ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN BÀI TẬP LỚN XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN CHỦ ĐỀ CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Họ tên sinh viên NGUYỄN THỊ KIM THOA Giảng viên hướng dẫn THẦY[.]
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
BÀI T Ậ P L Ớ N
T Ừ BÀI TOÁN T Ự LU Ậ N
CH Ủ ĐỀ : C Ầ U H Ỏ I PH Ụ KH Ả O SÁT HÀM S Ố
Họ tên sinh viên : NGUYỄN THỊ KIM THOA
Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp : Toán 4T
Mã sinh viên : 13S1011145
Huế, 04/2017
Trang 2CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟒+ 𝟐𝒎𝒙𝟐+ 𝒎𝟐+ 𝒎 có đồ thị là (𝑪𝒎) Với những giá
trị nào của 𝒎 thì đồ thị (𝑪𝒎) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có một góc bằng 𝟏𝟐𝟎𝟎?
Bài giải:
𝑥& = −𝑚
⇔ 𝑚 < 0
Khi đó các điểm cực trị của (𝐶𝑚) là:
𝐴𝐵
?????⃗ = <√−𝑚; −𝑚&>, 𝐴𝐶?????⃗ = (−√−𝑚; −𝑚&)
(
1
𝑚 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑚 = − 1
√3
!
4
120
AB AC
-"""# -"""#
"""# """#
3
1 3
m =
Trang 3-Phân tích:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ
Sau đó học sinh nhận ra rằng các em có đủ thông tin để tìm được giá trị của 𝑚 sao cho
Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị
có đủ thông tin để tìm 𝑚 và thông tin có được là công thức tính cosin góc giữa hai vectơ
𝐴𝐵
Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng rằng câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc
Nếu các em thất bại ở bước đầu, là học sinh không biết được muốn tìm m để hàm số có
hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ các điểm cực trị, công thức tính cosin góc giữa hai vectơ,
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của câu hỏi thì học
sinh có thể trả lời được
Sau đây là các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra một số khía cạnh xuất hiện trong bài
toán trên:
Với khái niệm cực trị, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức
như sau:
Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥(+ 2𝑥&+ 3 Hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Muốn làm được câu này, học sinh phải biết được rằng hoành độ các điểm cực trị của
Đáp án là C
Trang 4Các đáp án nhiễu là A, B rất dễ gây nhầm lẫn cho học sinh vì học sinh thường đạo hàm
Bước thứ hai của bài toán là tìm 𝑚 để đồ thị (𝐶𝑚) có ba điểm cực trị, một câu hỏi để
kiểm tra kiến thức đó là:
Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥(+ 2𝑚𝑥&+ 2 Giá trị của 𝑚 để hàm số đã cho có ba cực trị là:
A 𝑚 < 0 B 𝑚 = 0 C 𝑚 > 0 D 𝑚 ≠ 0
Ở câu hỏi 1, ta đã biết rằng hoành độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương là
⇔ 𝑚 < 0
Đáp án là A
Bước tiếp theo của bài toán là tìm toạ độ các điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả năng
đó là:
Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥(− 2𝑥&+ 5 Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
là:
A (0; 5), (1; −4), (−1; 4) B (0; −5), (1; 4), (−1; −4)
C (0; −5), (1; −4), (−1; 4) D (0; 5), (1; 4), (−1; 4)
𝑥(− 2𝑥&+ 5 ta tìm được y
Đáp án là D
Việc nhận ra dạng của tam giác tạo bởi ba điểm cực trị trong trường hợp này rất quan
cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh này là:
Câu 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥&+ 𝑐 (𝑚 ≠ 0) có ba cực trị Tam giác tạo bởi ba điểm
cực trị M, N, P của đồ thị hàm số đã cho có đặc điểm gì?
