Bài toán phụ khảo sát

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N và khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến các trục tọa độ bằng nhau... Tìm tất cả các giá

Câu 2: (HSG ĐỀ 049)Cho đồ thị  C y x 3 3x22 Viết phương trình tiếp tuyến của  C song

song với đường thẳng y9x 25

Lời giải

2

y  x  Do d song song với đường thẳng y9x1 nê hệ số góc k  9

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 3x2 6x 9 x  1 x 3

+ Với x  tì tiếp tuyến có phương trình 1 y9x7

+ Với x  thì tiếp tuyến có pt 3 y9x 25 (loại ) Vậy có tiếp tuyến lày9x 25

Câu 3: (HSG ĐỀ 049)Tính giới hạn:

x

x x

3 1 2 1 1 lim

x 1 x 1 x 1 x 1 1 lim x

sin

x 1 x 1

1

lim

3 3

3

0 x 3

sin

x 1 1 lim

3 3

x1(x11xsin

x11lim

3

3 0

x

2 x 2 1 1

x 1 lim x sin

x lim 2 ) x 1 ( x 1 1

1 lim

3 0 x 0

C Viết phương trìnhtiếp tuyến  của  C sao cho khoảng cách từ

điểm I1; 2 đến  là lớn nhất

Lời giải

3( 1)

Câu 7: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Cho đồ thị  : 2 1

thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C

tại M lần lượt cắt các trục Ox Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt ,, A B thỏa mãn OB3OA

Vậy có hai điểm cần tìm là M(0; 1) và M( 2;5) .

Câu 9: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

+) Tìm max y: Ta có y27sin9x33cosx27sin4 x33cosx (1)

Ta chứng minh: 27sin4x33cosx33, x R (2)

+) Tương tự: y27sin9x33cosx27sin4x33cosx , min y33 khi x  k2

Câu 6: (HSG ĐỀ 059) Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc (C): y = x3– 3x – 2 Các tiếp tuyến tại A, B, C cắt (C) tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng

Lời giải

Gọi A x ; y , B x ; y ,C x ; y là 3 điểm thẳng hàng trên (C) và thuộc đường thẳng : y ax b 1 1  2 2  3 3   

PT tiếp tuyến tại A là:  2   

+ Biến đổi (1) ta được: x Ax Bx C 0 2 

+ Tiếp tuyến tại A của (C) có phương trình: y3x2A 3 x x Ax3A 3x A2  d

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) ta được:

+ Tương tự ta có: x B'2 ,x B x C' 2x C, khi đó x A'x B'x C' 2x Ax Bx C 0 (3) Suy ra A’, B’,C’ thẳng hàng

Câu 1: (HSG THPT TĨNH GIA 1 NĂM 2018-2019)Cho hàm số: y = m3x2 2m1x m (C)

Khi (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x , tìm số thực a để biểu thức1; 2

m

x x

m m

m

m m

thẳng d : yx m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt  P tại hai điểm

phân biệt M , N và khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến các trục tọa độ

bằng nhau

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 3x 2 x m  x2 2x 2 m0 (1)

d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N      0 1 2m 0 m1 (2)

Gọi x x lần lượt là hoành độ của các điểm 1, 2 M , N

Khi đó x x là các nghiệm của phương trình (1) và 1, 2 M x 1; x1m, M x 2;x2m

Theo Vi-et, ta có: 1 2

1 2

22

Kết hợp với điều kiện (2)  m2

Câu 1: (HSG THPT HẬU LẬU 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số yf x x24x 3  1 Lập

bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 P y x:  2 mx 2 và đường thẳng d y mx:   3m4. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt  P tại hai

điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho biểu thức 1, 2 2 2

Câu 1 (HSG THPT CẨM THỦY 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y x 2 2x 3có đồ thị  C và

đường thẳng d m: y mx m  Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể d cắt m  C tại hai điểm phân biệt

3

m

m m

Câu 1 (THPT TRIỆU SƠN 2 NĂM 2018-2019) Cho parabol  P : y x 2 3x2 và đường thẳng d:

yx m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N vàkhoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến các trục tọa độ bằng nhau

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 3x 2 x m  x2 2x 2 m (1).0

Đường thẳng d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N    0 1 2m 0 m1 (2)

Gọi x x lần lượt là hoành độ của các điểm 1, 2 M , N

Khi đó x x là các nghiệm của phương trình (1) và 1, 2 M x 1;x1m, M x 2; x2m

Theo Vi-et, ta có: 1 2

1 2

22

Kết hợp với điều kiện (2)  m2

Câu 1 (HSG ĐỀ 078) Cho hàm số y(x2)( x 1).Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số

Câu 1: (HSG ĐỀ 081) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số y ax 2bx3 Biết parabol

 P đi qua điểm A   1; 2 và có trục đối xứng là đường thẳng x 2

Đồ thị

ĐỀ SỐ 82

Câu 1: (HSG ĐỀ 082) Cho parabol  P y: 2x22mx m 2 và đường thẳng  d :y2x 4m 3.

