Hdg bdnlth toán 7 chương ii hình học phần 2

TAM GIÁC BẰNG NHAU CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Bài 1... Vẽ tia đối của tia AB, trên đó lấy điểm D sao cho AD AC .. Vẽ tia đối của tia AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE AB .. Trên

Bài 3 TAM GIÁC BẰNG NHAU CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Bài 1

Bài 5

y

t x

B O

x

t

D C

  0

90( )

K H

Xét  AHK và  BKH có:

( 90 )( )

y E

C A

B D

x M

C

+ Ta có M là trung điểm BC => BM=CM +

Bài 15 Cho tam giác nhọn ABC cóAB AC  Vẽ tia đối của tia AB, trên đó lấy điểm D sao cho

AD AC  Vẽ tia đối của tia AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE AB  M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh:

1)  ADM  ACM

2)  AEN  ABN

N

M E

D

A

1) + Ta có M là trung điểm DC => MD=MC +

Bài 16 Cho  ABC có điểm M là trung điểm của BC Kéo dài AM lấyMD MA 

1) Chứng minh  ABM  DCM ;  ACM  DBM rồi viết các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau

2) So sánh  ABD và  DCA

D M

XÐt ABD vµ DCA cã

AB CD BAD CDA cmt ABD DCA c c

Bài 17 Trên cùng một phía của đường thẳng xy, vẽ hai đoạn thẳng AH và BK sao cho AH vuông góc

với xy ở H ; BK vuông góc với xy ở K và BK  AH .

1) Chứng minh  AHK  BKH rồi viết các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau

Bài 18 Cho  ABC vuông ở A và  DEF vuông ở D có AB DE  và  ABC  DEF  So sánh

Bài 21 Vẽ đoạn thẳng BD ( thẳng đứng) có trung điểm A Vẽ đường thẳng d đi qua A và không

vuông góc với BD ( đường xiên) Kẻ tia Bx vuông góc với BD và cắt d tại C.Kẻ tia Dy vuông góc với BD tại E So sánh  ABC và  DAE

E

C

A B

O A

Bài 23 Cho đoạn thẳng AB Vẽ đường thẳng xy AB / / Lấy điểm C trên xy sao cho BC không

vuông góc vớixy.Lấy điểm D trên xy sao cho AD BC / / Chứng minh  ABC  CDA.

BCA DAC ABC CDA

Bài 24 Cho  ABC có ABC   ACB và có đường phân giác AD

1) ADB và ADC là góc ngoài của những tam giác nào? Chứng minh  ADB   ADC

2) So sánh  ABD và  ADC

D

A 1) + ADB là góc ngoài của ADCADBDAC C 

ADC là góc ngoài của ADBADCBADB

Mà BADCAD ; B C

ADB ADC

 2)

BDA CDA ABD ACD

CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG – HAI GÓC BẰNG NHAU BẰNG CÁCH GHÉP VÀO

HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Bài 25

A

Xét ADE và ABC ta có:  

AE AC EAD CAB ADE ABC

Xét BOC và AOC ta có:  

BO OA BOC COA BOC AOC

y

t

D C

a)

Xét BAD và CAD ta có:  

BA CA CAD BAD BAD CAD

  (cgc)  ABCACB (2 góc tương ứng)

b) Vì BADCAD(cmt)  ADCADB (2 góc tương ứng), mà ADC ADB 180 (2 góc kề bù)

Bài 32

y

M C

b) Vì ACM ABM (cmt)  AMB AMC (2 góc tương ứng) , mà AMB AMC 180 (2 góc

y

B

C M O

Bài 37.

y x

1 22

  (ccc)  KAB HBA (2 góc tương ứng)

Bài 38 Ở cùng phía của đoạn thẳng AB, vẽBAxABy 120  Trên tia Ax và By lần lượt lấy C và D

sao cho AC BD Chứng minh:

 ΔACBCAD ΔACBDBC c.g.c BCDADC ( 2góctươngứng).

