Giải tích 12 chương 1 bài 6 khảo sát sự biến thiên và các bài toán liên quan (tt)

Thông thường phương trình  I có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị  C.. Từ đó ta giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua M có thể vẽ được đến

BÀI 7 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 1: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số y=f ( x ) Tại Điểm M(x0; y0)

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M x y 0 ; 0   C có phương trình

     

y y f x x x

 GọiM x y 0 ; 0 là tiếp điểm

 Ta có: x0a

 Thế x a Vào phương trình yf x  tìm được y0

 Tính f x , từ đó tính f x 0

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

 Gọi M x y 0 ; 0 là tiếp điểm

 Ta có: y0 b

 Thế y b vào phương trình yf x  tìm được x0

 Tính f x , từ đó tính được f x 0

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

B TOÁN MẪU

1 Viết phương trình tiếp tuyến của  C của

hàm số

2 1 3

x y

x





 tại điểm trên  C có hoành

độ bằng

1

2



2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

của hàm số y x 3 x22x tại điểm trên  C

có tung độ bằng 2

Lời giải

GọiM x y 0 ; 0 là tiếp điểm

Ta có: 0

1 2

5

y

  

 

25 3

x



Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có

dạng: y y 0 f x  0 x x 0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

28 6

25 25

y x

Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f ( x ) Có Phương Cho Trước

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M x y 0 ; 0   C có phương trình

     

y y f x x x

 Gọi M x y 0 ; 0

là tiếp điểm

 Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f x 0 k Giải phương trình này tìm được x0

 Thế x x 0 vào phương trình yf x  tìm được y0

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

:

d y ax b 

 Gọi M x y 0 ; 0 là tiếp điểm

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y ax b:    f x 0 a Giải phương trình này tìm được x0

 Thế x x 0 vào phương trình yf x  tìm được y0

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

 Chú ý: nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án.

:

d y ax b 

 Gọi M x y 0 ; 0

là tiếp điểm

 Tiếp tuyến vuông với đường thẳng  0

1 :

a



Giải phương trình này tìm được x0

 Thế x x 0 vào phương trình yf x  tìm được y0

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

B TOÁN MẪU

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

của

hàm số

3 1

2

x y

x





 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

7.

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M

có dạng: y y 0 f x  0 x x 0

Lời giải

GọiM x y 0 ; 0 là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến bằng 7 nên f x 0  7

 

7

f x

0

2 1

x

    

   



2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

của hàm số

3 2 1

1 3

y x x 

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :d y  x 5

    7 1 4 7 3 7 3 10 7 31 y x x y x x               Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 7 3; 7 31 y x y x

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số 2 1 x y x    biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :d y3x 1

C BÀI TẬP TỰ LUẬN CƠ BẢN

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số sau, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

a)  C :yx4 x21, d y: 2x3

1 :

2

x

x





 , d: 3x y  4 0

c)  C :yx32x2 x1, d x:  2y 3 0

d)  C :y x 42x21,  d :x8y1 0

1 :

1

x

C y

x





 ,  d :x2y1 0

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số

2 1

2 1

x y x





 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1

Bài 3 Tìm các điểm trên đồ thị  C của hàm số

3

y x  x

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

1 2

3 3

y x

Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f ( x ) Đi Qua Điểm M(x0; y0)

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M

 Suy ra: d y y:  0 k x x  0  y kx kx  0 y0  *

 d tiếp xúc với  C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

0 0 1

2





 



 Thế  2 vào  1 để tìm hoành độ tiếp điểm x

 Thế x vào phương trình  2 để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến

 Thế k vào  * tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M

 Chú ý: Khi thế  2 vào  1 giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí hiệu là

 I Thông thường phương trình  I có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy

nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị  C Từ đó ta giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua

M có thể vẽ được đến đồ thị  C n tiếp tuyến”.

B TOÁN MẪU

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

của hàm số y4x3 6x21 biết tiếp tuyến đi

qua A   1; 9

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số  C y x:  4x21, biết tiếp tuyến đó

đi qua điểm M  1;3

Lời giải

Phương trình đường thẳng d đi qua A   1; 9,

hệ số góc k có dạng: y k x  1 9 

d tiếp xúc với  C khi và chỉ khi hệ phương

trình sau có nghiệm:

 

3 2

2







Thế  2 vào  1 ta được:

4x  6x   1 12x  12x x 1  9

3 2

8x 6x 12x 10 0

 

 

2

2



   







   



 

 

 

