Hdg bdnlth toán 7 chương ii hình học phần 3

Kéo dài CB thêm một đoạn BE bằng với DC... 4 Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Vậy: Hai đoạn thẳng AB và OM cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đoạn... Gọi D là trung điểm cạnh AB

KỸ THUẬT KỀ BÙ

Bài 67 Cho  ABC và  DEF có BAC E F D , AB DE  ,AC DF  Lấy M trên AB và N trên

DE sao cho AM  DN Chứng minh:

 



MC NF cmt

 BMC  ENF (c – g –c)c – g –c)

BCM   EFN  (c – g –c)hai góc tương ứng)

Bài 68 Cho xOy và tia phân giác Oz Lấy I thuộc Oz và A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho OA OB 

1) Chứng minh  AOI  BOI

2) Trên tia đối của tia Oz, lấy H bất kì Chứng minh AOH BOH

3) Chứng minh HO là tia phân giác của AHB

1) Vì Oz là tia phân giác xOy AOI BOI

2) Ta có: AOI AOH 1800(c – g –c)hai góc kề bù) AOH 1800AOI

BOI BOH 1800(c – g –c)hai góc kề bù) BOH 1800BOI

Mà AOI BOI AOH BOH

 HO là tia phân giác của AHB

Bài 69 Cho  ABC có góc B tù và đường cao AH Trên tia AH lấy D sao cho H là trung điểm của AD.Chứng minh:

1) BH là phân giác  AB D và ABC DBC

HB : cạnh chung

AHBDHB c g c   

 ABH DBH (c – g –c)hai góc tương ứng)

 BH là phân giác ABD

Ta có: ABH ABC 1800(c – g –c)hai góc kề bù)  ABC1800 ABH

Bài 70 Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau ở O.

1) Chứng minh xOy x Oy    ' ' rồi cho nhận xét

2) Ot và Ot’ là hai tia phân giác của hai góc xOy và  ' x Oy ' tương ứng Chứng minh xOt  'x Ot'.3) Chứng minh hai tia Ot và Ot’ đối nhau

x Oy' 'xOy' 180 0(c – g –c)hai góc kề bù) x Oy' ' 180 0xOy' 2 

(c – g –c)Vì Ot là tia phân giác của xOy)

 là hai tia đối nhau

Bài 71 Cho ABC có ABC ACB Trên tia AB lấy K bất kì Kéo dài AC thêm một đoạn CM bằngvới BK; MK cắt BC ở D Kéo dài CB thêm một đoạn BE bằng với DC Chứng minh:

1) EBK DCM 2)  EBK  DCM 3) KEB K B    D

1) Ta có: ABC EBK 1800(c – g –c)hai góc kề bù)  EBK1800ABC

ACB DCM 1800(c – g –c)hai góc kề bù) DCM 1800ACB

Vì ABCACB nên EBK DCM

(c – g –c)vì BD là phân giác của ABC )

2

ACB ACE ECB 

(c – g –c)vì CE là phân giác của ACB )

Mà ABCACB DBC ECB

Xét EBC và DCB có:

C B

A

(c – g –c)vì BD là phân giác của ABC )

2

ACB ACE 

(c – g –c)vì CE là phân giác của ACB )

Mà ABC ACBABD ACE

1) Chứng minh  OMB  ON A và AMI BNI

2) Chứng minh AM = BN và  IAM  IBN

3) Chứng minh OI là tia phân giác của xOy.

4) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB Chứng minh ba điểm O, I, K thẳng hàng

y

K I M

A

Ta có: OMB AMI 1800  AMI 1800 OMB

ONA BNI  1800  BNI 1800  ONA

Mà : OMB ONA   AMI BNI

MOINOI (c – g –c)hai góc tương ứng)

 OI là tia phân giác của xOy (c – g –c)1)

4) Vì K là trung điểm của AB KA KB

AOK BOK (c – g –c)hai góc tương ứng)

 OK là tia phân giác của xOy (c – g –c)2)

Từ (c – g –c)1) và (c – g –c)2)  OI , OK trùng nhau

 ba điểm O I K, , thẳng hàng

KỸ THUẬT BẮC CẦU Bài 74.

a) OMN có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 OMN cân tại O (c – g –c)dhnb)  OM = ON (c – g –c)t/c)

b) OMP có OK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 OMP cân tại O (c – g –c)dhnb)  OM = OP (c – g –c)t/c) Mà OM = ON, Suy ra ON = OP

a) Chứng minh OMH ONH  OM ON

b) Chứng minh OMK OPK  OM OK

ON OP

Bài 75.