Bài 39 Cho xAy TrêncạnhAxlấyđiểmBvàD (BnằmgiữaAvà D) TrêncạnhAylấyCvàEsaocho

A C



AE AD(gt)

 ΔACBAEB ΔACBADC c.g.c BE CD (2 cạnhtươngứng)

Bài 40 TrêncạnhAxvàAycủaxAy , lầnlượtlấyBvàCsaocho AB AC Vẽtia BtAxvàcắtAy ở H VẽtiaCzAy vàcắtAx ở E Chứngminh AH AE

 ΔACBABH ΔACBACE g.c.g AHAE(2 cạnhtươngứng)

Bài 41 Cho ABC có AB AC Chứng minh ABCACB

 ΔACBABD ΔACBACD ch.cgv ABCACD (2 góctươngứng)

chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp tam giác vuông

Bài 42 Vẽ ABC có AB AC vàBAC 90  TừđỉnhAvẽtiavuônggócvớiABvàcắtBC kéodài ở D TừđỉnhAvẽtiavuônggócvớiACvàcắtCB kéodài ở E Chứng minh

3) GọiI làtrungđiểmcủaCD CónhậnxétgìvềtiaOI? Chứng minh bađiểmO, M, Ithẳnghàng

Bài 44 Cho haiđườngthẳng a//b Lấy điểm Athuộc a và điểm B thuộc b GọiOlàtrungđiểmcủaAB

Vẽđườngthẳng qua OcắtavàblầnlượttạiI vàK Chứng minh OcũnglàtrungđiểmcủaIK

A

B

OA OB (gt)

AOI BOK (đốiđỉnh)

ΔACBOAI ΔACBOBK g.c.g

   OK OI (haicạnhtươngứng) nên O làtrungđiểmcủa IK

Bài 45 Cho đoạnthẳngAB Vẽđườngthẳngxy / / AB LấyđiểmCtrênxysaochoBCkhôngvuônggócvới

xy.LấyđiểmD trênxysaocho AD / /BC Chứng minh AB CD và AB CD

NênΔACBCBDΔACBADB g.c.g   AB CD và

AB CD (haicạnhtươngứng) Sai, phải là => CD = AB

Bài 46 Ở haiphíacủađườngthẳngxy, vẽhaiđoạnthẳngAH vàBK

dàibằngnhauvàcùngvuônggócvớixytạiHvàtạiK GọiOlàtrungđiểmcủaHK Chứng minh AOHKOB

rồichứng minh bađiểmA, O, Bthẳnghàng

Bài 47 Ở cùngphíacủađườngthẳngxy, vẽhaiđoạnthẳngAH vàBK

dàibằngnhauvàcùngvuônggócvớixytạiHvàtạiK GọiOlàtrungđiểmcủaAK Chứng minh AOH BOK

rồichứng minh bađiểmH, O, Bthẳnghàng

Giải

y x

O A

H

B

K

y x

A

O H

Xét ΔACBOAH và ΔACBOKB có:

OA OK (O làtrungđiểm AK )

OAH OKB (so le trong)

AHBK (giảthiết)

NênΔACBOAHΔACBOKB c.g.c   AOH KOB (haigóctươngứng)

CóKOB BOA 180  oAOH BOA 180  nênH ,O, Bthẳnghàng

Bài 48 Cho tam giác ABC Vẽtia Bx / /AC vàtia Cy / / ABsaochoBxcắtCytạiD

ACB DBC (so le trong)

NênΔACBABCΔACBDCB g.c.g   AB CD (haicạnhtươngứng)

2) Xét ΔACBOAB và ΔACBODC có:

AB CD (Cmt)

ABO DCO (so le trong)

OB OC (gỉathiết)

NênΔACBOAB ΔACBODC c.g.c    AOB DOC (haigóctươngứng)

CóAOB AOC 180  oDOC AOC 180  onênA, O, Dthẳnghàng

Bài 49 Cho ABC cóABCACBvàcóđườngphângiácAD

1) ADB và ADC làgócngoàicủanhững tam giácnào? Chứng minh  ADB ADC

2) Chứng minh AB AC

Giải:

1) ADB làgócngoàicủa ΔACBADC ADBACD CAD

ADC làgócngoàicủa ΔACBADB  ADCABD BAD

AD làtiaphângiácgóc A nên BAD CAD

CóABCACBnênADB ADC

NênΔACBADB ΔACBADC g.c.g    ABAC (haicạnhtươngứng)

KỸ THUẬT CHIA ĐÔI ĐOẠN THẲNG HAY GÓC

Bài 50 Cho ABC và A B C   có ABA B , ACA C , BAC  B A C   Gọi M là trung điểm của

BC và M là trung điểm của B C  Chứng minh:

Bài 51 Cho ABC Vẽ tia đối của tia AB rồi lấy trên đó đoạn AD bằng với AC Trên tia đối của tia