1 9

24 1 9 24 15









Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

15 21

y x

; y24x15

Dạng 4: Điều Kiện Tiếp Xúc Của Hai Đồ Thị A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hai đồ thị hàm số  C y: f x  và  C :y g x    C tiếp xúc với  C         f x g x f x g x         có nghiệm B TOÁN MẪU 1 Cho hai đồ thị  C :y x 3 x25 và  C :y2x2m Tìm m để  C và  C tiếp xúc với nhau 2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng 2 y x m tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 3 1 x y x    Lời giải  C và  C tiếp xúc với nhau     3 2 2 2 5 2 1 3 2 4 2 x x x m x x x            có nghiệm  2 3x2 6x0     1 1 0 5 2 1 x m x m             Vậy với m 5; m 1thì  C và  C tiếp xúc với nhau

C BÀI TẬP TỰ LUẬN CƠ BẢN

Bài 1 Tìm m để đồ thị hàm số  C y x:  3mx2 9x 9m tiếp xúc với trục hoành

Bài 2 Tìm m để đồ thị hàm số  C y: 2x3 3m3x218mx 8 tiếp xúc với trục hoành

Bài 3 Tìm m để đồ thị hàm số  C y x:  3 4m1x27m1x 3m1 tiếp xúc với trục hoành

Bài 4 Định m để đồ thị hàm số  

2 1 :

1

x

x





 tiếp xúc với đồ thị hàm số y3x m

Bài 5 Định m để đồ thị hàm số  

2

:

2

C y

x



 tiếp xúc với đồ thị hàm số y3x m

Bài 6 Định m để đồ thị hàm số  C y: 4x3m 3x1 tiếp xúc với đường thẳng

 d :y m x 2 12

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong

 C

Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M a f a ;   

, a K 

A yf a x a     f a  B yf a x a     f a 

C yf a x a     f a  D yf a x a     f a 

Câu 2. Cho hàm số y x 42x21 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại

1; 4

A y x  3 B y8x 4 C y8x12 D y8x 4

Câu 4. Tiếp tuyến của đường cong  C :yx x tại điểm M1;1 có phương trình:

A

3 1

2 2

y x

B

3 1

y x

C

3 1

2 2

y x

D

3

2 2

x

y  

Câu 5. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x 3 4x1 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương

trình là:

A y8x15 B y8x15 C y8x17 D y8x16

Câu 8. Cho hàm số yx33x 2 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao

điểm của  C với trục tung

A y2x1 B y2x1 C y3x 2 D y12x4

Câu 9. Cho hàm số

2 1

x y x





 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị  C với trục tung là

A y x  2 B y x 2 C y x 2 D y x1

Câu 10. Cho đường cong  C y x:  3 Tiếp tuyến của  C có hệ số góc k 12, có phương trình:

A y12x16 B y12x8 C y12x2 D y3x 2

Câu 11. Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y x= 4- 3x2+2 Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A d có hệ số góc dương

B d song song với đường thẳng y=3

C d song song với đường thẳng x =3 D d có hệ số góc âm

góc bằng 2 thì x0 y0 bằng

Câu 13. Gọi  C là đồ thị của hàm số

3 2

3

x

y  x  x

Có hai tiếp tuyến của  C cùng có

hệ số góc bằng

3

4 Đó là các tiếp tuyến:

A

3 29

4 24

y x

hoặc

3 3 4

y x

3 37

4 12

y x

hoặc

3 3 4

y x

C

3 37

4 12

y x

hoặc

3 13

y x

3 29

4 24

y x

hoặc

3 3 4

y x

Câu 15. Cho hàm số y2x33x2 4x5 có đồ thị là  C Trong số các tiếp tuyến của  C , có

một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng

A 3,5 B 5,5 C 7,5 D 9,5

Câu 16. Cho hàm số

3 2

2

3

x

y x  x

, gọi đồ thị của hàm số là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C có hệ số góc lớn nhất

A

25 5 12

y x

9 25

4 12

y x

2 12

y x

9 25

2 12

y x

Câu 17. Cho hàm số y x 3 3x26x5 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có

phương trình là

A y3x 3 B y3x12 C y3x 6 D y3x 9

Câu 18. Cho hàm số y x 3 6x29x có đồ thị  C Tiếp tuyến của  C song song với đường

thẳng d y: 9x có phương trình:

A y9x40 B y9x 40 C y9x32 D y9x 32

Câu 19. Gọi  C là đồ thị của hàm số y x 4x Tiếp tuyến của  C vuông góc với đường thẳng

d x y có phương trình là

A y5x 3 B y3x 5 C y2x 3 D y x 4

Câu 20. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 1

x y x





 , biết tiếp tuyến vuông góc với

đường thẳng

1 5 3

y x

và tiếp điểm có hoành độ dương

A y3x 2 B y3x10 C y3x2 D y3x6

Câu 21. Gọi  C là đồ thị của hàm số

2

2

x y

x



 Viết phương trình tiếp tuyến của  C vuông góc

với đường thẳng

4 1 3

y x

A  

d y x y x

d y x y x

C  

d y x y x

d y x y x