phương trình lượng giác, ôn thi đại học 2014

Chuyên đ ề IIPH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải,

Chuyên đ ề II

PH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC

Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển đổi phương trình về dạng hệ phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác…”

Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần:

1 Nắm vững các công thức lượng giác;

2 Chia phương trình lượng giác ra thành từng loại và rèn luyện từng phần;

3 Giải nhiều bài tập để rút kinh nghiệm

Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản

Khi sin x 3cosx 2 sin x 1 x 5 k2

1 Giải phương trình: cos3x sin2x  3 sin3x cos2x  

2 Giải phương trình 3sin2x cos2x 2cosx 1  

Đề thi Đại học khối A, A1 – 2012

3.Giải phương trình: 2(cosx 3sin x)cosx cosx  3sinx 1

Đề thi Đại học Khối B – năm 2012

Phương trình cho tương đương 2cos x2  3sin2x cosx  3sin x 1

2cos x 12  3sin2x cosx 3sinx

Phương trình đã cho tương đương : 2cos x2  3sin2x cosx  3sin x 1

2cos x 12  3sin2x cosx 3sinx



Lời giải

Điều kiện: sinx cosx 0 

Phương trình đã cho tương đương:

1 sin x cosx 1 2    2 1 sinx sinx cosx    

1 sinx 1 cosx sinx sinx.cosx  0

      1 sinx 1 cosx 1 sinx     0

k,m2

 , thỏa điều kiện bài toán

Vậy, nghiệm của phương trình là: x k2 ,

Phương trình đã cho tương đương : cosx cos2x sinx 1

sinxsin2xcosx

Vậy, nghiệm phương trình là: x k

Dạng 2 Phương trình lượng giác

Nhận thấy, phương trình có sin x.cosx và sin xcos x chúng ta đặt

Phương trình đã cho tương đương:

sinx cosx 2 2 sinx cosx     sinx.cosx0

Khi sin x cosx 0 tan x 1 x k

4



Khi 2 2 sin x cosx   sin x.cosx 0   Đặt t sin x cosx  , t  2; 2

Điều kiện: cosx 1 x k2 

Phương trình đã cho tương đương : 1 2cos x cosx 2   2 sin x 1 cosx 

Phương trình đã cho tương đương :

2

2cos4x 6cos x 1 3cos2x

0cosx

Dạng 4 Phương trình lượng giác về dạng tích

Với dạng toán này, thường quy về dạng A.B 0 A 0 hoặc B 0

Ví dụ Giải phương trình: 3sin x sin x 2sin 5x 0

    nên phương trình cho viết lại:

 

asin x bcosx c,a 0,b 0 *   

Ví dụ Giải phương trình: 4 sin x cos x 4  4  3sin 4x 2

Dạng 6 Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

Ví dụ Giải phương trình: cos x sin x 2 cos x sin x3  3   5  5 

2 2

Phương trình đã cho được viết lại:

2 Điều kiện: sin xcosx 0 sin2x 0 x k k 

2



Phương trình đã cho được viết lại: 2sin x cosx 3 1

cosx sin x  sin xcosx

cosx sin x2 4 cosx sin x  3 0

Vậy, nghiệm của phương trình là: x k

Phương trình đã cho viết lại: tanx cot x 22 tan x cot x   8 0  

Đặt t tan x cot x  , phương trình   trở thành:

2 Điều kiện: sin xcosx 0 sin2x 0 x k k 

Điều kiện: cos3x 0, cos4x 0, cos5x 0

Phương trình đã cho được viết lại: sin8x 2sin4x 0

  chấp nhận khi thỏa x0;2, từ đây ta tìm được k1,3,4,5,7

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: x1 ,x2 3 ,x3 ,x4 5 ,x5 7

Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Giải các phương trình:

1 2sinx 1 2sin2x 1    3 4cos x2 (1)

2 tan 2xcot x8 cos x2 (2)

3 16cos x cos2x cos 4x cos 8x1 (3)

5 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x  3 (5)

6 2cos x3 cos 2xsin x0 (6)

7 sin x sin2x sin3x sin4x sin5x sin6x 0      (7)

8 cos3xcos x sin3x sin x  2 3 2 (8)

9 5 1 cos x  2 sin x cos x 4  4 (9)

10 sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x    (10)

11 9sin x 6cos x cos2x 3sin2x 8    (11)

hoặc sinx 0 4sin xcosx 2 sin x cosx    1 0 hoặc sinx 0

2 (2) sin2x cosx 8cos x2 cosx 8cos xcos2xsin x2

4 (4)  8sin xcosx 3 1 2sin x   2 12sin x 3 sin x 4cosx 3sin x 6   0

5 (5) 3sin3x 4sin 3x 3  3 cos9x 1 sin9x 3cos9x 1

6 (6) 2cos x 2cos x 1 sinx 03  2    2cos x 1 cosx2     1 sinx 0

1 sinx cosx sinx cosx sinx 2   0 x k2

4

2 3 2cos4x cos 2x

9 (9)  3 5cosx sin x cos x 2  2 2cos x 5cosx 2 02   

10 (10)sin x 2cosx 1  2 2cos x 1 2  4cosx 1 0  2cosx 1 0 

11 Phương trình đã cho 9sin x 6cosx 2cos x 1 6sin xcosx 8  2   

2

9 sin x 1 6cosx 1 sinx 2 1 sin x 0

1 sin x 2sinx 6cosx 7 0

Bài tập 2: Giải các phương trình:

