Hdg bdnlth toán 7 chương iii hình học phần 3

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁCTÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Bài 1... Vậy D là giao điểm của AC và đường trung trực của BC... + Chứng minh tương tự ta cũng c

Bài 13 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Bài 1

B A

C

 DA DB CA CB ;  (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ADC và ABC ta có:

( )

DA DB cmt

DC chung DAC DBC c c c

CA CB cmt







DCA DCB

Bài 2

D H

C

B A

Vì: AH DH (gt); AH là đường cao của ABC  AH BC  BC là đường trung trực của cạnh AD

;

CA CD BA BD

   (tính chất đừng trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ABC và DBC ta có:

( )

BA BD cmt

CA CD cmt ABC DBC c c c

BC chung





  BAC BDC  900(2 góc tương ứng)

BCD

  vuông tại D

Bài 3.

A

O

B C

Vì đường trung tực AB và AC cắt nhau tại O

;

OA OC OA OB

   (t/c đường trùn trực của đoạn thẳng)

OB OC

Bài 4.

M

D

C

B A

Ta có: CA=CB ( Vì ABC cân tại C)

DA = DB ( Vì DAB cân tại D)

 CD là đường trung trực đoạn thẳng AB

Mà: MA MB ( vì M là trung điểm của AB)

M CD

Vậy ba điểm C, M, D thẳng hàng

Bài 5.

M

D thuộc vòa đường trung trực của AC  DA DC  DB DC

b) Ta có DB = DC (cmt)

AB = AC ( Vì tam giác ABC cân tại A)

MB = MC ( M là trung điểm của BC)

 A, D, M thuộc đường trung trực của BC Vậy ba điểm A, D, M thẳng hàng

Bài 6

I

1 ( ) 2

1 ( ) 2

(cmt)

ABI IBC ABC gt ACI ICB ACB gt ACI ICB ABI IBC ABC ACB

















Xét IBC có: IBC ICB (cmt)  IBC cân tại I

2 Vì IBC cân tại I (cmt)  IB IC (t/c)  I thuộc đường trung trực của BC

AB = AC (vì ABC cân tại A)  A thuộc đường trung trực của BC

 AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.(đpmt)

Bài 7.

D

N M

K

A Gọi BxAC N Cy; ABM AD ; BC  K

+)Xét BCM vuông tại M và CBN vuông tại N ta có:

MBC NCB (vì tam giác ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

 BCM = CBN (ch.gn)

MCB NBC

DBC

DB DC

Xét ADB và ADC có:

AB = AC ( vì tam giác ABC cân tại A)

AD cạnh chung

DB = DC (cmt)

 ADB = ADC (c.c.c)

+)Xét ABK và ACK có:

BAK CAK ( vì ADB = ADC )

AB = AC (cmt)

ABCACB cmt

( )

ABK ACK g c g

  

AKBAKC (2 góc tương ứng)

Mà AKB AKC 1800 ( 2 góc kề bù)

  1800 0

90 2

AKB AKC

AD BC

Bài 8.

K

H

M

D

MD là cạnh chung

MB = MC ( vì MD là đường trung trực của BC)

MBD MCD

MB MC

+) Xét AHM vuông tại H và AKM vuông tại K, ta có:

HAM KAM gt

AM là cạnh chung

AHM AKM

HM KM

+) Xét HBM vuông tại H và KCM vuông tại K có:

HM =KM (cmt)

MB = MC (cmt)

HBM KCM

Bài 9.

B

D

1.Ta có: M thuộc đường trung trực của BD  MB MD (t/c đường trung trực của đoạn thẳng)

M thuộc đường trung trực của AC  MA MC (t/c đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét MBA và MDC ta có:

MB MD cmt

AB CD gt MBA MDC c c c

MA MC cmt





2.Vì MA=MC(cmt)  MAC cân tại M

MAC MCA (t/c của ta giác cân)

Mà MAB MCD  (vì MBA MDC)

MAC MAB

Bài 10.

D

G

( )

D AC gt  AD DC AC

Mà AD DB AC

 DC = DB  D thuộc đường trung trực của BC

Mà D thuộc AC

Vậy D là giao điểm của AC và đường trung trực của BC

Bài 11

1) + Do HDAB HI AB tại D (1), mà

DI DH  D

là trung điểm của HI (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là đường trung trực của IH.

