Bài tập lớn Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận Chủ đề Câu hỏi phụ khảo sát hàm số

-Phân tích: Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị.. Nếu các em thất bại

BÀI T Ậ P L Ớ N

T Ừ BÀI TOÁN T Ự LU Ậ N

CH Ủ ĐỀ : C Ầ U H Ỏ I PH Ụ KH Ả O SÁT HÀM S Ố

Họ tên sinh viên : NGUYỄN THỊ KIM THOA

Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp : Toán 4T

Mã sinh viên : 13S1011145

Huế, 04/2017

CH Ủ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài toán 1: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟒+ 𝟐𝒎𝒙𝟐+ 𝒎𝟐+ 𝒎 có đồ thị là (𝑪𝒎) Với những giá

trị nào của 𝒎 thì đồ thị (𝑪𝒎) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập

thành một tam giác có một góc bằng 𝟏𝟐𝟎𝟎?

Bài giải:

⇔ 𝑚 < 0

𝐴𝐵

?????⃗ = <√−𝑚;−𝑚&>, 𝐴𝐶?????⃗ = (−√−𝑚;−𝑚&)

𝑚 = − 1

√3

!

!

4 0

4

120

-"""# -"""#

"""# """#

3

1 3

m =

-Phân tích:

Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ

Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị

𝐴𝐵

Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng rằng câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều

thứ cùng một lúc

Nếu các em thất bại ở bước đầu, là học sinh không biết được muốn tìm m để hàm số có

hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ các điểm cực trị, công thức tính cosin góc giữa hai vectơ,

Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của câu hỏi thì học

sinh có thể trả lời được

Sau đây là các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra một số khía cạnh xuất hiện trong bài

toán trên:

Với khái niệm cực trị, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức

như sau:

Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥(+ 2𝑥&+ 3 Hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã

cho là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Muốn làm được câu này, học sinh phải biết được rằng hoành độ các điểm cực trị của

Đáp án là C

Các đáp án nhiễu là A, B rất dễ gây nhầm lẫn cho học sinh vì học sinh thường đạo hàm

kiểm tra kiến thức đó là:

Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥(+ 2𝑚𝑥&+ 2 Giá trị của 𝑚 để hàm số đã cho có ba cực trị là:

Ở câu hỏi 1, ta đã biết rằng hoành độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương là

⇔ 𝑚 < 0

Đáp án là A

Bước tiếp theo của bài toán là tìm toạ độ các điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả năng

đó là:

Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥(− 2𝑥&+ 5 Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

là:

𝑥(− 2𝑥&+ 5 ta tìm được y

Đáp án là D

Việc nhận ra dạng của tam giác tạo bởi ba điểm cực trị trong trường hợp này rất quan

cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh này là:

Câu 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥&+ 𝑐 (𝑚 ≠ 0) có ba cực trị Tam giác tạo bởi ba điểm

cực trị M, N, P của đồ thị hàm số đã cho có đặc điểm gì?

A MNP là tam giác vuông B MNP là tam giác đều

C MNP là tam giác cân D MNP là tam giác có một góc tù

2

0

= é

= -ë

¢

Đối với học sinh có lực học trung bình, đây là một câu hỏi khó Học sinh có thể nhận ra

đặc điểm của tam giác dựa vào toạ độ các đỉnh, cụ thể ở đây là có một đỉnh thuộc trục tung,

hai đỉnh còn lại đối xứng nhau qua trục tung Hoặc có thể nhận ra rằng tam giác đó là tam

giác cân dựa vào các bài toán khảo sát hàm số của hàm số trùng phương (nếu học sinh đã

được học)

Đáp án là C

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại 𝐴 với 𝐴(0; 𝑚&+ 𝑚), 𝐵(𝑚; 𝑚), 𝐶(−𝑚; 𝑚) với 𝑚 ≠ 0

$

𝐴𝐵

?????⃗ = (𝑚; −𝑚&), 𝐴𝐶?????⃗ = (−𝑚; −𝑚&)

Đáp án là B

Bài toán 2: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑− 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒 có đồ thị (𝑪) Gọi 𝒅𝒌 là đường thẳng đi qua

điểm 𝑨(−𝟏; 𝟎) với hệ số góc k Tìm k để đường thẳng 𝒅𝒌 cắt đồ thị (𝑪) tại ba điểm

phân biệt A, B, C và hai giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác

có diện tích bằng 1

Bài giải:

2 4 0

2 4

120

ˆ

2

-+

!!!" !!!"

!!!" !!!"

Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑, là:

𝑥$− 3𝑥&+ 4 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ (𝑥 + 1)[(𝑥 − 2)&− 𝑘] = 0 ⇔ \ -./0

(-/&) " ,

khác −1 ⇔ ](−1 − 2)𝑘 > 0& ≠ 𝑘 ⇔ ^𝑘 > 0𝑘 ≠ 9 (∗)

𝐴(−1; 0), 𝐵(2 − √𝑘; 3𝑘 − 𝑘√𝑘), 𝐶(2 + √𝑘; 3𝑘 + 𝑘√𝑘)

𝐵𝐶

Diện tích tam giác OBC là:

Phân tích:

Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh phải xác định được vấn đề mà bải toán đặt ra, cụ thể ở

đây là sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và một đường thẳng Để có thể làm được

bài toán tương giao thì trước hết học sinh phải lập được phương trình hoành độ giao điểm

của hai đồ thị, mà ta chưa có phương trình đường thẳng nên đầu tiên các em phải lập

k

2 2

1

k

k

+

Cuối cùng là tiến hành quá trình tính toán để tìm 𝑚 khi diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 bằng 1

và đối chiếu điều kiện của k ở trên rồi kết luận

Để kiểm kra kiến thức về phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k,

có thể sử dụng câu hỏi sau đây:

Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua điểm 𝐴(1; −2) và có hệ số góc a là:

Đáp án là A

Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥$− 3𝑥&+ 1 có đồ thị (𝐶) và đường thẳng 𝑑 có phương trình

𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 − 4𝑚 − 1 Giá trị 𝑚 để (𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt là:

3

4

𝑚 ≠0& B c

𝑚 <34

𝑚 ≠ −0&

0

&

𝑚 ≠34 D c

𝑚 <0&

𝑥$− 3𝑥&− (2𝑚 − 1)𝑥 + 4𝑚 + 2 = 0 (1)

(𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

( ) ( 2 )

( ) 2 ( )

2

x

= é

Û ê

ë

( )

m

D = + >

ì

Û í

î

Đáp án là A

Bước tiếp theo của bài toán là tính diện tích tam giác

OBC theo 𝑚, để tính được diện tích tam giác OBC học sinh cần tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ O đến

đó là Câu 3 và Câu 4:

Câu 3: Cho 𝑀(1; 2), 𝑁(−3; 0) Độ dài đoạn 𝑀𝑁 bằng:

A 2√3 B 2√5

C 4√3 D 4√5

𝑀𝑁

Đáp án là B

Câu 4: Cho 𝑀(1; 2), 𝑁(−3; 0) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng 𝑀𝑁 bằng:

⇔ 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

f1&+ (−2)& = 3

√5

Đáp án là A

là:

5 8 1 2

m

m

ì

> -ïï

Û í

ïî

3

5

6 5

2 5

4 5

Câu 5: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥$− 3𝑥&+ 4 có đồ thị (𝐶) và đường thẳng 𝑑,: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘 Giá

O đến đường thẳng MN bằng 0

√& là:

⇔ ](−1 − 2)𝑘 > 0& ≠ 𝑘 ⇔ ^𝑘 > 0𝑘 ≠ 9 (∗)

𝑘

√𝑘&+ 1=

1

√2 ⇔ f𝑘&+ 1 = 𝑘√2 ⇔ 𝑘& = 1 ⇒ 𝑘 = 1 (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)

Đáp án là B

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (𝑪) Tìm điểm M thuộc (𝑪) sao cho tiếp tuyến của

(𝑪) tại M vuông góc với đường thẳng MI

Bài giải:

2

3 2

2

1

2

x

= -é

êë

k

( )

1

x

x

-=

-( )

1 1

a

a

; 1

a

a

2

.

a y

Phương trình đường thẳng MI là:

d vuông góc với MI nên:

Phân tích:

diễn 𝑦5 theo 𝑥5)

Tiếp theo học sinh vết phương trình đường thẳng MI

Từ giả thiết d vuông góc với MI học sinh tìm được m để tích hai hệ số góc của hai đường

bằng 0…

Từ bài toán tự luận như trên, để kiếm tra được các khía cạnh của bài toán như giao điểm

hai đường tiệm cận, phương trình tiếp tuyến, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm,

hai đường thẳng vuông góc,… ta có thể sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan như

sau:

Đầu tiên để kiểm tra về kiến thức toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận, một câu hỏi

phù hợp có thể được sử dụng là:

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị (𝐶) Khẳng định nào sau đây là đúng?

1

1

a

-( ) (2 )2

0

2

a a

= é

=

1

x y x

+

=

-3 2

y =

-3 2

y =

-3 2

x =

-D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = 1 và tiệm cận ngang 𝑦 = 2

Đáp án là D

Từ hai đường tiệm cận vừa tìm được học sinh dễ dàng suy ra toạ độ giao điểm hai đường

tiệm cận ở bài toán tự luận

một cách tổng quát, câu hỏi được sử dụng để kỹ thuật này là:

Câu 2: Cho hàm số Gọi 𝑀(𝑥5; 𝑦5) là điểm thuộc đồ thị (𝐶)

5 − 1

Đáp án là C

kiểm tra khả năng đó là:

Câu 3: Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (𝐶) tại điểm có

( )

1

x

x

+

= +

3 1

1

o

o

y

x

+ =

-2 1

1

o

o

y

x

+ =

-3

1

1

o

o

y

x

=

1

o

o

y

x

=

1

x y x

+

=

-( )

1

x

x

+

= +

( )( )

¢

Đáp án là C

Câu hỏi để kiểm tra về hai đường thẳng vuông góc là:

Câu 4: Cho hai đường thẳng 𝑑0, 𝑑& lần lượt có phương trình: ,

Đáp án là D

2 1

m

2

2 1

1

m

3

m

m

= é

= ë