K

C H

 có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 AHI cân tại A(c – g –c)dhnb)  AH = AI (c – g –c)t/c)

AHK

 có AN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 AHK cân tại A(c – g –c)dhnb)  AH = AK (c – g –c)t/c) Mà AH = AI, suy ra AI = AK

Chứng minh AMI AMH  AI AH

Chứng minh ANH ANK  AH AK

N K

G A

1) BNKANG(c – g –c)c.g.c)  BK AG (c – g –c)2 cạnh tương ứng)

2) CMHAMG(c – g –c)c.g.c) CH AG (c – g –c)2 cạnh tương ứng)

Mà BK = AG (c – g –c)cmt), suy ra BK = CH

Bài 77.

C B

M N

Suy ra: AK = AI

2) Sử dụng kết quả câu a, c/m: AK // BC và AI // BC  K, A, I thẳng hàng (c – g –c)Tiên đề Ơ – clit)

AMB DMC (c – g –c) Hai góc đối đỉnh)

MB MC (c – g –c)M là trung điểm của BC)

Nên AMBDMC C.G.C   AB CD (c – g –c)Hai cạnh tương ứng)

Xét ABH và EBH có:

B C

b)  ACO ODB hayACD CDB· · · ·

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên

d)  ADO OCBhay ADC DCB· · · ·

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên

AD BC DHNB

Bài 81

a) Xét BAM và BOM có:

OM OA (c – g –c) M là trung điểm của OA)

BMA CMK (c – g –c)Hai góc đối đỉnh)

MA MC (c – g –c)BM là trung tuyến ứng cạnh AC)

BMC AMK (c – g –c)Hai góc đối đỉnh)

MA MC (c – g –c)BM là trung tuyến ứng cạnh AC)

BMA CMK (c – g –c)Hai góc đối đỉnh)

MA MC (c – g –c)BM là trung tuyến ứng cạnh AC)

BMC AMK (c – g –c)Hai góc đối đỉnh)

MA MC (c – g –c)BM là trung tuyến ứng cạnh AC)

a Chứng minh: BIMCDM(c – g –c)c.g.c) IBM MCD  (c – g –c)2 góc tương ứng)  BI / /CD

b Chứng minh:CIMBDM(c – g –c)c.g.c) CIM MDB  (c – g –c)2 góc tương ứng)  CI / /BD

A

a Chứng minh:NEBGEA(c – g –c)c.g.c) NBE EAG (c – g –c)2 góc tương ứng) BN / /AG

b Chứng minh:ADGCDM(c – g –c)c.g.c)  GAD MCD  (c – g –c)2 góc tương ứng) CM / /AG

c Có BN // AG; CM // AG Suy ra: BN // CM

Bài 89.

a Chứng minh:NEBGEA(c – g –c)c.g.c) BN = AG (c – g –c)2 cạnh tương ứng); NBE EAG  (c – g –c)2 góc tương ứng) BN / /AG

b Chứng minh:ADGCDM(c – g –c)c.g.c)  AG = CM (c – g –c)2 cạnh tương ứng); GAD MCD  (c – g –c)2 góc tương ứng) CM / /AG

c Có BN // AG; CM // AG Suy ra: BN // CM

BN = AG; AG = CM Suy ra: BN = CM

Mà AM = AN (c – g –c)=BC) Suy ra A là trung điểm của MN.

ÔN LUYỆN Bài 92

B

C

I

D M

A

D B

A

C O

Suy ra: BAC EBD  (c – g –c)hai góc tương ứng)

Mà BAC và EBD là hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó: AC BE//

2) BK là đường phân giác của ABC , DI là đường phân giác của BDE Chứng minh BK DI//

Vì BK là đường phân giác của ABC nên  

12

Suy ra: ABK BDI

Mà ABK và BDI là hai góc ở vị trí đồng vị.

