Hdg bdnlth toán 7 chương iii hình học phần 2

Chứng minh G là trọng tâm của Bài 2: Cho ABC cân tại A có đường phân giác AD... Do D là trung điểm của BC là AD là đường trung tuyến của tam giác ABC Xét tam giác ABC có hai đư

Trang 1

Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

Bài 1: 1) 2cm; 3cm; 4cm.

Ta có: 2cm3cm5cm4cm (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho là ba cạnh của một tam giác

2) 2cm; 4cm; 6cm

Ta có: 2cm 4cm 6cm. (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác3) 3cm; 4cm; 6cm

Ta có 3cm4cm 6cm. (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Bài 2: 1) 2cm; 3cm; 4cm.

Ta có 2cm 3cm4cm. (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

2) 1cm; 2cm; 3,5cm

Ta có 1cm 2cm3,5 cm (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác3) 2,2cm; 2cm; 4cm

Ta có 2, 2cm 2cm 4cm. (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Bài 3:

1) Ta có 6cm8cm10cm. (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

2) ta có: 6cm8cm 16cm. (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác3) 6cm 8cm14cm. (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác4) 5cm 10cm 12cm. (Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

5) 1m2m 3,3m (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác6)1, 2m 1m 2, 2 m (Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Nên bộ ba đoạn thẳng có độ dài đã cho không thể là ba cạnh của một tam giác

Bài 4: Xét tam giác ABC ta có:

Trang 2

Vì ABC cân mà AB3,9cm; BC 7,9cm nên ACBC7,9cm

2) ABC cân tại C

3) Chu vi tam giác ABC bằng

Chu vi tam giác ABC bằng

12 12 5 29

AB BC AC     cm

2) AB  7 cm AC ;  13 cm

Ta có AC AB BC AB AC  13 7 BC 13 7  6BC20Mà tam giác ABC cân nên

A

Xét AHB ta có AH BH AB (BĐT tam giác) (1)

Xét AHC ta cóAH HC  AC (BĐT tam giác) (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được :

2

AH BH AH HC AB AC  AH BC AB AC

Bài 8:

Trang 3

C B

Trang 4

Xét tam giác ACD ta có:

AD AC CD (BĐT tam giác), mà AB CD  AB AC AD (1)

Trang 5

Bài 11:

(sách đánh sai đề nên việc CM 2 tam giác chưa đúng, dẫn

đến việc CM các vđ dưới bị sai theo.)

Đề cho AC=AF nhưng có thể là AB=AF?

a) Xét ∆AEC và ∆AEF có:

Bài 13: a) ( câu b có sai đề không? )

∠C1 = ∠C2 (CM là phân giác ngoài góc C)

(câu b sai đề thầy/cô nhờ trưởng dự án chụp sách

để soát lại)

I

C B

A

M

Trang 6

Bài 14: Đề bài không có câu hỏi( nhờ trưởng dự án

chụp lại sách )

x N

M

Bài 15:

a) Vì DE // BC  ∠ADE = ∠ABC và ∠AED = ∠ACB

Mà ∠ABC = ∠ACB (do ∆ABC cân tại A)

d) – Ta có: AB = AC (∆ABC cân tại A)

AD = AE (∆ADE cân tại A)

A

D

Trang 7

Bài 16: (Vẽ hình thiếu kí hiệu AD=DI)

a) Xét ∆ADB và ∆IDC có:

E là trung điểm AC, D là trung điểm của BC

 ED là đường trung bình của ∆ABC

 ED = ½AB = BF = AF;

E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB

 EF là đường trung bình của ∆ABC

B C

Trang 8

Bài 18:

a) Xét ∆OAK và ∆OAI có:

• ∠OKA = ∠OIA = 900 (vì OK ⊥ AK, OI ⊥ AI)

Trong ∆KIM có: ∠KIM > ∠AKI

 KM > MI (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam

H O

Trang 9

 MC // BJ (có 2 góc so le trong bằng nhau)2) Trong ∆HBJ có: BJ < BH + HJ (BĐT trong ∆)

• ∆AIJ = ∆DIM (c.g.c)  AJ = DM (2 cạnh tương ứng)

• ∆BIJ = ∆CIM (c.g.c)  BJ = CM (2 cạnh tương ứng)

 MA + MD = MA + AJ

và MB + MC = MB + BJ

Mà BJ + BM < AM + AJ  MB + MC < MA + MD

Trang 10

Bài 11 BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G Chứng minh G là trọng tâm của

Bài 2: Cho ABC cân tại A có đường phân giác AD

1) Chứng minh ADBADC Điểm D là gì?