A MNP là tam giác vuông B MNP là tam giác đều
C MNP là tam giác cân D MNP là tam giác có một góc tù
2
0
= é
¢
Trang 5Đối với học sinh có lực học trung bình, đây là một câu hỏi khó Học sinh có thể nhận ra
đặc điểm của tam giác dựa vào toạ độ các đỉnh, cụ thể ở đây là có một đỉnh thuộc trục tung,
hai đỉnh còn lại đối xứng nhau qua trục tung Hoặc có thể nhận ra rằng tam giác đó là tam
giác cân dựa vào các bài toán khảo sát hàm số của hàm số trùng phương (nếu học sinh đã
được học)
Đáp án là C
tính cosin góc giữa hai vectơ để tìm 𝑚
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại 𝐴 với 𝐴(0; 𝑚&+ 𝑚), 𝐵(𝑚; 𝑚), 𝐶(−𝑚; 𝑚) với 𝑚 ≠ 0
C 𝑚 = √3
D 𝑚 = ±√3
𝐴𝐵
?????⃗ = (𝑚; −𝑚&), 𝐴𝐶?????⃗ = (−𝑚; −𝑚&)
Đáp án là B
Bài toán 2: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑− 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒 có đồ thị (𝑪) Gọi 𝒅𝒌 là đường thẳng đi qua
điểm 𝑨(−𝟏; 𝟎) với hệ số góc k Tìm k để đường thẳng 𝒅𝒌 cắt đồ thị (𝑪) tại ba điểm
phân biệt A, B, C và hai giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác
có diện tích bằng 1
Bài giải:
0
120
ˆ
2
AB AC
-+
!!!" !!!"
!!!" !!!"
Trang 6Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑, là:
𝑥$− 3𝑥&+ 4 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ (𝑥 + 1)[(𝑥 − 2)&− 𝑘] = 0 ⇔ \(-/&)-./0".,
khác −1 ⇔ ](−1 − 2)𝑘 > 0& ≠ 𝑘 ⇔ ^𝑘 > 0𝑘 ≠ 9 (∗)
𝐴(−1; 0), 𝐵(2 − √𝑘; 3𝑘 − 𝑘√𝑘), 𝐶(2 + √𝑘; 3𝑘 + 𝑘√𝑘)
𝐵𝐶
(vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)
Vậy giá trị 𝑘 cần tìm là 𝑘 = 1
Phân tích:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh phải xác định được vấn đề mà bải toán đặt ra, cụ thể ở
đây là sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và một đường thẳng Để có thể làm được
bài toán tương giao thì trước hết học sinh phải lập được phương trình hoành độ giao điểm
của hai đồ thị, mà ta chưa có phương trình đường thẳng nên đầu tiên các em phải lập
việc chọn cạnh đáy của tam giác 𝑂𝐵𝐶 là 𝐵𝐶 giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn)
k
2 2
1
k
k
+
Trang 7Cuối cùng là tiến hành quá trình tính toán để tìm 𝑚 khi diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 bằng 1
và đối chiếu điều kiện của k ở trên rồi kết luận
Để kiểm kra kiến thức về phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k,
có thể sử dụng câu hỏi sau đây:
Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua điểm 𝐴(1; −2) và có hệ số góc a là:
A 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 − 2 = 0 B 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 + 2 = 0
C −𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝑎 − 2 = 0 D −𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑎 − 2 = 0
Phương trình đường thẳng có hệ số góc a có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Đường thẳng trên đi qua điểm 𝐴(1; −2) nên: −2 = 𝑎 1 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = −𝑎 − 2
Đáp án là A
Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥$− 3𝑥&+ 1 có đồ thị (𝐶) và đường thẳng 𝑑 có phương trình
𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 − 4𝑚 − 1 Giá trị 𝑚 để (𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt là:
3 4
𝑚 ≠0& B c
𝑚 <34
𝑚 ≠ −0&
0
&
𝑚 ≠34 D c
𝑚 <0&
Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑 là:
𝑥$− 3𝑥&− (2𝑚 − 1)𝑥 + 4𝑚 + 2 = 0 (1)
(𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
⇔Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khác 2
( x 2 ) ( x2 x 2 m 1 ) 0
2
x
= é
ë
( ) 2 8 1 2 5 0 0
m
ì
î