BM Ox(c – g –c)gt)  AOM BMO (c – g –c)so le trong)

Xét AOM và BMO có: AMO BOM ;

K

E D

A

2) Hai đoạn thẳng AB và OM cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đoạn.

Ta có: AM Oy// (c – g –c)gt)  MAI OBI  (c – g –c)so le trong)

Xét AIM và BIO có: MAI OBI  (c – g –c)chứng minh trên);

AM OB (c – g –c)chứng minh ở ý a) );

AMI IOB (c – g –c)chứng minh ở ý a) )

Do đó: AIM BIO(c – g –c)g.c.g)  IM IO (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

 I là trung điểm của đoạn thẳng OM

Chứng minh tương tự, ta có: AIO BIM (c – g –c)g.c.g)  IA IB (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

 I là trung điểm của đoạn thẳngAB.

Vậy: Hai đoạn thẳng AB và OM cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đoạn

Suy ra: MA CD (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

Và MAN DCN (c – g –c)hai góc tương ứng), mà MAN và DCN là hai góc ở vị trí so le trong.

M

A

DE BC (c – g –c)gt)  BEB EBF (c – g –c)so le trong).

Xét BDE và EFB có: DBE FEB ;

Chung cạnh BE;

BEB EBF

Do đó: BDEEFB(c – g –c)g.c.g)  BD EF (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

Mà D là trung điểm của AB nên BDAD

A

Xét ADE và EFC có: DAE FEC  ;

Suy ra: MA CD (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

Và MAN DCN (c – g –c)hai góc tương ứng), mà MAN và DCN là hai góc ở vị trí so le trong.

Suy ra: CD AM//  BMC DCM (c – g –c)so le trong)

M

A

Bài 100

Gọi D là trung điểm cạnh AB của ABC Đường thẳng đi qua

D song song với BC cắt AC tại E Ta phải chứng minh: E là

trung điểm của cạnh AC

- Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F.

Ta có: EF AB// (c – g –c)gt)  DBE FEB (c – g –c)so le trong)

//

DE BC (c – g –c)gt)  BEB EBF (c – g –c)so le trong)

Xét BDE và EFB có: DBE FEB ;

Chung cạnh BE;

BEB EBF

Do đó: BDEEFB(c – g –c)g.c.g)  BD EF (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

Mà D là trung điểm của AB nên BDAD

Suy ra: ADE EFC

Xét ADE và EFC có: DAE FEC  ;

A

Vậy: E là trung điểm của cạnh AC

Suy ra: BAM CDM (c – g –c)hai góc tương ứng), mà BAM

và CDM là hai góc ở vị trí so le trong nên: CD AB// (c – g –c)đpcm).

2) Chứng minh ABC CAD;

Vì ABM DCM (c – g –c)chứng minh trên) nên AB CD (c – g –c)hai cạnh tương ứng)

Lại có: BAM MAC  90 ;

Mà: BAM CDM (c – g –c)chứng minh trên)

Suy ra: CDM MAC  90

Trong CAD có: CDM MAC ACD   180 (c – g –c)định lí về tổng 3 góc của một tam giác)

Ta có: ABC CAD BCA DAC  (c – g –c)hai góc tương ứng)

Suy ra: AMC cân tại M  AM MC

Bài 102 Chứng minh giống bài 101.

Bài 103 Cho ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở G Kéo dài GD thêm một đoạn DI

= DG Kéo dài GE thêm một đoạn EK = EG

5

4 3

2 1

2 1

4 3

H

2

1 2

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AK // CG (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song) (c – g –c)3)

Vì ΔAEK và ΔCEG có:CDG = ΔAEK và ΔCEG có:BDI (c – g –c)theo câu 1)

⇒ ^G2 = ^I (c – g –c)2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ CG // BI (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song) (c – g –c)4)

Từ (c – g –c)1) và (c – g –c)2) ⇒ AK // BI (c – g –c)// CG) (c – g –c)theo định lí về tính chất 3 đường thẳng song song).3) Vì AK // BI (c – g –c)theo câu 2)

⇒ {^K^KAG=^I (2 góc so≤trong)1=^GBI (2 góc so≤trong)

