D08 bài toán phụ khảo sát

Xác định tất cả các số nguyên n > 1 thỏa mãn tính chất sau: Với mọi số nguyên k, mà 0 k n  , tồn tại một bội nguyên của n mà tổng các chữ số của bội nguyên đó đem chia cho n được dư là

Câu 3 Cho số tự nhiên A có dạng

Lặp lại quá trình này ta được các số A2 = f A , ( )1 A3 =f A( )2 ,K

a) Chứng minh rằng với số tự nhiên A bất kì, quá trình trên dẫn đến số A k < 20thỏa mãn

( )k = k.

b) Cho =A 192019 Xác định giá trị A sao cho k f A( )k =A k

Lời giải

Khi đó quá trình giảm sẽ dừng tại số A với k A có một chữ số hoặc k A k = 19

b) Ta chứng minh 19 f A∣ ( ) nếu 19 A∣ Xét hiệu

Mỗi số hạng ở vế phải đều chia hết cho 19 nên nếu 19 A∣ thì 19 f A∣ ( ).

Do =A 192019 chia hết cho 19 nên các số A A1, ,2¼ đều chia hết cho 19 Từ đó A k = 19

Câu 4 Cho x y z , , là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2  y2  z2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  6( y z x   ) 27  xyz

Như vậy với A là số tự nhiên có hai chữ số bất kì khác 19 thì f A( ) <A

Nếu A có nhiều hơn hai chữ số thì

Suy ra hàm f x'( ) nghịch biến; ta lại có 1

3

x  và 2

3

y z  Vậy giá trị lớn nhất của P là 10

Chú ý: Có thể giải bài toán bằng cách không sử dung đạo hàm như sau:

Từ và suy ra được chứng minh, tức là được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1;b c 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 10 khi 1

Câu 1 Cho các số 1, 2, 3, , n Chúng ta thực hiện việc xóa hai số bất kì trên bảng và thay bằng

số mới bằng 2 lần tổng của hai số đó Cứ tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi trên bảng chỉcòn lại một số

Chứng minh rằng số cuối cùng luôn lớn hơn

m

m m

Theo nguyên lí quy nạp, (*) được chứng minh.

Vậy số nhận được cuối cùng trên bảng luôn không nhỏ hơn

3

4.9

n

Câu 1: Xác định tất cả các số nguyên n > 1 thỏa mãn tính chất sau: Với mọi số nguyên k, mà

0 k n  , tồn tại một bội nguyên của n mà tổng các chữ số của bội nguyên đó đem chia cho n được dư làk

Lời giải

Gọi S là tổng các chữ số của số nguyên A

Nếu 3 | A thì 3 | S A Vậy 3 |   n

Bài toán trở thành: Cho 3 không chia hết n và k là số nguyên tùy ý Cần dựng ra một bội A của n

sao cho S A kmodn

Vì = 1 nên có s sao cho 9skmod 'n  Chọn t k s  modn, thì t,s thỏa mãn hệ trên

Do đó, n có bội nguyên A sao cho S A kmod n

Vậy n không có ước 3

Câu 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Đặt u là số ánh xạ n f : 1, 2, , n  0,1, 2,3, 4 thỏa mãn

f i  f i  i n Xác định công thức u theo n ? n

Lời giải

Gọi a là số ánh xạ thỏa mãn n f n  Gọi   0 b là số ánh xạ thỏa mãn n f n    1

Gọi c là số ánh xạ thỏa mãn n f n  Gọi   2 d là số ánh xạ thỏa mãn n f n    3

Gọi e là số ánh xạ thỏa mãn n f n  Theo giả thiết ta lập được hệ thức truy hồi :  4

Câu 1. Cho họ đường cong

1:

)(

Chứng minh rằng: Nếu tồn tại a để đường thẳng : y a không cắt họ đường cong (C m)thì họ đường cong có cực đại và cực tiểu

Lời giải

Vì m n 1 nên họ đường cong (C m)có cực đại, cực tiểu khi m n  1

x

n mx x







1

a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến.

b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.

Lời giải

a) Tập xác định: D 

Cần điều kiện: y 3m1x2 6 m1x 4m0,  x

TH1: m  Khi đó 1 y  4 0 (thỏa mãn).