AC lấy AEAB M là trung điểm của BC và N là trung điểm của DE

Chứng minh:

1) BCDE

2) CM DN

3) AMC AND

1) Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC 1

Mặt khác: AMCANB ANB AMC  BNC CMB  (hai góc kề bù)

Bài 53 Cho  ABC và  DEF có AB DE AC DF BAC EDF  ,  ,    BI và EJ lần lượt là đường phân giác của ABC và DEF Chứng minh:

ABC  ABI  ABC

EJ là đường phân giác của   1 

1) Chứng minh ABC ACB

2) Kẻ đường phân giác BD CE , của  ABC Chứng minh ABDACE và BD CE 

A

D E

1, Xét  ABC có AB AC    ABC cân tại A

Suy ra : ABCACB

2,*Ta có :

BD là đường phân giác của   1 

2

ABC  ABD  ABC

CE là đường phân giác của   1 

2

ACB  ACE  ACB

Mà : ABC ACB cmt 

Nên :  ABD ACE  

*Xét  ABD và  ACE có AB AC A  ,  chung,  ABD ACE cmt    

Suy ra :  ABD  ACE g c g    

Do đó : BD CE 

Bài 55 Cho Trên tia đối của AB lấy AD AC  , trên tia đối của AC lấy AE AB  Gọi BI, EJ là các

1) BM  DN

2) BAM DAN

(ĐỀ BÀI CHƯA CHUẨN)

KỸ THUẬT CỘNG, TRỪ VẾ THEO VẾ Bài 57

AOB AOC BOC 

Tương tự: COD BOD BOC  

Mà: AOC BOD

Suy ra: AOB COD (đpcm)

2) Vì Ox là tia phân giác của AOD nên:  AOx DOx

Mà: AOB CODSuy ra: AOx AOB DOx COD     hay: BOx xOC

Vậy tia Ox là tia phân giác của BOC

Suy ra: BAC CAx BAC BAy  

hay: BAx CAy (đpcm).

2) Xét BAD và EAC có:

ABAE(gt);

AD AC (gt);

BAD CAE (chứng minh trên).

Suy ra: BAD EAC(c.g.c)

BD CE

  (đpcm).

Bài 62

1) Ta có: CAD BAE 90 (gt)

Suy ra: BAC CAD BAC BAE  

hay: BAD CAE (đpcm).

2) Xét BAD và CAE có:

AB AC (gt);

ADAE (gt);

BAD CAE (chứng minh trên).

Suy ra: BAD CAE(c.g.c)  BD CE (đpcm) Bài 63

1) Ta có: CAD BAE 90 (gt)

Suy ra: BAC CAD BAC BAE  

hay: BAD CAE

Xét BAD và EAC có:

ABAE(gt);

AD AC (gt);

BAD CAE (chứng minh trên)

Suy ra: BAD EAC(c.g.c)

BD CE

  (đpcm)

2) AEI vuông tại A nên: AEI AIE 90

Mà: AIE BIO (đối đỉnh)

Suy ra: AEI BIO 90 , hay: AEC phụ với BIO (đpcm) (1)

3) Ta có: BAD EAC(chứng minh trên)  ABDAEC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABD phụ với BIO , hay IBO phụ với BIO

Suy ra: IBO BIO 90

Trong OBI , có: IBO BIO BOI  180

Suy ra: ABH ACH (c.c.c)

 ABH ACH hay: ABCACB (đpcm)

.DSMT4 H là truation.DED

Equation.DSMT4 BH CH SMT4

DSMT4 tion.DSMT4 AB AC (gt); ;

2) Ta có:

E (vì EMBED Equatiiểm của E)

12

AN  AB (vì EMBED Equationm của EMBED Equation.DEquation.DSMT4 AB AC (gt)

Suy ra: AM AN DSMion.DSMT4 ACN , ta có: EMBED;

EMBhứng minh trDSMT4 BAC Equation.D Equation.DSMT4 T4  ABM ACN

(đpcmation.DSMT4 EMBEDng minh ý 2)ation.DSM.DSMT4  MBC NCB (đpcm)

Bài 65ion.DSMT4 ABC và EMBED Equat EMBED Eq EMBED Equation.DSquay ra: EMBED

Equation.DSMT4 ABC A B C  ERGEMBà EMBED có: (gt);

EMBgt);

EMBED Equation EMBED E) (đpcm)

3) Ta có: EMBED Eq EMBED Equation.DSMT4 AM A M  (gt)

