Bài giảng Phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ .... Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ §1.. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phần này đề cập đến việc giải các phương trình l

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014

Mục lục

Chủ đề 1 Một số kiến thức chung 1

§1 Các phương trình lượng giác cơ bản 1

§2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 14

Chủ đề 2 Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ 23

§1 Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản 23

§2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 31

§3 Phép đặt ẩn phụ tan 2 x t  39

§4 Phép đặt ẩn phụ t = tanx 43

Chủ đề 3 Phương trình tích 45

 Điều kiện có nghiệm: m   1;1

 Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1, ta có

π 2 arcsinm

O m y

 Điều kiện có nghiệm: m   1;1

 Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1,

ta có

(2)  x arccosm2k  (k  )

π y=cosx

-1

1

π 2 arccosm O

m y

x

Hình 2

Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình (2) (Hình 2) Ta thấy với mỗi 

 1;1

m   , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất

3 Phương trình cơ bản đối với tan

Xét phương trình

tan xm (3) Với mọi m , (3) có nghiệm và

phương trình (3) (Hình 3) Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m

luôn tồn tại duy nhất

y=tanx

arctanm

- π 2

π 2 O

m y

arccotm m

 sinf x sing x      

22

Ta thấy cos 2x 0 không thỏa mãn phương trình Chia hai vế phương trình cuối cũng cho

cos 2x , ta được phương trình tương đương

cos sin cos

cos sin cos sin 0tan 2 arctan 2

a) sin 3 sin5 cos

b) sin 4 sin 7x xcos 3 cos 6x x

c) 4sin sin 2 sin 3x x xcos 4xsin 4xsin 6 x cos 2 x0

4sin sin 2 sin 3 2 cos 3 cos sin 3

2sin 3 cos 3 2 sin 3 xcossin 6 sin 4 sin 2

a) sin 3x1 cos 4 xcos 3 sin 4x x

b) cos 3xsin 2xcos 2xsin 3 x sin 2 xcos 2x0

Giải

26

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm điều kiện

(2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của

phương trình là là:

726

1

1 O

b) Điều kiện: cosx 0 

x x

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (4) trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một

trong hai điều kiện (1), (2) (điểm được khoanh trắng), ta

được các họ nghiệm của phương trình là:

8 +2kπ y

x -1

-1

1

1 O

Chú ý Khi biểu diễn họ x 2k

 Một điểm trong trường hợp n 1

 Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị 2

2

k 

 với k 0, 1

 n điểm tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh trong trường hợp n 3 n điểm

này là các điểm biểu diễn giá trị 2k

-1

1

1 O

n 2

y

x -1

-1

1

1 O

n 3

y

x -1

-1

1

1 O

cos sin cos sin cos sin sin

 

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) cos cos 7 sin 2

x x

e) sin 2xtanx1 sin 2 tan 2 x x ĐS: 4 2

§2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Chia hai vế của (1) cho 2 2

A B , ta được phương trình tương đương:

Nếu chọn 0; 2 để:

2 2

2 2

cossin

Nếu chọn 0; 2 để:

2 2

2 2

cossin

Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp

Áp dụng điều kiện có nghiệm với phương trình (3), kiểm tra điều kiện (4) để loại bớt những giá trị của m Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S

6

.6

5

22

)4

2

)2

a) 2 2 sin cosx xsinxcosx 0

b) [ĐHD09] 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx 0

4

4

k x

3 1cos 5 sin 5 sin

3 cos 5 sin 5 2 sin

Nhận xét Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất Việc giải phương trình

này liên quan đến việc rút gọn biểu thức dạng AsinBcos

Ví dụ 4 Giải các phương trình

a) 3 sin cos 2 1

2 cos

x x

2sin 1

x x

22

c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 sin cos 1

     a23a   2 0 1 2

2 a

  

S  

Ví dụ 6 Cho phương trình 2sin2 xsin cosx xcos2xm

a) Giải phương trình khi m  1

b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm

Giải Phương trình đã cho tương đương với

1 cos 2  1sin 2 1 cos 2 sin 2 3cos 2 1 2

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x ĐS: Vơ nghiệm

b) sinxsin 2x 3 cos xcos 2x ĐS:   k2 , 2 2

, 56

3 k





 b)

Bài 3 Chứng minh rằng 2 sin 2 cos 1 1

a) Với m 1 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

Chủ đề 2 Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ

§1 Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn giản: tsinx, sin

t , ttan 2x, … Các công thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:

 Một số công thức “quy về sin”

cos sin sin

 Một số công thức “quy về cos”

x

 

B CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Giải các phương trình

526

1

6sin

2

7

)

26

32

(1

1

arcsin 2cos

9

77

cos 5 1 cos 5 cos 4 0 14 cos 5 cosx 1 0

a) [ĐHD06] cos 3xcos 2xcosx 1 0

b) [ĐHD02] cos 3x4 cos 2x3cosx 4 0, x 0;14

, 52



, 72

32

)

26

a) Điều kiện: 2 cos 3 2

6sin

2

726

7sin

22

cos

x x

2

726

4 cos 4 cos 3cos 3 0 4

Vậy các họ nghiệm của phương trình là

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) [ĐHD13] sin 3xcos 2xsinx0 ĐS:



Bài 2 Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn 1;70 của phương trình

3 2 2

2 sin xcos x cos 4x2 sin 2x m  có ít nhất một 0

nghiệm thuộc đoạn 0;