TH2: m  Khi đó 1 y là một tam thức bậc 2 nên y 0,  x khi và chỉ khi

số luôn đi qua 3 điểm cố định

Khi đó tọa độ 3 điểm cố định này thỏa mãn hệ

y x

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình 2 1 1

2) Tìm m để cực đại, cực tiểu của C nằm về hai phía của đường thẳng m 9 – 7 –1 0x y 

Do đó với mọi m thì C luôn có cực đại và cực tiểu lần lượt là m A2;m 4 và B4;m 8.

A, B nằm về hai phía của đường thẳng 9 – 7 –1 0x y  khi và chỉ khi

102

f p

max f x



TH2: p 0 thì

 

 

112

102

f p

q  thoả mãn bài toán

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 1

u I

x m



 ( m là tham số và m  ).2Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong C m mà chúng vuông góc vơí nhau

Lời giải

Gọi M x 0;0 là điểm cần tìm

Đường thẳng ( ) qua M có hệ số góc k có phương trình: y k x x   0

Để ( ) là tiếp tuyến của đường cong thì phương trình sau có nghiệm kép:

Điều kiện cần tìm là:

0 2 2 0

4

12

1 e

n x

x n

x y

Lập được bảng biến thiên

x y

x Tìm điểmM thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường

thẳng 1: 2x y  4 0 và 2:x2y 2 0 là nhỏ nhất.

Câu 1: Cho hàm số y mx  3  3  m  1  x2  9  m  2  x  2 (1) (m là tham số thực) Tìm tất cả

các giá trị của m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1  2 x2  1.

Lời giải

Ta có y' 3 mx2 6(m1)x29(m 2) Hàm số đã cho có 2 cực trị  y' 0 có 2 nghiệm

00

m x m m x





 có đồ thị   C và đường thẳng d: y  2 x m   1 (m là tham số

thực) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng d luôn cắt   C tại 2 điểm phân biệt A B , .

Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến tại A và B của   C Xác định m để



(1) x  1  2x m 1 x2 (vì x  không là nghiệm của pt (1))2

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

Gọi x x là hoành độ của A, B 1, 2  x x1, 2 là các nghiệm của pt (2) Theo định lý Viét ta có

1 2

62

3 22

k x k x

x

Lời giải

Giới hạn bẳng 1/16 ( thêm bớt tử với 2 rồi sử dụng liên hợp để khử dạng vô định 0/0)

Câu 3: Cho hàm số

Vì ( )f x liên tục trên R từ đó suy ra f x Đạt cực điểm tại   x 0.

Câu 1: Cho parabol (P): y2x2(5 m x) 1 và đường thẳng d : y x 2m (m là tham số) Tìm

m để (P) cắt d tại hai điểm A, B phân biệt sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.

Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt   0 m24m44 0 luôn đúng với mọi m

Vậy d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A x 1;x12m B x, ( ;2 x22 )m

với x x là các nghiệm của pt(1) 1, 2 1 2

1 2

6

1 22

m m

4

m m

 



Kết hợp nghiệm, kết luận m   4

Câu 1: Cho parabol (P): y x 2 4 x và đường thẳng (dm): y2x m 1 (m là tham số) Khi (d m)

cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt , tìm tập hợp trung điểm của tam giác AB khi m thay đổi)

Lời giải:

+) (dm ) cắt (P) tại hai điểm A, B (A và B có thể trùng nhau) 13

8

+) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 thì ta có: x1 + x2 = 5, x1.x2 = 3 – 2m

+) x1, x2 cũng là hoành độ giao điểm A, B nên trung điểm I của AB có tọa độ:

Câu 1: Cho phương trình: x2 2( m1)x m 2 3 0 (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 3 2 3 2

)3()1(

1 2 3 2 1 2 2 1 3

2 1 2

Câu 2: Cho (P): y x 22x 3 và các đường thẳng ( d ) : y m 2( m1)x 3m 1 (m là tham

số) Tìm m để (dm ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (dm) và (P) là nghiệm của phương trình:

x  x = 2( m1)x 3m 1  x2 – 2mx +3m – 2 = 0 (*)

(d m ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1  phương trình (*) có hai

nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1>1, x2>1

'

x x ( x )( x )

, giải ra ta có: m > 2 KL: m > 2 thoả mãn yêu cầu.