+ Chứng minh tương tự ta cũng có AC

là đường trung trực của HK.

+ Ta có AI AH (AB là đường trung trực của đoạn

IH) và AKAH (AC là đường trung trực của đoạn

HK)  AI AK  AIK cân tại A.

2) Xét hai tam giác AGH và AGI có

,

AH AI GH GI  (A, G nằm trên đường trung trực

của đoạn IH), AG chung  AGH AGI (c.c.c)

Chứng minh tương tự ta cũng có  AMH AMK

3)

AHG AIG AGH AGI

AHM AKM AMH AMK HAG AHM HA

AIG AKM AIK









là tia phân giác của GHM

Bài 12

M G

K

D

H A

a) Do d là đường trung trực của AC nên

MA MC  MA MB MC MB BC   

b) MA MB ngắn nhất

MC MB BC M I

d

I

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC.

Bài 13

Do AD, BE là đường cao của tam giác ABC

nên H là

trực tâm của ABC  đường thẳng CH cũng

E

D

A

Bài 14.

Trong BCD có

BA CD BA CA DE BC HE BC     BA DE

là các đường cao của BCD  H là trực tâm của

BCD



 đường thẳng CH cũng là đường cao của BCD

CH BD

D

E C

H

Bài 15.

Trong BCD có

BA CD BA CA CH  BD CH Bx  BA CH

là các đường cao của BCD  H là trực tâm của

BCD



 đường thẳng DH cũng là đường cao của BCD

DH BC

Bài 16.

+ Ta có

( )

DI AB gt DI AC

AB AC gt







vuông góc đến song song)

hay AI DK mà

KEAD Bx AD  AI KE

là các đường cao của ADK  H là trực tâm

của ADK

+ ADH có DI, HE là các đường cao  K là

trực tâm của ADH  đường thẳng AK cũng

là đường cao của ADH

AK DH

y

x

K I H

E D C

Bài 17

Ta có

( )

HE AC gt HE AB

AB AC gt







góc đến song song) mà

AD BE AD BC   EH AD là các

đường cao của

ABE H

  là trực tâm của ABE

 đường thẳng BH cũng là đường cao của

E

D C

x

D

C

H



BH AE

Bài 18.

ADH

 có

AD AH

 





 45

ADH

hay IDB   45 ABC vuông cân tại A nên ABC  45 hay

 45

IBD  .

Trong IBD có:

 180   180 45 45 90

BID   IDB IBD          DI BC

BCD

 có CA BD gt DI ( ), BC cmt( ) CA DI, là các

đường cao của BCD  H là trực tâm của BCD  đường

thẳng BH cũng là đường cao của BCD  BH CD

I

C

A H

Bài 19

1) Ta có

( )

BA CF gt BF CH BF CE

CA BE gt CE BH

là các đường cao của BHC  A là trực tâm

của BHC

2) B là trực tâm của HCA , C là trực tâm của

HBA



H

D

E F

A

Bài 20.

1) AH BC gt( ) AHC vuông tại H

HCA HAC

    mà

HAB HAC    HCA HAB  ICA DAB

hay KCA KAB 

2) Ta có KAC KCA KAC KAB    90 Trong

KAC

KAC KCA    AKC   AKC

vuông tại K.

Tam giác ACD có

,

AH CD AH CK

CK AD







đường cao của ACD  I là trực tâm của ACD

3) I là trực tâm của ACD  DI AC, mà

//AB

AB AC  DI (từ vuông góc đến song

song)

K

H

A

C

B

Bài 21.

Tam giác BHC có

( )

( )

HD BC gt

BF CH gt HD BF CE

CE BH gt







là các đường cao của BHC  BF CE DH, ,

đồng quy

I

E F

D B

Bài 22

Ta có A1 A2 (AD là đường phân giác của

tam giác ABH)

 

3

B A (cùng phụ với C)

Mà ADC B A  1 (tính chất góc ngoài của

tam giác)

3 2

ADC A A DAC ACD

Do đường thẳng CE là đường phân giác của

tam giác cân ACD nên đường thẳng CE cũng là

đường cao của tam giác ACD  E là trực tâm

của ACD  đường thẳng DE cũng là đường

cao của tam giác ACD  DE AC mà

//

AB AC  DE AB (Từ vuông góc đến song

song)

3 2

1 E

D H B

ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN Bài 23

ABC

 có BD và CE là hai đường cao  H là

trực tâm của ABC  đường thẳng AH cũng

là đường cao trong ABC , mà ABC cân tại

A  đường thẳng AH cũng đồng thời là

đường phân giác của ABC hay tia AH là tia

phân giác của BAC.