Xét ΔAEK và ΔCEG có:GAK và ΔAEK và ΔCEG có:GIB có:

Xét ΔAEK và ΔCEG có:CEK và ΔAEK và ΔCEG có:AEG có:

⇒ CK // AG (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song) (c – g –c)3)

Vì ΔAEK và ΔCEG có:AFG = ΔAEK và ΔCEG có:BFH (c – g –c)cmt)

⇒ ^G4 = ^H (c – g –c)2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AG // BH (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song) (c – g –c)4)

Từ (c – g –c)1) và (c – g –c)2) ⇒ CK // BH (c – g –c)// AG) (c – g –c)theo định lí về tính chất 3 đường thẳng song song)

khoảng bằng

2

3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Bài 104 Cho OAB có OA < OB Kéo dài AO về phía O thêm một đoạn OD bằng với OB Kéo dài BO

về phía O thêm một đoạn OC bằng với OA Chứng minh ABD = CDB.

2 1

C

D

B A

OB = OD (c – g –c)gt)

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:OAB = ΔAEK và ΔCEG có:OCD (c – g –c)c.g.c)

⇒{AB=CD (2 cạnhtương ứng)^A=^ C (2 góc tươngứng)

Bài 105 Cho ABC có BAC  120o và A’B’C’ có  ' ' ' 60B A C  o; A B ’ ’  AB; A C ’ ’  AC.

AM là đường trung tuyến của ABC Kéo dài AM về phía M thêm một đoạn MD = MA Chứng minh1) AB // CD và AB = CD

2) A’B’C’ = CDA

3) B’C’ = 2AM

60°

1 2

1

C' B'

A'

M

D

C B

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:ABM = ΔAEK và ΔCEG có:DCM (c – g –c)c.g.c)

⇒ {AB=DC (2 cạnh tươngứng) B=^^ C1(2 góc tương ứng)

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:A’B’C’ = ΔAEK và ΔCEG có:CDA (c – g –c)c.g.c)

3) Vì ΔAEK và ΔCEG có:A’B’C’ = ΔAEK và ΔCEG có:CDA (c – g –c)theo câu 2)

⇒ B’C’ = DA (c – g –c)2 cạnh tương ứng)

Lại có DA = 2AM (c – g –c)gt)

⇒ B’C’ = 2AM

Bài 106 Cho ABC và A’B’C’ có BAC B A C ' ' ' 180 o và A’B’ = AB; A’C’ = AC M là trung

điểm của ABC Tính

D B

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD

Xét ΔAEK và ΔCEG có:ABM và ΔAEK và ΔCEG có:DCM có:

AM = MD (c – g –c)gt)

^

M1 = ^M2 (c – g –c)2 góc đối đỉnh)

BM = CM (c – g –c)gt)

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:ABM = ΔAEK và ΔCEG có:DCM (c – g –c)c.g.c)

⇒ {AB=DC (2 cạnh tươngứng) B=^^ C1(2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AB // CD (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song)

⇒ ^BAC + ^ ACD = 180° (c – g –c)2 góc trong cùng phía)

1) Chứng minh ABC DAF

2) MA cắt BC ở H ABH là tam giác gì?

4

1 2

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:AME = ΔAEK và ΔCEG có:FMD (c – g –c)c.g.c)

⇒ {AE=FD (2 cạnhtương ứng)^F=^ EAM (2 góc tương ứng)

Ta có: AE = FD (c – g –c)cmt), AE = AC (c – g –c)gt) ⇒ FD = AC

^

F = ^ EAM (c – g –c)cmt), mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ FD // AE (c – g –c)theo DHNB 2 đường thẳng song song)

⇒ ^FDA + ^ DAE = 180° (c – g –c)2 góc trong cùng phía) (c – g –c)1)

Lại có: ^DAE + ^ A2 + ^BAC + ^ A3 = 360°

⇒ ^DAE + 90° + ^ BAC + 90° = 360°

⇒ ^DAE + ^ BAC = 360° - 90° - 90° = 180° (c – g –c)2)

Từ (c – g –c)1) và (c – g –c)2) ⇒ ^FDA = ^ BAC

Xét ΔAEK và ΔCEG có:DAF và ΔAEK và ΔCEG có:ABC có:

Lại có: ^A1 = ^B1 (c – g –c)theo câu a) ⇒ ^B1 + ^A4 = 90°

Xét ΔAEK và ΔCEG có:ABH có ^B1 + ^A4 = 90° (c – g –c)cmt) ⇒ ^AHB = 90°

Vậy ΔAEK và ΔCEG có:ABH vuông tại H

Bài 108 Cho ABC vuông ở A và AB = AC Qua A vẽ đường thẳng xy (c – g –c)B và C ở cùng phía đối với xy)sao cho xy không song song với BC Vẽ BD  xy tại D và CE  xy tại E

1) Chứng minh BADphụ với CA E

2) Chứng minh ABD CA E và ACEBAD

3) So sánh ABD và ACE.

4) Chứng minh BD + CE = DE

1 1

3 21

y

x

E D

C B

Vậy ^BAD phụ với ^ CAE.

2) Xét ΔAEK và ΔCEG có:DBA vuông tại D có: ^A1 + ^B1 = 90° (c – g –c)2 góc nhọn phụ nhau),

lại có: ^A1 + ^A2 = 90° (c – g –c)theo câu 1) ⇒ ^B1 = ^A2

Xét ΔAEK và ΔCEG có:EAC vuông tại E có: ^A2 + ^C1 = 90° (c – g –c)2 góc nhọn phụ nhau),

lại có: ^A1 + ^A2 = 90° (c – g –c)theo câu 1) ⇒ ^C1 = ^A1

Vậy ^ABD = ^ CAE , ^ ACE = ^ BAD

3) Xét ΔAEK và ΔCEG có:DBA vuông tại D và ΔAEK và ΔCEG có:EAC vuông tại E có:

BA = AC (c – g –c)gt)

^A1 = ^C1 (c – g –c)theo câu 2)

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:DBA = ΔAEK và ΔCEG có:EAC (c – g –c)cạnh huyền – góc nhọn)

4) Vì ΔAEK và ΔCEG có:DBA = ΔAEK và ΔCEG có:EAC (c – g –c)theo câu 3)

⇒ {DB=EA (2 cạnh tươngứng) DA=EC (2 cạnhtương ứng)

Ta có DE = DA + AE = EC + DB

Vậy BD + CE = DE

Bài 109 Cho ABC có B và C nhọn, AB < AC, đường cao AH Vẽ đường thẳng BD = BA, BD 

BA sao cho C và D khác phía đối với AB Vẽ đoạn thẳng CE = CA, CE  CA sao cho B và E khác phíađối với AC Kẻ DI  BC tại I và EK  BC tại K Chứng minh:

1) ABH phụ với DBI 2)  ABH  B I  D và  BAH  DBI 

3) ABH = DBI 4) ACH = CEK

5) BI = CK

3

2 1

1

3

KI

Vậy ^ABH phụ với ^ DBI.

2) Xét ΔAEK và ΔCEG có:IDB vuông tại I có: ^B2 + ^D1 = 90° (c – g –c)2 góc nhọn phụ nhau),

lại có: ^B1 + ^B2 = 90° (c – g –c)theo câu 1) ⇒ ^B1 = ^D1

Xét ΔAEK và ΔCEG có:HBA vuông tại H có: ^A1 + ^B1 = 90° (c – g –c)2 góc nhọn phụ nhau),

lại có: ^B1 + ^B2 = 90° (c – g –c)theo câu 1) ⇒ ^A1 = ^B2

Vậy ^ABH = ^ BDI , ^ ACE = ^ DBI

3) Xét ΔAEK và ΔCEG có:HBA vuông tại H và ΔAEK và ΔCEG có:IDB vuông tại I có:

BA = DB (c – g –c)gt)

⇒ ΔAEK và ΔCEG có:HCA = ΔAEK và ΔCEG có:KEC (c – g –c)cạnh huyền – góc nhọn)

5) Vì ΔAEK và ΔCEG có:HBA = ΔAEK và ΔCEG có:IDB (c – g –c)theo câu 3)

3 21

E

D

C B



= 90°

Vậy ^BAC = ^ DAE = 90°.