Hdg bdnlth toán 7 chương ii hình học phần 4

Trên tia đối của tia HM lấy HP = HM, trên tia đối của tia KMlấy KQ = KM... Trên tia đối của tia AB lấy ADAC , trên tia đối của tia AC lấyAEAB.. CóAEAB AEB cân tại A tam giác có h

Bài 4 TAM GIÁC CÂN Bài 1: Hình sai lời giải đúng

ADO BOD

Bài 3:

OMA OMC

Cmtt

902

A

a) BM CN; là đường trung tuyến

Bài 12 Cho tam giác ABC cân ở A có hai đường trung tuyến BM và CN Chứng minh:

1) Tam giác AMN cân 2) MN // BC

M N

Bài 13 Cho tam giác ABC cân ở A có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I

1) Chứng minh tam giác IBC cân

2) So sánh BD và CE

3) Tam giác ADE là tam giác gì?

c) ABD ACE AD AE  ADEcân tại A

Bài 14 Cho tam giác ABC nhọn Trên tia đối của tia AB lấy AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy AE

= AB

1) Tam giác ACD và tam giác ABE là tam giác giác gì?

2) Chứng minh CD // BE

3) Gọi M là trung điểm của BE Chứng minh AM vuông góc BE

4) Kéo dài MA cắt CD ở N Tính số đó ANC.

N M

E

D

A

1) Vì AD AC  ACD cân tại A

Vì ABAE ABE cân tại A

Vì ABAE ABE cân tại A

1) Tam giác ACD và tam giác ABE là tam giác gì?

2) Vẽ đường thẳng xAy sao cho Ax là tia phân giác của CAD Chứng minh Ay là phân giác

D

A

1) Vì AD AC  ACD cân tại A

Vì ABAE ABE cân tại A

2) Ax là tia phân giác của CAD; CAD và BAE đối đỉnh

xy

 là đường phân giác của BAE hay Ay là phân giác của BA  E

3) ACD cân tại A; AM là phân giác  AM là trung tuyến đồng thời là đường cao

 M là trung điểm của CD và BNA   90o

Bài 17 Cho xOy = 60o và điểm M nằm trong xOy (M không nằm trên tia Ox và Oy) Kẻ HM vuông

góc Ox ở H và MK vuông góc Oy ở K Trên tia đối của tia HM lấy HP = HM, trên tia đối của tia KMlấy KQ = KM

1) Chứng minh OHM = OHP, OKM = OKQ.

2) Tam giác OPQ là tam giác gì?

3) Tính số đo POQ.

x

1 2 4 3

Bài 18 Trên cạnh Ax của góc nhọn xAy lấy hai điểm B và D sao cho B nằm giữa A và D Trên tia

Ay lấy C, E sao cho AB = AC và AD = AE

1) Chứng minh ACD = ABE

2) Gọi I là giao điểm của CD và BE So sánh IBD với  E IC

3) Chứng minh IBD = ICE

4) Tam giác IBC và tam giác IDE là tam giác gì?

E C

Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  Lấy D trên AC và E trên tia đối của tia BA

sao cho AD AB  và BE CD  Tia phân giác của góc A cắt CE ở I .

1) AEC là tam giác gì?

2) Tính số đo góc AIC và chứng minh I là trung điểm của CE.

I E

D

B

C A

1) Tam giác OEF là tam giác gì?

2) So sánh OEF với OAB.

O

E A

1) Vì OE OF  OEF cân tại O

Bài 21: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy ADAC , trên tia đối của tia AC lấy

AEAB

1) Tam giác ACD và tam giác ABE là tam giác gì?

2) Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của BE Chứng minh CAM EAN

Bài giải

j

M N

E

D

A

a) Có:AD AC gt  ADC cân cân A (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)

CóAEAB AEB cân tại A (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)

b)Có: EAB DAC (đối đỉnh)

Có: AM là đường trung tuyến của ACD

 AM là đường phân giác DAC  

12

 

(2)+) AN là đường trung tuyến AEBcân tại A( N là trung điểm của EB)

 1

2

AN là phân gi ác EAN  E B A

 CAM EAN

Bài 22: Cho xOy 90o và tia phân giác Oz Lấy A trên Oz và M là trung điểm của OA Từ M kẻ

đường thẳng vuông góc với OA cắt Oy ở B.

1) Chứng minh tam giác ABO cân và Ox AB||

2) Nếu xOy  70o , tính số đo góc OBA.

Bài giải

z x

B

M O

Có: +) OBA cân tại B (cmt) nên BAO BOA (tc tam giác cân) (1)

+) OA là phân giác xOy  xOA AOB (tc tia phân giác) (2)

Bài 23: Cho tam giác ABC cân ở A có Ax là tia đối của tia AB

1) Chứng minh CAx 2ABC

2) Gọi Ay là tia phân giác của xAC So sánh xAy và ABC

3) Chứng minh Ay BC||

4) Gọi AD là đường phân giác của ABC Chứng minh AD vuông góc Ay và AD vuông góc BC

Bài giải

y x

 

CAx 2ABC

b)Có: Ay là phân giác xAC  xAy 12xAC

Mà CAx 2ABC    xAy ABC 

c)CóxAy ABC cmt  ( ) Ay BC / /

d)Có: Ay là phân giác CAx ; mà CAx là góc ngoài tam giác ABC

 Ay là phân giác ngoài tam giác ABC tại đỉnh A

Mà AD là phân giác trong tam giác ABC tại đỉnh A ADAy

Có: Ay BC / /  ADAy

Bài 24: Cho tam giác ABC cân ở A có Ax là tia đối của tia AB Kẻ Ay là tia phân giác của

xAC Chứng minh xAy    ABC và Ay BC / / .

y x

CAx ABC ACB

   ; mà ∆ABC cân tại A (gt)  CAx 2ABC 

Có: Ay là phân giác xAC  

12

 

Mà CAx 2ABC    xAy ABC 

Có: Ay là phân giác xAC  xAyyAC

Mà xAy ABC  Ay BC / /

Bài 25: Vẽ xOy   130o và tia phân giác Oz Từ điểm M trênOz vè đường thẳng vuông góc với

Ox ở A và Oy ở B.

1) Tam giác OAB là tam giác gì?

2) Tính số đo của OMA.

a) Có: Oz là phân giác xOy AMO BMO

Xét ∆ vuông MAO và ∆ vuông MBO:

)(

∆ OAB cân tại O (dhnb

b)Có: Oz là phân giác xOy (gt)   12 65

OMA MOA   OMA  MOA

Bài 26: Cho tam giác ABC cân ở A có AB AC BC   Gọi M là trung điểm của AC và N là

trung điểm của AB Từ M vẽ đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC ở E Từ N vẽ

đường trung trực của AB cắt đường thẳng BC ở D.

1) Chứng minh MC CE  ( SAI ĐỀ)

2) So sánh BD và CE.

D E

M N

  

(3)

Từ (1) + (2) + (3)  MA MC NA NB.

Có: ME là trung trực AC  MEAC  EMC 90onên ∆ EMC vuông tại M.

+) ND là trung trực AB NDAB DNB 90onên ∆ DNB vuông tại N.

Xét ∆ vuông EMC và ∆ vuông DNB:

Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Trên tia đối của tia HA lấy HD HA  .

Chứng minh:

1) BC là tia phân giác của ABD.

2) CB là tia phân giác của ACD.

1) Tam giác ADC là tam giác gì?