H

A

Bài 24

ABC

 cân tại A có đường thẳng AI là đường

phân giác nên AI cũng đồng thời là đường cao,

mà CD là đường cao của ABC  I là trực

tâm của ABC  đường thẳng BI cũng là

đường cao trong ABC  BI AC

I D

A

Bài 25

ABC

 có hai đường phân giác BD và CE cắt

nhau tại I nên đường thẳng AI

cũng là đường phân giác của ABC hay AH là

đường phân giác của ABC Mà ABC cân

tại A nên AH cũng đồng thời là đường cao của

ABC

H B

A

C

Bài 26

ABC

 có BD và CE là hai đường cao nên H là

trực tâm của ABC  đường thẳng AH là

đường cao của ABC , mà ABC cân tại A

nên đường thẳng AH cũng đồng thời là đường

trung tuyến của ABC  A H M, , thẳng

hàng

Bài 27

M

D H

E

A

1) ABC cĩ hai đường trung tuyến BM và CQ

cắt nhau tại G nên G là trọng

tâm của ABC

Vì G là trọng tâm của ABC nên đường thẳng

AG là đường trung tuyến của ABC , mà

ABC

 cân tại A nên đường thẳng AG cũng là

đường cao của ABC (1)  G thuộc đường

cao AI của ABC

2) ABC cĩ hai đường cao BD và CE cắt nhau

tại H nên H là trực tâm của ABC nên đường

thẳng AH cũng là đường cao của ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng.

Q

I

D H

E

A

Bài 28

1) Ta cĩ



2

( là trung trực của AB)

OI AB OI









3

( là trung trực của AC)

OK AC OK







O O CAO BAO CAB

2) AOB cĩ OI vừa là đường trung trực, vừa là đường cao

nên OI cũng là đường phân giác của AOB

1 2

1 2

hay

 2

AOB AOI

Chứng minh tương tự ta cũng cĩ AOC2AOK

3) Ta cĩ

x

y

4 3

2 1

O I

K A

B

C

  2 2 2   2 2.90 180 , ,

BOA AOC  IOA AOK  IOA AOK  IOK      B O C

thẳng hàng (1)

Lại cĩ

(t/c đường trung trực) (t/c đường trung trực)

OA OC





Từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của BC.

Bài 29

1) ABC cân tại A cĩ AE là đường trung tuyến nên AE cũng

đồng thời là đường phân giác

2

CAE CAB

Ta cĩ

(A là trung điểm của BD)

AB AC ABC





cân tại A.

CAD cân tại A cĩ AF là đường trung tuyến nên AF cũng

đồng thời là đường phân giác nên

2

CAF CAD

Ta cĩ

FAE CAE CAF   CAB CAD  BAD   

Vậy FAE   90 .

2) Ta cĩ: ABC cân tại A cĩ AE là đường trung tuyến nên AE

cũng đồng thời là đường cao  AE BC (1)

Do FAE 90  AFAE(2) Từ (1) và (2) suy ra AF BC //

(3)

Do CAD cân tại A cĩ AF là đường trung tuyến nên AF cũng

F D

E B

A

C

đồng thời là đường cao  AF CD (4) Từ (3) và (4) suy ra

CD BC

Bài 30

ABE

 cân tại A có AI là đường phân giác nên

AI cũng đồng

thời là đường cao  AI BÊI hay EI AD

ADE

 có EI, DH là đường cao nên K là trực

tâm của ADE

suy ra đường thẳng AK cũng là đường cao

trong ADE  AK DE

K I

H E

D

A

Bài 31

ABE

 có BA BE  ABE là tam giác cân,

mà BD là tia phân giác của

góc ABC  đường thẳng BD là đường phân

giác của ABE

 đường thẳng BD cũng là đường cao trong

ABE K

  là trực tâm của ABE

EK AB

  (1), mà ABC vuông tại A

AC AB

Từ (1) và (2) suy ra EK AC //

2 1

E K

D H B