Mot so bai toan ve khao sat ham so

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành một cấp số cộng, ở đó d là đường thẳng đi qua 2 điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho.. Vớ[r]

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (ÔN TẬP CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA)

BẮC NINH - 2016

Tài liệu này tập hợp một số bài toán về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, phục vụviệc ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia.

Ngày 3 tháng 8 năm 2016Nguyễn Văn Xá

Mục lục

Lời nói đầu i

Mục lục 1

Chương 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba 2

1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm bậc ba 2

1.2 Cực trị của hàm bậc ba 3

1.3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba 6

1.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 7

1.5 Sự tương giao của hai đồ thị 10

1.6 Một số bài toán khác 11

Chương 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương 14

2.1 Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương 14

2.2 Bài tập 15

Chương 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức 18

3.1 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 18

3.1.1 Đường tiệm cận đứng 18

3.1.2 Đường tiệm cận ngang 18

3.1.3 Đường tiệm cận xiên 18

3.2 Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức 19

3.3 Hàm số phân thức y = ax + b cx + d . 19

3.4 Hàm số phân thức y = ax 2+ bx + c dx + e . 22

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

hàm số đa thức bậc ba

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 6= 0)

1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm bậc ba 2

1.2 Cực trị của hàm bậc ba 3

1.3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba 6

1.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 7

1.5 Sự tương giao của hai đồ thị 10

1.6 Một số bài toán khác 11

Hàm số bậc ba y = ax3+bx2+cx+d (a 6= 0) luôn có đạo hàm y0 = 3ax2+2bx+c là tam thức bậc hai và có không quá 2 nghiệm trên R Kí hiệu ∆ là biệt thức của tam thức y0 = 3ax2+ 2bx + c và xét

K là tập hợp có dạng [a; b] , (a; b) , [a; b) , (a; b] , (a; +∞) , (−∞; b) , [a; +∞) , (−∞; b] , (−∞; +∞) Khi đó 1

• Hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d đồng biến trên K ⇔ y0 = 3ax2+ 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ K

• Hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d nghịch biến trên K ⇔ y0 = 3ax2+ 2bx + c ≤ 0, ∀x ∈ K

• Hàm số y = ax3+bx2+cx+d đồng biến trên R ⇔ y0 = 3ax2+2bx+c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ( a > 0

∆ ≤ 0

, • Hàm số y = ax3+bx2+cx+d nghịch biến trên R ⇔ y0 = 3ax2+2bx+c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ( a < 0

∆ ≤ 0

1

Tập K có dạng như vậy được gọi là gian trong R.

• Nếu a > 0 và ∆ > 0 thì phương trình y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) đồngthời hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d đồng biến trên (−∞; x1] , [x2; +∞) , và nghịch biến trên đoạn[x1; x2]

• Nếu a < 0 và ∆ > 0 thì phương trình y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) đồngthời hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d nghịch biến trên (−∞; x1] , [x2; +∞) , và đồng biến trên đoạn[x1; x2]

Bài tập 1.1 Cho hàm số y = x3− 3x2+ 2

1 Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, và cực trị của hàm số

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−3; 1]

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1

Bài tập 1.2 Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Bài tập 1.3 Tìm m để hàm số y = x3− mx2+ x + 1 nghịch biến trên đoạn [1; 2]

Bài tập 1.4 Tìm m để hàm số đồng biến trên R

có phương trình y = kx + m, ở đó kx + m là đa thức dư khi chia đa thức ax3+ bx2+ cx + d cho

đa thức 3ax2+ 2bx + c

Bài tập 1.11 Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số y = 1

3x

3− x2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 3]

Bài tập 1.18 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ mx (C) có hai điểm cực trị đối xứng vớinhau qua đường thẳng (d) : x − 2y − 5 = 0

Lời giải Tập xác định của hàm số đã cho là D = R Ta có y0 = 3x2− 6x + m là tam thức bậc hai

ẩn x với ∆0 = 9 − 3m Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm



4 − 2.m3

+ m

và −→

BA = (x1− x2; y1− y2) = (x1− x2; −2(x1 − x2)) nên ~u1 = (1; −2) là một vectơ chỉ phương củađường thẳng AB Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ~u2 = (2; 1) Hai điểm A, B đối xứngvới nhau qua d khi và chỉ khi

( I ∈ d

~u1.~u2 = 0

⇔( 1 − 2(m − 2) − 5 = 01.2 + (−2).1 = 0

⇔ m = 0 (2)

Bài tập 1.19 Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2+ 4m3 đối xứng vớinhau qua đường thẳng y = x

