phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳnga.. Véc tơ pháp tuyến vtpt của mặt phẳng: Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α nếu giá của vuông góc với mp α... b Phương trình mặt p

Nhiệt liệt chào

về dự giờ thăm lớp

Tại lớp 12A10 TRường THPT đông sơn

i

Cho ®iÓm A(0,1,1), B(1,-2,0), C(1,0,2)

a) TÝnh

b) Cho biÕt mèi quan hÖ gi÷a víi vect¬

KiÓm tra bµi cò

,

AB AC

uuur uuur

,

uuur uuur

AB AC uuur uuur AB AC , ?

1 Phương trình mặt phẳng

a Véc tơ pháp tuyến (vtpt) của mặt phẳng:

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của vuông góc với mp ( α ).

Chú ý:

1 Nếu là vtpt của ( α ) thì cũng là vtpt

của ( α ).

2 Nếu ( α ) // ( β ) thì vtpt của mp này cũng là vtpt của

mp kia.

0

n ur ur ≠

Mỗi mặt phẳng cho trước có bao nhiêu vtpt? Các vectơ

đó có quan hệ với nhau như

thế nào?

n

ur

Em có nhận xét gì

về vtpt của hai mp

song song ?

b) Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) đi qua M(xo,yo,zo)

và có vtpt

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc ( α ) là:

Với

Khi đó pt(2) gọi là phương trình tổng quát của mp ( α )

A + B + C >

Trong không gian Oxyz cho mp( α ) đi qua

M(xo,yo,zo) và có vtpt

Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc ( α ) ?

n ur = A B C A + B + C >

n ur = A B C A + B + C >

n M Mur uuuuur⊥ ⇔ n M Mur uuuuur=

α

O

z

M0

nr

M

− + − + − =

= − + +

⇔ + + + =

A x x B y y C z z

D Ax By Cz

Ax By Cz D

Đặt:

VD2 : Cho A( 1;2;-2) và B(1;2;1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng

AB

VD1 : Viết phương trình

mặt phẳng ( α ) đi qua ba

điểm A(0; 1; 1), B(1;-2;0),

C(1; 0; 2)

c) Ví dụ:

B

C

,

n ộAB ACự

= ờở ỳỷ

r uur uuur

Định lý:

Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax+By+Cz+D=0 với

đều là phương trình của một mặt phẳng xác

định

A + B + C >

Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng xác định

đều có phương trình tổng quát dạng: Ax+By+Cz=0 với

Vậy điều ngược lại có đúng không ?

A + B + C >

Trong khoõng gian cho Oxyz cho mp (α)

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

TH 1: D=0

α

x

y

z

O Ax+By +Cz=0

2 Các trường hợp riêng

2 2 2

A B C 0 ( + + > )

Có nhận xét gì

về mp ( α ) và gốc toạ độ O ?

⇔ Mp (α) đi qua gốc toạ độ

TH 2: A = 0

a) By+Cz+D=0

⇔ mp(α) song song hoÆc chøa truïc Ox.

x

y

z

O

i

b) Ax+Cz+D=0 x

y

z

j

x

y

z

c) Ax+By+D=0

k

y O

x

z

α)

Cz+D=0

y By+D=0

x

O

(α

x

y

O (

α

Ax+D=0

; ;

1

a b + + = c

Nếu A , B , C , D ≠ 0 thì bằng cách đặt như sau :

ta có phương trình dạng :

và được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn (Hay nói cách khác phương trình trên là phương mặt phẳng đi qua 3 điểm nằm trên 3 trục Ox , Oy , Oz lần lượt là : (a ; 0 ; 0) , (0 ; b ; 0) , (0 ; 0 ;c))

2 Các trường hợp riêng :

Dạng phương

trình

Vị trí của mặt phẳng

so với các yếu tố cúa hệ toạ độ

Ví dụ 4: Trong không giao Oxyz cho điểm M(30;15;6)

a Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu

của M trên các trục toạ độ

b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm O trêm mp(P)

Bài giải:

a Toạ độ hình chiếu của M trên các trục toạ

độ là A(30;0;0),B(0;15;0),C(0;0;6)

Phương mặt phẳng P qua A,B,C là :

+ + = 1 hay x + 2y + 5z - 30 = 0

30 15 6

b Quan hệ của với vecto pháp tuyến của (P) ? OHuuur nr

6

30

15

C

B

x

y

H

z

Ví dụ 4: Trong không giao Oxyz cho điểm M(30;15;6)

a Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu

của M trên các trục toạ độ

b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm O trêm mp(P)

Bài giải:

b Do H là hình chiếu của O trên (P) nên OH = tnuuur r

Gọi H(x;y;z) thì toạ độ của H thỏa mãn

hệ phương trình :

6

30

15

C

B

x

y

H

x + 2y + 5z - 30 = 0 t = 1

.Vậy H( 1;2;5)

z

cñng cè kiÕn thøc

một VTPT của mp(α) một điểm mp(α) đi qua

n =[ a , b]

n = (A;B;C)

Điền vào dấu

1 Để viết PTTQ của mp(α) ta phải xác định:

2 Hai vectơ không cùng phương a và b có giá song song hoặc nằm trong mp(α) thì mp(α) có một VTPT là:

4 Nếu mp(α) có PTTQ : Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một

VTPT là:

3 PTTQ của mp(α) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận n = (A;B;C)

khác 0 làm VTPT là:

Ghi nhí

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng

đi qua điểm M0 (3;0 ;-1) và song song

với mặt phẳng (Q) có phương trình:

4x -3y +7z +1 = 0

Bài giải

Q

n ( 4;-3; 7 )

P

Mặt phẳng (α)

Qua M0( 3;0;-1)

1vtpt (

4;-3;7)

=> Phương trình (α):

4x – 3y +7z -5 = 0

Xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc sinh