Tìm tất cả các giá trị của m để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x và biểu1, 2thức Ax x1 2 2x1x2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 1: (HSG ĐỀ 083)Cho Parabol ( ) :P y x 22(m1)x3 (1).

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 3

b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB là tam giác đều (với I là đỉnh của (P)).

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Oxlà:x22(m1)x 3 0 * 

Để (P) cắt Oxtại 2 điểm phân biệt   * có 2 nghiệm phân biệt

' ( 1) 3 0

1 3

m m

Do (P) nhận đường thẳng x 1 m làm trục đối xứng nên tam giác IAB cân tại I

Câu 1: (HSG THPT LÊ LỢI NĂM 2018-2019) Cho parabol  P :y2x2 2mx m 2 và đường

thẳng  d :y2x 4m 3 Tìm tất cả các giá trị của m để  d cắt  P tại hai điểm phân

biệt có hoành độ x x và biểu thức 1, 2 Ax x1 2  2x1x2 đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

Suy ra Amax 9 khi m 4

Câu 1: (TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2017 - 2018)Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm

Câu 1 Cho hàm số yx22(m1)x 1 m2 (1), (m là tham số) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm

số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; 2)

- Kết hợp điều kiện m 1, ta được m1, m3.

Câu 1 (HSG ĐỀ 095) Cho parabol  P :yx2  4x3 và đường thẳng d y: mx3 Tìm tất cả

các giá trị thực của m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác

Gọi H là hình chiếu của B lên OA Suy ra BH x B  4 m

Theo giả thiết bài toán, ta có 9 1 9 1.3 4 9

OAB

S   OA BH   m 1

4 3

7

m m

Câu 1 (HSG ĐỀ 098) Tìm a b , biết rằng  P y ax:  2bx2 a  đi qua điểm 1 M  1;6 và có tung

y ax bx c biết rằng (P) có đỉnh nằm trên trụchoành đồng thời đi qua hai điểm M(0; 1) và N(2; 1)

Vậy max 2;0     24 khi 0

t f x  cho không quá 3 nghiệm x   5;1 

Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc 5;1 khi và chỉ khi phương trình (1) có

2 nghiệm phân biệt thuộc  3; 7

Xét hàm số   1 2

22

2 2

Câu 1 (HSG THPT YÊN ĐỊNH 1 NĂM 2017-2018) Cho parabol  P : yx2  m1x m  6 với

m là tham số Chứng minh rằng m R thì khoảng cách từ đỉnh của  P đến trục Ox không nhỏ hơn

(d) có dạng y=k(x+1)-2 Pt hoành độ giao điểm x2kx k  2 0

Do  (k 2)2 4 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Câu 1 Cho Parabol (P) : y = x2 – 4x + 3

a Vẽ Parabol (P), từ đó lập bảng biến thiên của hàm số

b Tìm m để phương trình | x2 – 4x + 3| = m có 4 nghiệm phân biệt

Bảng thiến thiên:

b Tìm m để phương trình | x2 – 4x + 3| = m có 4 nghiệm phân biệt

PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt  đường thẳng d: y = m cắt (C): y = | x2 – 4x + 3| tại 4 điểm phân biệt+ Vẽ đồ thị (C): y = | x2 – 4x + 3|

Từ đồ thị  d cắt (C) tại 4 điểm phân biệt  0 < m < 1

Vậy m  (0; 1) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

đường thẳng (d) y 2mx m   Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x1 2

sao cho biểu thức 2 2 1 2

Phương trình hoành độ giao điểm x2  mx m   1 0 

Điều kiện có nghiệm

b) Xét phương trình: x2  2  m  1  x   4 0 (*)

để đồ thị hàm số cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn x1  x2  4 trước

hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn x x1; 2  0

1

m

m m

Câu 1 (HSG THPT HẬU LỘC 1 NĂM 2017-2018) Cho parabol

 P : yx2  m1x m  6 với m là tham số Chứng minh rằng  m R thì khoảng cách từ đỉnh của  P đến trục Ox không nhỏ hơn 6

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B phương trình hoành độ giao điểm:

có 2 nghiệm phân biệt

Do đó: là số nguyên thì m – 4 là ước của 3

Ta được các phương trình tương ứng :

;

;

; Vậy: Giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Câu 1 (HSG THPT HẬU LỘC 3 NĂM 2017-2018)Tìm m nguyên dương nhỏ nhất để đồ thị hàm

số ym 4x2 2m 2x m  1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt x x1, 2sao cho x x1, 2 là số nguyên

Lời giải

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B phương trình hoành độ giao điểm:

m 4x2 2m 2x m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt 0

4

m m

Do đó:x x1, 2 là số nguyên thì m  4 là ước của 3

Ta được các phương trình tương ứng: m 43 m1

Câu 1 (HSG THPT BA ĐÌNH NĂM 2017-2018)Cho hàm số y x 2  2(m1)x m 3(m1)2 có đồ thị ( )P m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1

b Giả sử ( )P cắt Ox tại hai điểm có hoành độ m x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x1 x2  4 Tìm giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3

Lời giải

a

b Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và Ox là: x2 2m1x m 3m12 0 (1)

(1) có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 4

0 -2

P

m

Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2, Pmin 144 khi m 2

2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng với

Lời giải

sao cho diện tích tam giác bằng với

Phương trình hoành độ giao điểm của và (d):

Để cắt (d) tại 2 điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt

Mà ta có

Khi đó ta có

Câu 1 (HSG THPT SẦM SƠN NĂM 2017-2018)Cho hàm số y mx 2 2m1x m 3 (P ) m .