Bài tập 1.20 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− (2m − 1)x2+ (2 − m)x + 2 có cực đại, cực tiểu,

và hai điểm cực trị này có hoành độ dương

Bài tập 1.21 Chứng minh hàm số y = 1

3x

3− mx2− (2m + 3)x + 9 luôn có cực trị với mọi m.Bài tập 1.22 Cho hàm số y = x3 − 3x2+ 3 (C) Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu và tìmcực trị của hàm số Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 4] Viết phương trìnhđường thẳng d biết rằng hai điểm cực trị của đồ thị (C) đối xứng với nhau qua d

Bài tập 1.23 Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x (C) Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu vàtìm cực trị của hàm số Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 2] Tìm m đểđường thẳng y = x + m2− m đi qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của (C)

Bài tập 1.24 Tìm m để hàm số y = −x3+ 3mx2+ 3(1 − m2)x + m3− m2 có cực trị Viết phươngtrình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

Bài tập 1.25 Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ 3(m2− 1)x − 3m2− 1 có cực đại, cực tiểu, vàcác điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Bài tập 1.26 Tìm m để trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

Bài tập 1.34 Từ một tấm bìa hình vuông cạnh a (a > 0) người ta cắt đi từ 4 góc 4 hình vuôngcạnh x để lấy phần còn lại gấp thành một hình hộp không nắp Xác định x để hình hộp đó có thểtích lớn nhất.

2 Nghịch biến trên khoảng (−1; 0)

3 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lậpthành một cấp số cộng, ở đó d là đường thẳng đi qua 2 điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho.Bài tập 1.39 Tìm a, b để A(3; −34) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax3− (b + 3)x2− bx + 2.Với a, b vừa tìm được, hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho

Bài tập 1.40 Tìm p, q để hàm số y = x3+ px + q có cực đại và cực tiểu Tìm p, q để phương trình

x3+ px + q = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 1.41 Tìm m để hàm đồ thị hàm số y = x3− 2mx2+ (2m2− 1)x + m(m2− 1) có hai điểmcực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó

Bài tập 1.42 Tìm đường cao của hình trụ có thể tích lớn nhất được cắt ra từ hình nón cụt cóchiều cao 90cm và các đáy có đường kính lần lượt là 60cm, 30cm

Bài tập 1.43 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = 1

Bài tập 1.48 Cho hàm số y = 4x3− 6x2+ 1.

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm M (−1; −9)

Bài tập 1.49 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2− (2m2− 3m + 2)x + 2m(2m − 1) (C)

1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cố định mà (C) luôn đi qua với mọi m

2 Tìm m để (C) tiếp xúc với Ox

3 Tìm m để y = 98 − 49x là tiếp tuyến của (C)

4 Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +∞)

Bài tập 1.50 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2+ 2mx

1 Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +∞)

2 Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng Tìm m để d song song với trục hoành

3 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

4 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C0)

Bài tập 1.52 Cho hàm số y = mx3+ 3x2+ (m − 1)x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A 5

9; 0



4 Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cực trịcủa đồ thị (C)

5 Tìm m để hàm số đã cho có cực đại 6 Tìm m để hàm số đã cho có cực tiểu

7 Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R 8 Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.Bài tập 1.53 Cho (C) : y = x3− 3x + 1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng2 giới hạn bởi đồ thị (C), trục tung, trục hoành và đường thẳng

x = −1

2 Cho hai đồ thị (C1) : y = f (x), (C2) : y = g(x) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và các đường thẳng

x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức S =

b R

|f (x) − g(x)| dx.

3 Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm uốn của (C) Biện luận theo k số điểmchung của (C) và d Tìm tọa độ các giao điểm trong trường hợp k = 1.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y =9x − 26

3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; 1]

4 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x3− 3x2+ 1| = 2m − 1

Bài tập 1.56 Cho hàm số y = −x3+ 3x + 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

x − 9y + 2016 = 0

3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 3]

4 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình −x3 + 3x + 2 = m trên đoạn [−1; 3]

Bài tập 1.57 Cho hàm số y = x3− 3x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với (C)

Bài tập 1.58 Cho hàm số y = −x3+ 3x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình −x3+ 3x2 = −k3+ 3k2

2 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục Ox

3 Tìm m để không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với Oy

4 Chứng minh rằng nếu m ≤ 0 thì không có hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đã cho vuônggóc với nhau

2 Tìm m để phương trình 3x2− x3 = 3m có 3 nghiệm phân biệt.

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn Chứng tỏ rằng mọi đường thẳng songsong với tiếp tuyến đó luôn cắt (C) tại duy nhất một điểm

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

2 Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn nghịch biến

3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

0;12



1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2 Tìm k để phương trình cos3x − 3cos2x = k có nghiệm