2) Từ B kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở I Chứng minh tam giác ABI cân.

a) Có: AM là phân giác BAC  AM là phân giác DAC  AM là phân giác ∆ ADC (1)

Mặt khác: AM CM  AMDC  AM là đuong cao ADC 2 

Từ (1) + (2)  ADC cân tai A

b)Có: ∆ ADC cân tại A (cmt)  ADC ACD (tc ∆ cân) (3)

Mặt khác: BI/ /CD=>

( )(4)( )

ABI ADC dv AIB ACD dv

Bài 29: Cho xOy và tia phân giác Oz Từ điểm M trên Oz vẽ đường thẳng vuông góc với Oz cắt

Ox ở A và Oy ở B.

1) Chứng minh tam giác OAB cân.

2) Lấy C trên Oz Tam giác ACB là tam giác gì?

a)OM là phân giác ∆ AOB

Mặt khác: AB OM (gt) nên OM là đường cao ∆ AOB AOB cân tai O

b)Có: ∆ AOB cân tại O (cmt); OM là đường cao ∆ AOB (cmt)

 OM là đường trung tuyến ∆AOB

 M là trung điểm AB

 CM là đường trung tuyến ∆ABC

Mặt khác: CM  AB nên CM là đường cao ∆ABC∆ABC cân tại C

Bài 30: Cho tam giác ABC cân ở A có AM là đường trung tuyến Trên tia đối của tia MA lấy

MD MA  Chứng minh tam giác ABD và tam giác ACD cân.

D

M

A

1) Tam giác ABE và tam giác ADC là tam giác gì?

2) Đường cao AH của tam giác ABE kéo dài cắt CD ở K Tính AKD

Hướng dẫn giải

K D

- Có BA BE gt   ABE cân tại A

- Có + D thuộc tia đối của tia BA (gt)  AB BD AD 

  Mà hai góc này ở vị trí so le trong Suy ra BE // DC

Vì AH là đường cao của ABE  AH BE AH DC (từ  đến //)  AKD900

Bài 32: Cho tam giác ABC cân ở A Trên hai tia đối của tia BC và tia CB lần lượt lấy BD = CE.

Chứng minh tam giác ADE cân

Hướng dẫn giải

Có D thuộc tia đối của tia BC (gt)  ABC ABD 1800;

E thuộc tia đối của tia CB (gt)  ACB ACE 1800

Bài 33: Cho tam giác OAB cân ở O Lấy C trên OA Trên tia đối của tia BO lấy BD = AC CD cắt AB ở

M, trên tia đối của tia AB lấy AP = MB

1) Chứng minh APC BMD

2) Tam giác CMP là tam giác gì?

3) Chứng minh M là trung điểm của CD

1 Có tam giác OAB cân tại O (gt)  OAB OBA  (t/c)

Vì : P thuộc tia đối của tia AB (gt)  OAB OAP  180 hay0 OAB CAP  1800

D thuộc tia đối của tia BO (gt)  OBA ABD  180 hay0 OBA MBD  1800

CAP MBD

 

Xét APC và MBD có

Lại có PAC MBD(cmt) PCMD (2 cạnh tương ứng)  MC MD.

Mà MCD M là trung điểm của CD

Bài 34: Cho tam giác ABC cân ở A Lấy D trên AB Trên tia đối của tia CA lấy CE = BD Kẻ

1 Có tam giác ABC cân tại A (gt)  ABC ACB(t/c) hay DBF ACB

Mà DF // AC (gt) DFBACB (đồng vị)  DFB DBF   DFB cân tại D  DB DF (t/c)

2 Có DF // AC hayDF // CE DFE DEC  (SLT) hayFDM MEC

Mà MDE  M là trung điểm của DE.

Bài 35: Cho tam giác ABC có phân giác của B và C cắt nhau ở I Từ I kẻ đường thẳng song song với

BC cắt AB ở D và AC ở E.

1) Tam giác BDI và tam giác CEI là tam giác gì?

2) Chứng minh BD + CE = DE

D I

A

1 Có BI là phân giác B (gt) ABI IBC (t/c) hayDBI IBC

Có ID // BC (gt)  DIB IBC  (SLT) DBI DIB DBI cân tại D.

Chứng minh tương tự  EIC cân tại E.