Xác định m để đồ thị (P ) m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt x1,x2 thỏa mãn :

m

m m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1)

2 Gọi A, B là hai điểm thuộc đường thẳng y = 3 Tìm C, D thuộc đồ thị ( P) sao cho ABCD là

hình vuông, biết x x C, D 0.

Lời giải

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số: y x  2 4 x  3.* TXĐ: D 

0 3 ) 6 cos(

2 ) 3 2

0 2 ) 6 cos(

) 6 (

) ( 2 ) 6 cos(

; 1 ) 6



2

-13

2

Câu 1: (HSG THPT TRIỆU SƠN 5 NĂM 2017-2018) Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) lần lượt

có phương trình: y2x2; y2(m1)x m  3 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tạihai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho biểu thức: 1; 2 2 2

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thì phương trình (I)1; 2

phải có hai nghiệm phân biệt nên:

m m

Vậy m = -4 là kết quả

Câu 1: (HSG THPT VĨNH LỘC NĂM 2017-2018) Cho parabol  P :yx2  mx 2 và đường

thẳng d y: mx 3m4. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt có

hoành độ x x sao cho biểu thức 1, 2 2 2

Câu 2: (HSG HÀ TĨNH LỚP 10 NĂM 2017-2018) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình sau có nghiệm không âm

mx  x  m  x  x  m 

b) Một hộ nông dân dự định trồng đậu và cà năng suất cao trên diện tích 800m Biết rằng cứ2

2

100m trồng đậu cần 10 công và thu về 7 triệu đồng còn 100m2 trồng cà cần 15 công và thu về 9triệu đồng Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để số tiền thu về cao nhất khitổng số công không vượt quá 90

Lời giải

a) Ta có  1  mx4x38mx2 x24x16m0

2 2

100m ) Ta có

Do tổng số công không vượt quá 90 nên 10x15y90 2x3y18

Tổng số tiền thu về là T 7x9y (triệu đồng)

Lưu ý: Có thể dùng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài này

Câu 3: (HSG ĐỀ 161)Cho phương trình x3 (2m1)x2(m2)x m  2 0 , trong đó m là tham

số Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3 thỏamãn x12x22x32 17

Câu 1: (HSG NAM ĐỊNH NĂM 2015-2016)Cho hàm số 1

1

x y x





 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng :x y  3 0 bằng 2

131

2

a a a

a a





  



+) Với a 2 M(2;3) Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y2x7

+) Với a 3 M(3; 2) Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 1 7

+) Hai điểm B, C thỏa mãn điều kiện đầu bài  (OB R OC R )(  ) 0

Cho hàm số yx2  2x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình y x m  Tìm m

để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 OB2 82

Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm ếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm đ ều kiện (*), gọi hai giao điểm là ệm phương trình: được m = 4 là giá trị cần tìm ành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: ịnh lý Viet ta có: ần tìm.

Lời giải

ĐKXĐ x

Ta có: (m + 1)(m +2)x = (m + 2)(2x + 1) (m + 2)(m - 1)x = m +2

*Với m = -2 PT có vô số nghiệm

*V i m = 1 PT vô nghi m ới điều kiện (*), gọi hai giao điểm là ệm phương trình:

*V i m ới điều kiện (*), gọi hai giao điểm là -2 v m ành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: 1 thì

N u m = -1 thì PT vô nghi m ếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm ệm phương trình:

N u m ếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm -1 thì PT có 1 nghi m ệm phương trình:

Câu 1: (HSG ĐỀ 218) Cho parabol (P): y x 22x1 Tìm tất cá các giá trị của m để đường thẳng d:

y x m cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với

O là gốc tọa độ)

Lời giải

* PT hoành độ giao điểm:x23x 1 m (1)0

* d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

Đối chiếu đk (*) ta có 2 giá trị của m là m 1 và m 2

Câu 2: (HSG ĐỀ 218) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân

 2    

2 0

102

2 1

02

122

m

m m

m m

m m

Câu 1: (HSG ĐỀ 219)Cho parabol (P): y x 2 2x m Tìm tất cá các giá trị của m để đường thẳng

d: y2x1 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=2.

Lời giải

* PT hoành độ giao điểm:x2 4x 1 m (1)0

* d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

* Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có một nghiệm dương và mộtnghiệm bằng 0

* Phương trình (*) có nghiệm t=0 khi và chỉ khi m   hay 2 4 0 m 2

Với m=2, phương trình (*) trở thành -4t=0 Trong trường hợp này, (*) chỉ có một nghiệm là 0.

Với m=-2, phương trình (*) trở thành 4t24t  Phương trình này có hai nghiệm t=0 và 0

t=1

* Kết luận: vậy PT đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m=-2