§2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức:

 tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos );

 hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ),

ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:

a) 3 sin xcosx2 sin cosx x 3 0

b) sin 2x4 cos xsinx4

c) sinxcosx 4 sin 2x1

4 sin 2 1

t

t x



22



22

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin 2x4 cos xsinxm (1)

Giải Đặt

2

2; 2sin cos 2 sin

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) sin 2x12 sin xcosx120 ĐS: 2

Xét các phương trình lượng giác có thể đưa được về dạng

sin ; cos ; tan ; cot 0

Để giải (1) ta có thể làm như sau:

 Tìm nghiệm thỏa mãn cos 0

2sin11

12

1cot

t x t t

x t

x t

2 Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc nhất đối với sin, cos )

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

sin cos

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 (A2B2  ) 0

Với cách đặt ẩn phụ như đã trình bày trong phần nguyên tắc chung, từ (3) ta thu được phương trình

 

2 2

2 2

2sin11

12

1cot

t x t t

x t

x t

2sin

11

12

1cot

t x t t

x t

x t

2

01

Bài 4 Tìm m để phương trình msinxm1 cos x 3 2m có nghiệm thuộc đoạn 0;2

§4 Phép đặt ẩn phụ t = tanx

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp ( n   ) sao cho sau khi chia *

hai vế của phương trình cho cosn x ta thu được phương trình mới có dạng f tanx  0 Quá

trình này được thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin tan

1tan 1cos x  x

sin x0  (vì x sin x, cos x không thể đồng thời bằng 0)

Do đó những giá trị của x mà cosx 0 không phải nghiệm của phương trình Chia hai vế của phương trình cho 2

cos x ta được phương trình tương đương

sin x tanx1 3sinx cosxsinx 3

Giải Chia hai vế của phương trình cho cos x ta được phương trình tương đương 2

Giải Thay cosx 0 vào (1) ta có 2

sin xm Do đó ta xét hai trường hợp sau

 m 1: những giá trị của x làm cho cosx 0 là nghiệm của  1  (1) có nghiệm

 m 1: những giá trị của x làm cho cosx 0 không là nghiệm của (1) chia hai vế của (1) cho cos x ta được phương trình tương đương 2

       

2

2 tan 1

Bài 1 Giải các phương trình sau

Chủ đề 3 Phương trình tích

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng phương trình tích Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung, phương trình lượng giác nói riêng

Để đưa một phương trình về dạng tích, ta áp dụng một trong các phương pháp sau

 Công thức biến tổng thành tích;

 Nhóm các số hạng có mặt trong phương trình một cách hợp lý;

 Sử dụng các hằng đẳng thức đại số, hằng đẳng thức lượng giác;

 Nhẩm nghiệm

Sau đây là một số đẳng thức lượng giác hay sử dụng trong phần này

o sin sin 2 sin cos

cos x 1 sin x 1 sin x

o sin 2x2sin cosx x

o cos 2xcosxsinxcosxsinx

1 sin 2 x sinxcosx

o 1 sin 2 xsinxcosx2

o 1 tan cos sin

a) sin 3xsinxcosx0

b) cosxcos 2xcos 3xcos 4x0

c) sinxsin 5x2 sin 3x0

d) sinxsin 2xsin 3x 1 cosxcos 2x

Giải

a) Ta có

12sin 2 cos cos 0 2 cos sin 2 0

2 cos cos cos 0 4 cos cos cos 0 cos 0

cos 02

x

x

x k

d) Ta có

PT sinxsin 3xsin 2x1 cos 2 xcosx

2sin 2 cosx x2sin 2x2 cos2 xcosx

cos3 0cos 2 0 2

cos 0

k x

a) sinxsin2 xsin3xcosxcos2 xcos3x

b) sinxsin2 xsin3xsin4xcosxcos2xcos3 xcos4x

22

2 cosx1 2 sin xcosxsin 2xsinx (1)

Giải Ta có sin 2xsinxsinx2 cosx1 Do đó

(1)  2 cosx1 2 sin xcosxsinx2 cosx1

 2 cosx1 sin xcosx0  2 cos 1 0

2tan 1



234

Ví dụ 5 [ĐHB05] Giải phương trình: 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0 (1)

Giải Ta có: 1 sin 2 xsinxcosx2, cos 2xcosxsinxcosxsinx

Do đó (1)  sinxcosx  sinxcosx2cosxsinxcosxsinx 0

 sinxcosx1sinxcosx  cosxsinx0

 sinxcosx2 cosx10  sin cos 0

2

x x

 sinx1 cos x1 2 cos x10 

1cos

2

x x

k x

sin xcos x 2 sin 2 x sin 3x

Lại có sin4 cos4 1 1sin 22

k x

sin xsin cosx x2 sinx  sinxcosx2  0

 sinxsinxcosxsinx  sinxcosx20

 sinx1 sin xcosxsinx0   

Vậy nghiệm của (1) là 2

2cos 1 cos 3sin

Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1

Nhận xét Đối với phương trình có dạng

 

2 2

sin cos sin cos sin cos 0 1

với a , b là các số không đồng thời bằng 0, việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp

Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin, cos ) ta có một cách làm khác như sau: Coi  1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x; hoặc coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x, giải sin x theo cos x

C BÀI TẬP

Giải các phương trình sau

a) sin 3xsinxsin 2x0 ĐS: k  ,  2 

k

c) ͙cosxcos 3x2 cos 5x0

f) sin 32 xsin 22 xsin2 x 0 ĐS:

w) [ĐHD11] sin 2 2 cos sin 1 0