1 tan x cogx 2cot 2x  3 2 9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8   

3 1 tan x 1 sin2x    1 tan x 4 cos4x sinx sin7x cos2x  

5 2cos2 2x 3cos4x 4cos x 12

7 cos2x 3sin2x 5sinx 3cosx 3    8  3 1 sin x  2  3 1 sinxcosx   3 0

Hướng dẫn giải

1 Phương trình đã cho

kcot2x 0 x

7 Phương trình đã cho 6sin xcosx 3cosx 2sin x 5sin x 22   0

2sin x 1 3cosx sin x 2  0

Bài tập 3: Giải các phương trình:

1 4 sin x cos x 4  4  3sin 4x 2 2 2 cot2x cot3x  tan2x cot3x

3 cosx.cos cosx 3x sin x.sin sinx 3x 1



3 Phương trình đã cho 1cosx cosx cos2x  1sin x cosx cos2x  1

5 Phương trình đã cho

Bài tập 4: Giải các phương trình:

1 4cos x cos3x 6cosx 2 1 cos2x2      

2 4cos x 3 2 sin2x 8cosx3  

3 tan x cot x 5 tan x cot x2  2     6 0

4 sin3x 3sin2x cos2x 3sinx 3cosx 2 0     

5 sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x 2  3  4   2  3  4

2cosx 2sin x 3 2sinx 2 0 cosx 0

      hoặc sin x 2 hoặc sin x 2

Với tan x cot x 4 sin2x 1 x k

4 Phương trình đã cho  sin3x 3sin2x cos2x 3sinx 3cosx 2 0     

sin3x sin x 2sin x 3sin2x cos2x 2 3cosx 0

Bài tập 5: Giải các phương trình

1 4cosx 2cos2x cos4x 1   2 2 sin x cosx tan x cot x   

3 1 sin sin x cos sin x 2cosx x 2 2 x

2 Điều kiện: sin x.cosx 0 sin2x 0 x k

6 3tan x 2 2cos x2  2 2 3 2 sin x 

Với cosx 0 thì sin x  , vì thế chia cả 2 vế phương trình cho 1 sinx 0 , ta được phương trình:

2 2

sin xcos x

Bài tập 6: Giải các phương trình

1 sin x cos x cos 3x2  2  2 2 cos x sin x cosx sin2x sin x3  3   

Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm

2 Phương trình được biến đổi dưới dạng:

(cosx sinx)(1 cosx.sinx) cosx sin2x sinx    

Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm

Chú ý : cosx sin2x cosx 2sinx.cosx

Bài tập 7: Giải các phương trình

1 2sin x2  3.sin2x 1 2 cosx    3.sin x

2 2 3sin x 1 cosx  4cosx.sin2x 3

1 Phương trình cho viết lại:

Bài tập 8: Giải các phương trình

1 sin xcos2x cos x tan x 1 2  2  2sin x 03 

2 sinx 3 sin 4x sin x 3 sin 2x 1 0

Hướng dẫn giải

1 Điều kiện cosx 0

Biến đổi phương trình cho tương đương:

Vậy, phương trình có một họ nghiệm

Bài tập 9: Giải các phương trình

1 sin2x cosx 3  2 3cos x 3 3cos2x 83    3cosx sinx 3 3 0

2 cos2x sin3x cos3x sin x(1 tan x)

1 sin2x cosx 3  2 3cos x 3 3cos2x 83    3cosx sinx 3 3 0

Vậy, phương trình cho có 2 họ nghiệm

2 Điều kiện: sin2x 1,cosx 0

2

Phương trình đã cho tương đương:

3sin x 4sin x 4cos x 3cosx

sin xcosx sin x 1

   (cosx sinx)(1 cosx) 0  

cosx sinx 0 tan x 1

 

2 2

3cos x

4

3cosx

4 3 tan x 7tan x 4 3 tan x 3 0

Vậy, nghiệm phương trình là: x k2

Bài tập 10: Giải các phương trình

1 cos 4x cos 8x sin 12x sin 16x 22  2  2  2 

2 cos2x cos6x 4(3sin x 4sin x 1) 0   3  

3 4cos x 3tan x 4 3 cosx 2 3 tan x 4 02  2    

Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm

2 Phương trình cho viết lại: cos2x cos6x 4sin3x 4 0   

(1 cos2x) (1 cos6x) 4sin3x 2 0

        2cos x 2sin 3x 4sin3x 2 02  3   

Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm

3 Phương trình cho viết lại: (4cos x 4 3cosx 3) (3tan x 2 3 tan x 1) 02    2   

2cosx 3 2 3 tanx 12 0

3cosx