3 Biện luận theo a số nghiệm của phương trình |x3− 3x2| = a

4 Biện luận theo b số nghiệm của phương trình |x|3− 3|x|2 = b.

5 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng d đi qua haiđiểm cực trị đó Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua

Bài tập 1.71 Cho hàm số y = −x3− 3x2+ mx + 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Bài tập 1.72 Cho hàm số y = mx3+ 3mx2− (m − 1)x − 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để hàm số không có cực trị

Bài tập 1.73 Cho hàm số y = −2x3+ 6x2− 5

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(−1; −13)

3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |2x3− 6x2+ 5| = m

4 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình −2 |x3| + 6x2− 5 = k

Bài tập 1.74 Cho hàm số y = x3− 3x2 − 9x + m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

2 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt tục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăngdần lập thành cấp số cộng

Xét hai đồ thị (C1) : y = f (x), (C2) : y = g(x) Phương trình f (x) = g(x) (1) được gọi làphương trình hoành độ điểm chung của (C1) và (C2) Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt khi

và chỉ khi (C1) và (C2) có k điểm chung phân biệt

Hai đồ thị (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình sau đây có nghiệm

( f(x) = g(x)

f0(x) = g0(x)

Xét đồ thị (C) : y = ax3+ bx2+ cx + d (a 6= 0) và phương trình ax3+ bx2+ cx + d = 0 (2) Tathấy

• Phương trình (2) có 1 nghiệm trên R khi và chỉ khi hoặc (C) không có cực trị, hoặc (C) có 2điểm cực trị thỏa mãn yCĐ.yCT > 0

• Phương trình (2) có 2 nghiệm trên R khi và chỉ khi (C) có 2 điểm cực trị thỏa mãn yCĐ.yCT = 0

• Phương trình (2) có 3 nghiệm trên R khi và chỉ khi (C) có 2 điểm cực trị thỏa mãn yCĐ.yCT < 0.Bài tập 1.75 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1 2x3+ 3x2− 1 = m 2 x3− 3x2− m = 0 3 2|x|3− 9x2+ 12 |x| = m.Bài tập 1.76 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 2x2+ (1 − m)x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phânbiệt có hành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x21+ x22+ x23 < 4

Bài tập 1.77 Cho hàm số y = x3 + 3x2− 4.

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (x + 1)2 = m

|x − 1|.Bài tập 1.78 Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đường thẳng y = 1 − x cắt (C) tại ba điểm phân biệt

2 Chứng minh d : y = kx + k + 1 cắt (C) tại điểm cố định không phụ thuộc vào m và k Tìm

k theo m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài tập 1.84 Cho hàm số y = x3 + mx2+ (m + 1)x

1 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +∞)

2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Bài tập 1.85 Gọi d là đường thẳng đi qua M (0; −1) và có hệ số góc k Biện luận theo k số điểmchung của d với đồ thị (C) : y = 2x3− 3x2− 1

Bài tập 1.86 Cho hàm số y = x3 − 3x2+ m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O

2 Tìm tập hợp tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

3 Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Oy Tìm m để tiếp tuyến với đồ thịtại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

3.Bài tập 1.88 Chứng minh đồ thị hàm số y = (m + 3)x3− 3(m + 3)x2− (6m + 1)x + m + 1 luôn

đi qua 3 điểm cố định A, B, C với mọi m Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B, C

Bài tập 1.89 Cho hàm số y = x3+ (m − 1)x2− (m + 3)x − 1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 Tìm tất cả các cặp điểm của (C) đối xứngvới nhau qua đường phân giác thứ nhất nhưng không nằm trên đường phân giác thứ nhất

2 Tìm tập hợp tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

4 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

5 Tìm m để không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với trục Oy

3 Tìm m để phương trình f (|x|) − m(x − 2) − 1 = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt

4 Phương trình f (f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực ?

Bài tập 1.91 Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng nằm trên đồ thị (Γ) : y = x3 − 3x + 2 Tiếptuyến với (Γ) tại A, B, C lần lượt cắt trở lại (Γ) ở A0, B0, C0 khác A, B, C Chứng minh rằng bađiểm A0, B0, C0 thẳng hàng

Bài tập 1.92 Cho hàm số y = f (x) = x3+ x2+ 1 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+5y−1 = 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác cân

4 Tìm k để phương trình sin3x + sin2x + 1 = k có nghiệm

5 Tìm m để đường thẳng ∆ : y = (m + 1)x + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C)

3 Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệttới đồ thị (C) Biểu diễn tập hợp này trên hình vẽ

4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T =√

2 cosx − π

4

(1 − sin x cos x) − 3 sin 2x − 2