2) Chứng minh đường phân giác AD và hai đường trung tuyến BE, CF của ABC đồng qui tại một điểm.Giải:

D

A

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Do AD là phân giác góc BAC nên: BAD CAD

Xét ADB và ADC có:

Trang 11

 

AB AC cmt , BAD CAD cmt AD   ,

chung

Suy ra ADBADC c g c  DB DC  D

là trung điểm của BCb) Xét ABC có AD BE CF là các đường trung tuyến nên chúng đồng quy tại một điểm, ,

Bài 3: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G D là trung điểm của BC Đường AD

là đường gì và điểm G là điểm gì của ABC ? Chứng minh A, G, D thẳng hàng

Do D là trung điểm của BC là AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giácABC Suy ra A, G, D thẳng hàng

Bài 4: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G AG kéo dài cắt BC ở M Chứngminh MB MC

Trang 12

G I

K

D E

Xét AHB và AHC có:

AB AC HB HC AH  chung nên AHBAHC c c c 

2) Xét tam giác AGC có AK,GD,CI là các đường trung tuyến nên chúng đồng qui tại một điểm, từ đósuy ra ba đường AK, BD, CI đồng qui tại một điểm

Bài 6: Cho ABC có đường trung tuyến AD và trọng tâm G Đã biết

23

, hãy chứng minh2

GA GD, AD3GD (tính chất này sẽ được phép sử dụng trong các bài tập sau)

Giải:

G D

E F

A

Trang 13

Bài 7: Cho ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở G Kéo dài GD thêm một đoạn

DI DG Chứng minh G là trung điểm của AI

là trung điểm của AI

Bài 8: Cho ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD Kéo dài GD thêm một đoạn DI DG Gọi

E là trung điểm của AB IE cắt BG tại M Chứng minh M là trọng tâm của ABI Giải:

M

I

G D E

Trang 14

Xét tam giác ABI có hai đường trung tuyến IE và BG cắt nhau tại M nên M là trọng tâm của tam giácABI.

Bài 9: Cho ABC có M là trung điểm của BC Kéo dài từ B đến A thêm một đoạn AD AB AC cắt DMở G BG kéo dài cắt CD ở I

Trang 15

=> ABD = ACD (c.c.c)

=> ADB ADC ( 2 góc tương ứng)

Mà ADB ADC = 1800

=>ADB ADC = 900

=> ABD vuông tại D

Vì D là trung điểm của BC

=>

63

2) Ta có: AD là trung tuyến (D là trung điểm của BC)

BE là trung tuyến (GT)

Trang 16

Ta có: BE là trung tuyến (GT)

=>E là trung điểm của AC

63

Ta có: BE là trung tuyến (GT)

AD là trung tuyến (GT)

=>CK là trung tuyến => K là trung điểm của AB

Trang 17

F E

BO là trung tuyến

AH là trung tuyến

 

BOAH  E

=>E là trong tâm của ABD

Tương tự F là trọng tâm của ACD

2) Có: E là trọng tâm của ABD

Trang 18

G K

CI là trung tuyến

KE là trung tuyến

AD là trung tuyến

BE là trung tuyến

Bài 14:

Trang 19

D E

A

1)Xét ABC có:

BD là trung tuyến

CE là trung tuyến

Trang 20

=> ABC cân tại A

BI là trung tuyến

CK là trung tuyến

 

BICK  G

=>G là trọng tâm của ABC

=> AM là trung tuyến

Trang 21

GD AG AG

Mà AD là trung tuyến => G là trọng tâm của ABC

Có: E là trung điểm của AC (GT) => BE là trung tuyến => B, G, E thẳng hàng

1)Ta có: IBBC

Trang 22

AD 

AD là trung tuyến

Vì IBD = KCD (cmt)

=>ID = DK (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của IK

=> AD là trung tuyến của AIK

D

A

I G

1)AI = IG = GD

Trang 23

AD là trung tuyến của ABC

Mà: BE là trung tuyến của ABC

2) Ta có: CI là trung tuyến của ACG

GE là trung tuyến của ACG

OE

BE  => BE9OE

Bài 19

a) C là trung điểm AD (gt)  BC là đường trung

tuyến ứng với cạnh AD của ABD

 T là trọng tâm ABD

b) Xét ABD có T là trọng tâm (cmt)  DT là trung

tuyến hay DE là trung tuyến

 E là trung điểm AB

E

D

C T B

A

Trang 24

 G là trọng tâm của ABD

b) ABD có G là trọng tâm  AG là trung tuyến

hay AO là trung tuyến

 O là trung điểm của BD AG 2OG 

Mà AG CG  (G là trung điểm AC)

 CG 2OG   O là trung điểm GC

O

D G

CI là đường trung tuyến ( I là trung điểm AD;AI = ID)