2 Vì DBI cân tại D (cmt)  DB DI (t/c); EIC cân tại E (cmt)  EI EC (t/c)

DB EC DI IE DE   

Bài 36: Cho tam giác ABC cân ở A Trên tia đối của tia AC lấy ADAC

1) Tam giác ABD là tam giác gì?

1 Vì tam giác ABC cân tại A (gt)  ABAC (t/c)

Mà AC = AD (gt)  ABAD ABD cân tại A

2 Vì tam giác ABC cân tại A (gt)  ABC ACB (t/c) hay ABC DCB

Vì tam giác ABD cân tại A (gt)  ABD ABD (t/c) hay ABC BDC

Bài 37: Cho xOy 90o Lấy A B , trên Ox sao cho A nằm giữa O và B Lấy C D , trên Oy saocho OA OC và AB CD

1) Chứng minh tam giác OBD cân.

2) So sánh AD và BC

3) Gọi I là giao điểm của AD và BC IBD và IAC là các tam giác gì?

4) Chứng minh tam giác OAI bằng tam giác OCI

Hay IBD IDB   IBD cân tại I

* Chứng minh tam giác IAC cân

Vì IBD cân tại I (cmt)  IB ID (t/c)

Xét IAB và ICD có

(gt)

(c.g.c)(cmt)

Bài 38: Cho tam giác ABC cân ở A Lấy D trên AB Trên tia đối của tia CA lấy CE BD DE cắt

BC ở M Chứng minh M là trung điểm của DE

Mà MDE  M là trung điểm của DE.

Bài 39: Cho tam giác ABC cân ở A có D thuộc AB Trên tia đối của tia CA lấy CE BD Gọi M

là trung điểm của DE Chứng minh , , B M C thẳng hàng

Mà DH // AC hay DH // CE  HDE DEC hayHDM MEC

Lại có M là trung điểm của DE  DM ME (t/c)

2) IF là đường phân giác của tam giác IBC

Chứng minh BIEBIF và CID CIF

3) Tam giác IDE là tam giác gì?

 

; CI là phân giác C (gt) 

(t/c)2

ACB ICB

Có EIB BIF CIF   EIC1800  EIB600

Chứng minh tương tự ta được CID CIF

3 Có BIEBIF cmt( ) ID IF (2 cạnh tương ứng)

Bài 5 TAM GIÁC ĐỀU – NỬA TAM GIÁC ĐỀU TAM GIÁC VUÔNG CÂN

Bài 1:

N A

A

Bài 4:

1) Vì ABC là tam giác đều nên A B C 60     0

Xét AMN có: AM = AN và A 60  0nên AMN là

tam giác đều

2) Vì AMN là tam giác đều nên AMN 60  0

Do đó AMN B 60   0 mà hai góc ở vị trí đồng vị nên

MN // BC

1) Do P, Q là giao điểm của đường tròn tâm D bán kính 2cm với

cạnh DE, DF nên DE = DF = 2cm DPQ cân tại D

Mặt khác FDE đều nên D  600

Do đó tam giác DPQ là tam giác đều nên mỗi góc của tam

giác DPQ đều bằng 600

2) Ta có DPQ DFE600mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

PQ//EF

1) Vì ABC là tam giác đều nên A 1   B C 60  0

Vì D và E cùng nằm trên đường tròn tâm A bán kính 2cm nên

AE = AD  AEDcân tại A

Lại có: A 2 A 1 (hai góc đối đỉnh) nên AEDlà tam giác đều

2) Vì ADE là tam giác đều nên AED 60  0

Do đó AED C 60  0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên

ED // BC

Bài 6:

2 1

2)Xét tam giác BEN có B 600; BEN A600(Sole trong do EN//AC)

Từ đó suy ra tam giác BEN là tam giác đều

Bài 8:

AHB có H  900, B = 600 (Do tam giác ABC đều) suy

ra tam giác ABH là nửa tam giác đều

Chứng minh tương tự ta có tam giác ACH là nửa tam giác

DME  EDM MED    

Vậy EDM có E 60 ;0 M 90 ;0 EDM 300

2)Tam giác DMF vuông tại M có góc F bằng 600 nên tam

giác DMF là nửa tam giác đều

Vì ABC là tam giác đều nên B C 60   0 và AB = AC

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC

1

M M 180

nên  

0 2 1

M M 90

Vậy các tam giác AMB và AMC là các tam giác vuông tại M

Tam giác ABC cân có A 600nên tam giác ABC đều

A B C

Vì MN BC tại N nên MNC  900

Tam giác MNC vuông tại N có góc C bằng 600 nên tam giác

MNC là nửa tam giác đều

D

C

Tam giác ADC có CDA 1800  C CAD   1800  300  600 900

Tương tự ta tính được ADB 900

Vậy các tam giác ADB và tam giác ACD là các nửa tam giác đều

CAD BAD BAC   

1 Chứng minh tam giác CMN là tam giác đều:

Tam giác ABC cân có góc B bằng 600 nên tam giác

ABC đều A B C  600

Do MN//AB nên ta có CMN CAB  =600( sole trong)

CNM CBA =600( sole trong)

Suy ra tam giác CMN là tam giác đều

 BCD cân tại B có CBD DBA CBA 30    0300 600

Do đó BCD là tam giác đều

 có: C MAC 60   6 nên là tam giác đều  AM = MC,

Lai có: VìMAB MBA    nên tam giác AMB cân tại M nên AM = MB

Từ đó suy ra: AM = MB = MC =

1BC2

A B

 AB // DC mà AB BC nên DCBC Từ đó ta chứng minh được ABC = DCB (c.g.c)

A

E

1 Do tam giác ABC cân có B  600nên tam giác ABC là tam giác đều do đó B C  600

Vì AB//DE nên D ABC 600(đồng vị) và E ACB600( đồng vị)

Suy ra tam giác ADE đều

2 Tam giác ABC đều nên AB = BC= AC

Tam giác ADE đều nên AD = DE = AE

Ta có AB = AD - DB mà AB = BC; AD = DE nên BC = DE - DB mà BC không đổi nên hiệu DE - DB không phụ thuộc vào vị trí điểm D, E

Bài 15:

1 1

1

I N G

Do đó tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Py-ta-go đảo

2) Lấy M là trung điểm của AC, trên tia đối của tia MB lấy

điểm D sao cho MD = MB

DAC DAB BAC 20   20 40 , BAE BAC EAC 20   20 40  DAC BAE

Từ đó ta chứng minh được DACBAE(c.g.c) BE CD

DAE DAB BAC EAC 20    20 20 60

nên ADE là tam giác đều

E D

C

A

B

* EBA ABC EBC 80     0 600 200  BEC 180  0100 200 1500

3) ABE và BAD có: BA là cạnh chung, EBA BAD 20   0, AD = BE (=BC)

Do đó ABEBAD(c.g.c)

4) Vì ABEBAD DBA EAB 10  0 BDC DAB DBA 20    0100 300

Bài 19:

2 1

1)

Vì ABC cân tại A nên AB AC , BEC đều nên BE = EC = BC

và EBC ECB BEC 60    0

Do đó ta chứng minh được ABEACE(c.c.c)

nên BCH BEK  Tương tự BAC KBE 

2) ABC và BKE có: BKE ABC 90   0, BE = AC,

 1  2

B B nên ABC BKE(cạnh huyền - góc nhọn)

3) Vì ABC BKEnên AB = BK  BKA vuông cân tại B

Do đó: AKB 45  0

1)Vì ABC vuông tại A có C 30  0  ABC 60  0

Mà BD là tia phân giác của góc B nên

BDC 180  DBC C 180   30  30 120

2) ABD có: ABD 30  0  ADB 60  0 Do đó ABDlà

nửa tam giác đều