EMBED Equation.DSMT4 OM ON (cBED

Equminh trORMATEqua EMBED Equation.DSMT4

 EMBED EquatioTa có: EMBEDEquatuation.Don.DSMTEquatioEMBEDEquation.DSMT4 OMA OMB ONB ONA    

EMBED Equation.DSMT4  AMC  DNF   AMC DNF  

Ta có: EMBED Equation.DSMT4 AMC CMB 1800 CMB1800AMC

2) Trên tia đối củ Chứng minh

EMhai góc kề bù) EMBED Equation.DSMT4 BOH 1800BOI

Mà EMBED Equation.DSMT4 AOI BOI AOH BOH

3) Xét EMBED Equation.DSMT4 AOH và EMcó:

1) BH là phân gMT4  AB D và EMBE EMBED Equ

1) Xét AHBvà EMBó

 EMBE phân giác ABD

Ta có: EMBED góc kDSMT4  ABC1800ABH

EMBED Equation.DSMT4 DBH DBC 1800(hai góc kề bù) EMBED Equation.DSMT4

 1800 

 DBC  DBH

Mà

2)

EMBED Equation.DSMT4 AHBDHB cmt 

EMBED Equation.DSMT4  AB DB (haiEMBED EMBED Equation.DSMT4 DBC cóT4



AB DB (cmt)

EMBED Equation.DSMT4 ABCDBC (cmt)

1) EMBED Equation.DSMT4 BED Equation.DSMT4 MT4  AC DC (hai cạnh tưhaiđường thẳng xx’hứng minh EMBED Equ nhận xét

2) Ot và Ot’ là hai tia phân giác của hai góc EMBED Equation.DSMT4 xOy và EMBED Equation.DSgminh xOt 'x Ot'

Chứng minh hai tia Ot

ation.DS EMBED Equation.DSMT4 BED Equatề bù) EMBED ừ (1) và

(2) EMBED Equt: Haóc này lgóc k có:

EMBED Equation.DSMT4 



2

xOy xOt  (Vì Ot là tia

quation.DSMT4 xOy)

EMBED Equation.DSMT4 

 ' '' '

2

x Oy

x Ot  (Vì EMBED Equation.DSMT4 'Ot là tia phân

giác của EMBED Equation.DSMT4 x Oy' ')

Mà EMBE Ta có: EMBED Equation.DSMTMà EMBED Equationation.DSMT4

x Ot' ' x Ot' 1800

  

EMBED EqED Equation.DSMT4

Bài 71 Cho EMBC có EMBED EquatiAB lấy Km một đoắt BC ở D n BE b

1) EMBED Equatio 3)

Giải

ED Equ kề bù) EMBED Equation.DSMT4 D Equation.DSMT4 ACB DCM 1800(hai góc kề bù)EMBEì EMBED EquatiD EquationED Equation.DSMT4 EBK và EMBED Equation.DSMT4 DCMcóSMT4 BEDC gt( )SMT4 EBK DCM (cmt)MT4 BK CM gt ( )T4

.DSMT4on.DSMT4 BD là phân giác của EMB

EMBED EMBED Eân giácSMT4 ACB )

T4 ABC ACB DBC ECB

Equation.DSMEMBED EqBED Equatitương Equation.DSMED EquatMBED EquBED Equatio

Mà EMBEDét EMà EMBED Equation.DSMT4 ADB c.DSMT4 ABDACE cmt( )

y

K I M

A

EMBED Equation.DSMT4 BD CE cmt ( )

T4  AEC   ADB cmt ( )

EMBED Equation.DSMT4  AECADB (g c g )

EMBED Equation.DSMT4  AD AE (hai cạnh tương ứng)

Bài 73 Cho EMBErên cạm A sao cho ấy ON = OM và lấy OB) Chứng SMT4  OMB  ON A và

AMI BNI

2) CEMBED Equation.DSMT4  IAM  IBN

phân giác của EMBED Equation.trung điểm của đoạn điểm O, I,

1) Xét OMB và ONA có:

MT4 O ED Equation.quation.D EquatioED Equationng ứng)

OBM OAN

  (hai góc tương ứng)

Ta có: OMB AMI 1800 AMI 1800  OMB

quation.DSMTuation.DSMT4 OMB ONA   AMI BNI

 E là tia phân giác của E (1)

4) Vì EMBED Equa điểmSMT4 AB KA KB

Xét EMBED EqBED Equation.DSMT4