=> G là trọng tâm ∆ADC

=> M là trung điểm của AC D

M

I G B

 M là trọng tâm của BCD

c) E là trung điểm BC  DE là trung tuyến của BCD

M là trọng tâm BCD  DM là trung tuyến của BCD

 DE DM   D,E,M

E

D C

Trang 25

Xét BAC và BME có:

ABC là góc chung

 BE 2BA   A là trung điểm BE

 CA là trung tuyến của BCE

M là trung điểm BC  EM là trung tuyến của BCE

A

Trang 26

(E là trung điểm AB, D là

trung điểm AC)

 BA CA   ABC cân tại A (đn)

 H là trung điểm BC, IK

 AH là trung tuyến AIK, ABC

 AIK, ABC có cùng trọng tâm.

Bài 26

E D

C G A

B

Bài 27

Gọi M là trung điểm BC

E là giao điểm MD và BA

 BE 2BA   A là trung điểm BE

 CA là trung tuyến BEC

M là trung điểm BC  EM là trung tuyến của BEC

 D là trọng tâm BEC

 CD 2AD  (đpcm)

D A

C B

Trang 27

Bài 12 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG

PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài 1:

H

K A

x

y

t M

1) So sánh MH và MK

Ta có At là tia phân giác của xAy (theo giả thiết)

Mà MH  Ax(giả thiết)

MK  Ay (giả thiết)

M  At(giả thiết)

Nên MH = MK (tính chất tia phân giác của một góc)

2) Chứng minh tam giác AMH bằng tam giác AKM

Xét AMH và AKM có:

AHM AKM 90 (giả thiết)

AM là cạnh chung

MH = MK (chứng minh trên)

Vậy AMH = AKM (cạnh huyền và cạnh góc vuông)

Bài 2:

Trang 28

K H

M

A

1) So sánh MH và MK

Ta có AM là tia phân giác của BAC (theo giả thiết)

Mà MH  AB (giả thiết)

MK  AC (giả thiết)

Nên MH = MK (tính chất tia phân giác của một góc)

2) Chứng minh tam giác BHM bằng tam giác CKM

Vậy  BHM =  CKM (cạnh huyền và cạnh góc vuông)

3) Tam giác ABC là tam giác gì?

Trang 29

CE là đường phân giác của BCA (giả thiết)

BD cắt CE tại M

Nên M là giao của 3 đường phân giác trong ABC

Suy ra đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC

2) So sánh tam giác ABM và tam giác ACM

Xét ABM và ACM có:

M

D

1) So sánh BAM với CAM

Xét ABC cân tại A có:

AM là đường trung tuyến (giả thiết)

Nên AM đồng thời là đường phân giác của góc BAC (tính chất tam giác cân)

Suy ra BAM = CAM

2) Lấy điểm D trên AM Kẻ DH AB ở H và DK  AC ở K Chứng minh tam giác DHK cân

Vì AM là phân giác của BAC (cmt)  DH DK(tính chất tia phân giác của một góc)  DHK cân tại D

Bài 5:

Trang 30

M

A

1) Tính số đo góc B và góc C

ABC BAC ACB   

(tổng 3 góc trong một tam giác)

  (180 80 )

502

(vì BI là tia phân giác của ABC )

Mà ABC 50(chứng minh trên)

Nên ABI IBC25

Xét AIB và AIC có:

AB = AC (giả thiết)

 

BAI CAI (vì AM là đường phân giác của BAC)

AI là cạnh chung

Vậy  AIB =  AIC (c.g.c)

Suy ra ACI ABI 25

Bài 6:

Trang 31

B

A

AM là đường trung tuyến (vì M là trung điểm của BC)

Suy ra AM đồng thời là đường phân giác của ABC (tính chất tam giác cân)

Xét ABC có:

AM, BI, CI lần lượt là phân giác của BAC , ABC , ACB

Mà BI cắt CI tại I (giả thiết)

Nên I là giao của ba đường phân giác trong ABC

Suy ra I thuộc AM

Hay A, M , I thẳng hàng

Bài 7:

y x

Trang 32

Mà ABCACB (giả thiết)

(giả thiết)

2

ACB ACI ICB

(giả thiết)Nên IBC ICB 

Suy ra IBC cân tại I hay I thuộc trung trực của BC (2)

Chứng minh tương tự ta có E thuộc trung trực của BC (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra A, I, E thẳng hàng

Bài 8:

I M

D

A

1) Chứng minh  ADB   90 và tính BD.