Câu 1: Cho phương trình x2 2x3m 4 0 (m là tham số) Tìm m để pt có hai nghiệm x x thỏa 1, 2

Câu 2: Cho phương trình x2 2x3m 4 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt cùng thuộc đoạn 3;4

Vẽ bảng biến thiên của hàm số y x 2 2x trên đoạn 3;4

Từ bảng biến thiên để phương trình x2 2x3m 4 0 có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn 3;4 thì 1  3m 4 3

Câu 5: Cho phương trình bậc hai: x2- (m- 1)x+(2m2- 8m+ =6) 0 Tìm m để phương trình có 2

nghiệm Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu 1, 2

( )( ) ( )

= ç ÷çè ø=

Câu 6: Viết phương trình của hàm số bậc hai biết đồ thị là một parabol có đỉnh là A(1; -2) và parabol

chắn trên đường thẳng (d) : y = x + 1 một dây cung MN = 34(đơn vị độ dài)

Lời giải:

y=m x- - m¹Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

ê ê

x x

b) Từ đồ thị trên suy ra đồ thị hàm số yx2  3x2 như hình vẽ 2:

Từ đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là:

2 0

21

9/22

4

m

m m m

Câu 1: Cho hàm số y x  2  3 x  2và hàm số y  x m  Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau

tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độbằng nhau

Lời giải

Cho hàm số y x  2 3 x  2và hàm số y  x m  Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai

điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của đoạn thẳng AB cách đều các trục tọa độ

Yêu cầu bài toán  PT sau có hai nghiệm phân biệt

Từ bảng biến thiên suy ra m 1

Nếu HS thiếu t 1 mà vẫn kết luận m 1 thì trừ 1,0 điểm của câu này

HS có thể đặt g(t) t 2 2t m , xét   1 m

TH1  0, suy ra m 1 , khi đó g t 0 vô nghiệm

TH2  0, suy ra m 1 , gọi t , t là nghiệm, 1 2 g t  0 t1 t t2

Nhận xét t21, suy ra g t 0 có nghiệm thuộc 0;1 khi và chỉ khi

1

t   1 1 1 m 1   m 1 Suy ra m 1

Câu 1. Cho hàm số yx2 2(m1)x 1 m2 (1), (m là tham số)

a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam

giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; 2)

b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6

Giải

a) Cho hàm số yx22(m1)x 1 m2 (1) (m là tham số).

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác

KAB vuông tại K, trong đó K(2; 2)

Phương trình hoành độ giao điểm  x22(m1)x 1 m2  0 x2  2(m1)x m 2 1 0 (2)

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi phương trình (2) có hai

nghiệm phân biệt   ' 0 (m1)2  m2  1 0 2m 2 0 m 1

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x1, 2

Tọa độ các giao điểm A B, là A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ; KA (x1 2;2), KB (x2 2;2)

Dấu " " xảy ra khi x m 1 Giá trị lớn nhất của hàm số là 2m 2

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2m  2 6 m2

Câu 3.

Cho parabol (P) có phương trình y x 2 3x1, đường thẳng dcó phương trình

y m x và điểm M(3;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt

parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M

Lời giải

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2 2(m2)x 1 0 (*)

+ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (vì a c  ).0

Suy ra d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.

Vậy với m  , tam giác MAB vuông cân tại M.2

Câu 4.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 2

1

x x y

1

x x y

2 1 0,(2 1) 1 0,

2 3

1 0(2 1) 4 0(2 1) 36 0

m m m

x x

Suy ra

1

11lim ( )

Câu 1 : Cho hàm số y  f x     m  1  x2  2 mx m   2 (1), m là tham số.

1) Tìm các giá trị của m để phương trình f x    0 có hai nghiệm

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng    ;2 

2) Nếu m  1, thì y  2 x  3, đồng biến trên  Vậy m  1, là một giá trị cần tìm

Nếu m  1, thì hàm số (1) đồng biến trên    ;2 khi và chỉ khi:

1 0

2 1

m

m m

Câu 1 : Cho parabol ( ) : P y ax  2  bx  1

1) Tìm các giá trị của a b ; để parabol có đỉnh 3 11

2) Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt

1sin

Câu 3: Cho hàm số y= -x3 3x2+ có đồ thị ( ).1 C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ), C biết

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :D x+9y= 0

Với a=- 1, phương trình tiếp tuyến là y=9x+ 6

Với a= phương trình tiếp tuyến là 3, y=9x- 26

Câu 1: Cho hàm số 2 4

( ) 1

a

a a

Giao điểm với tiệm cận ngang y  2 là B a   2 1;2 

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

sao cho AB=1

Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ ( )1; 2 và một cực tiểu (0;1)

Câu 1b: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số

( )

2 2

Lời giải

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giới hạn: