⇔

Bài 4: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

biết tiếp diện song song với mp( )α : 3x − 2y + + = 6z 14 0

Giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R = 5

Gọi là mặt phẳng song song với ( )β ( )α

Suy ra, mp( )βcó dạng:3x − 2y + + = 6z D 0, D ≠ 14

( )β

là tiếp diện của (S)⇔ d I( ,( )β ) = R

⇔ D + = 7 35 ⇔  = −D D = 2842

Vậy, có hai tiếp diện thoả mãn bài toán:

( )β : 3x − 2y + + 6z 28 0; = ( )β : 3x − 2y + − 6z 42 0 =