AD là đường phân giác (giả thiết)

Suy ra AD đồng thời là đường cao, trung tuyến (tính chất tam giác cân)Hay BD  DC 4  cm và  ADB   90

2) Tính độ dài AD, ID

Xét ABD vuông tại D, áp dụng định lí Pytago ta có:

2 2 2

AB AD BD

Suy ra AD2 AB2 BD2 52 42  9

Nên AD 3  cm

AD là đường trung tuyến (chứng minh trên)

Trang 33

BM là đường trung tuyến (giả thiết)

Mà AD và BM cắt nhau tại I (giả thiết)

Nên I là trọng tâm của ABC

1) Tính số đo ADB

AD là đường phân giác (giả thiết)

Suy ra AD đồng thời là đường cao, trung trực (tính chất tam giác cân)Hay  ADB   90

2) Tam giác IBC là tam giác gì?

Ta có AD là đường trung trực của BC (chứng minh trên)

Mà I thuộc AD (giả thiết)

Nên I thuộc đường trung trực của BC

Hay IB = IC

Suy ra IBC cân tại I

3) Tính tỉ số

ID AD

AD là đường trung tuyến (chứng minh trên)

BM là đường trung tuyến (giả thiết)

Mà AD và BM cắt nhau tại I (giả thiết)

Nên I là trọng tâm của ABC

Trang 34

Bài 10

1) Ta có ABC đều (gt) => AB = AC = BC và

Xét ABD và ACD có:

AD chung ; BADCDA(AD là phân giác)

AB = AC (cmt)

 ABD = ACD (cgc)

 BD = DC = 5cm và ADBADC 90 0

Xét ADB vuông tại D có: AB2 = AD2 + BD2 (định

D

A

Bài 11.

1) BI, CI là phân giác của  ABCvà  ACB

=> AI là phân giác  BAC



0 090BAI CAI 45

  (BI là phân giác)

 BDI =BFI ( cạnh huyền – góc nhọn) => DI = IF

Chứng minh tương tự CFI =CEI ( cạnh huyền – góc

Trang 35

Bài 12.

1) Xét IBD vuông tại D và IBE vuông tại E có:

IB chung

DBI IBE

  (BI là phân giác)

 IBD =IBE ( cạnh huyền – góc nhọn) => ID = IE

Tương tự chứng minh: IEC =IFC ( cạnh huyền – góc

nhọn) => IE= IF => ID = IE = IF

2) Ta có: ID = IF ( cmt)

=> I nằm trên đường phân giác của góc DAF

=> AI là tia phân giác của góc BAC

E

F D

 AI là đường phân giác (tính chất)

+) Xét ADI vuông tại D và AEI vuông tại E ta có:

AI chung

DAI EAI

  (AI là phân giác)

 ADI = AEI (cạnh huyền – góc nhọn) =>

B

Trang 36

 CF = CE

Bài 15

1) Ta có: ABC cân ở A (gt) => AB = AC

Mà BM, CN là trung tuyến

 AMN cân tại A

2) Xét ABC có: BM, CN là đường trung tuyến (gt)

BM CN {I}  

 I là trọng tâm của ABC

Kéo dài AI BC {P}  

 AP là đường trung tuyến

+) Xét ABH và ACH có:

C B

A

Trang 37

Bài 16

a Xét ABC có:

AI là phân giác  BAC(gt)

BD là phân giác  ABC(gt)

BD AI {I}  

 I là giao điểm của ba đường phân giác ABC

 CI là phân giác  ACB(định lý)

b Có BI là phân giác  ABC=> 1 2

Mà  EIB 60  0  CID(cmt)

  BIF  FIC  EIB  CID 60  0

+) Xét IDC và IFC có:

Trang 38

+) Xét IEB và IFB có:

1) So sánh EBI với IBC ; DCI với ICB

2) Tính số đo của BIC ; EIB ; DIC

3) Hai tia phần giác của IBC và ICB cắt nhau ở F.

So sánh tam giác EIB với tam giác FBI; tam giác

DCI với tam giác FCI.

4) Tam giác DIE là tam giác gì?

(gt) 2) Xét ABC vuông tại có:

ABC + ACB = 900 (định lý)

D E B

Trang 39

+) Có: BIC + EIB = 1800 (2 góc kề bù)

=> EIB = 600

=> DIC = 600

3) Xét IBC có:

BF, CF là tia phân giác

=> IF là tia phân giac thứ 3

BD là phân giác  ABC(gt)

CE là phân giác  ACB(gt)

BD CE {I}  

 I là giao điểm của ba đường phân giác ABC

 AI là phân giác  BAC(định lý)

2) Có BD là phân giác  ABC=>

Tiêu đề	Hướng Dẫn Bài Tập Toán 7 Chương 3 - Hình Học Phần 2
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Hình học
Thể loại	Tài liệu hướng dẫn học tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,16 MB