luyện thi đại hoc hình học phẳng

Phương pháp Thông thường ta gặp các dạng sau khi giải một đề thi đại học môn hình phẳng : Dạng 1: Tìm toạ độ một điểm thỏa các tính chất cho trước Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ

Hình học phẳng

trong đề thi ĐH 2003-2010

các ban A-B-D

www.saosangsong.com.vn

LTĐH: Chuyên đề HÌNH HỌC PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẲNG

§1.ĐƯƠNG THẲNG

1 Phương trình của đường thẳng qua M 0 ( x 0 ; y 0 ) và có VTPT nG = (a ; b) là : a(x – x 0 ) + b(y –y 0 )

• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng :

ax + by + c = 0

trong đó = (a ; b) là một VTPT nG

• ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b)

Ù ∆ :x y

+ = 1

a b

• Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k :

y = kx + m với k = tanφ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia Mx

• Phương trình đường thẳng AB : A A

B A B A

x - x y y

x - x y y

−

=

−

2 Khỏang cách từ M (xo ; y o ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là

2 2

| ax + by + c | d(M, MH

a + b

3.Góc ( không tù ) tạo bởi ∆1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 là :

cos(∆ 1 ; ∆ 2 ) = 1 2 1 2

| a a + b b |

a + b a + b 2

∆ 1 ┴ ∆ 2 Ù a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0

4.Phương trình tham số của đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP aG = (a 1 ; a 2 ) là : o 1

o 2

⎧

⎨ = +

⎩

• Phương trình chính tắc của đường thẳng qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP aG = (a 1 ; a 2 ) là : o o

1 2

x x y y

a a

− = −

( a1 ≠ 0 và aG 2 ≠ 0)

• Nếu = (a; b) là VTPT của ∆ thì = (b ; - a) hay ( - b ; a) là một VTCP của ∆ n aG

§ 2 ĐƯỜNG TRÒN

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường tròn tâmI(h ; k) bán kính R là :

(x – h) 2 + (y – k) 2 = R 2

• Phương trình đường tròn (O, R) là : x 2 + y 2 = R 2

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng :

x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với a 2 + b 2 – c > 0 là phương trình đường tròn :

tâm I( a ; b), bán kính R = a2+b2−c

3 Tiếp tuyến với đường tròn

• (x – h) 2 + (y – k) 2 = R 2 tại tiếp điểm T(x 0 ; y 0 ) là : đường thẳng qua T và vuông góc

) k y

;

h

x

(

IT= − − có phương trình :

nG

aG

∆ φ

M

M

∆

H

x

y

I

O

T

3

3

• Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường trịn (I, R) Ù d(I, ∆) = R

1 Elip

x

M

F

K

O

y

a Định nghĩa Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F F1 2 =2c và một độ dài

khơng đổi 2a ( a > c) Elip là tập hợp những điểm M sao cho :

M

x

F 1 M + F 2 M = 2a

F 1 , F 2 : tiêu điểm , F 1 F 2 : tiêu cự , A 1 O A 2

B 1

B 2

F 1 M , F 2 M : bán kính qua tiêu ; e = c/a : tâm sai

2 Phương trình chính tắc Với F1 ( - c ; 0) , F 2 (c ; 0) :

M(x ; y) ∈ (E) Ù

a b 1 với b2 = a2 - c 2

* Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol

F 1 M = a +

a

cxM

= a + ex M ; F 2 M =

a

cx

a− M = a - ex M

2 Hypebol

a Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 , F 2 với F F1 2 =2c và một độ dài

khơng đổi 2a ( a > c) Hypebol là tập hợp những điểm M sao cho :

F A1 A2 F

F M - F M = 2a 1 2

F 1 , F 2 : tiêu điểm ; F 1 F 2 : tiêu cự

F 1 M , F 2M : bán kính qua tiêu; e = c/a : tâm sai

b Phương trình chính tắc Với F1 ( - c ; 0) , F 2(c ; 0) :

M(x ; y) ∈ (H) Ù

a b 1 với b2 = c2 - a 2

* Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol

* Đường thẳng y = ± b x

a gọi là hai tiệm cận

M

c x a ,M nhánh phải a

a

⎪⎪

⎪⎩

* 2 M M

M

c x a ,M nhánh phải a

a

⎪⎪

⎪⎩

3 Parabol

a Định nghĩa : Cho điểm F và đường thẳng (∆) khơng chứa F Parabol là tập hợp

các điểm M sao cho :

MF = d(M , (∆))

F : tiêu điểm; (∆) : đường chuẩn của parabol

p = d(F, Δ ) : tham số tiêu

b Phương trình chính tắc của parabol

Với F( ;0)

2

p

và ∆ : x = -

2

p

M(x ; y) ∈ (P) Ù y 2 = 2px

FM = p/2 + x M

PHÂN TÍCH CÁC DẠNG TỐN HÌNH PHẲNG:

Phương pháp

Thông thường ta gặp các dạng sau khi giải một đề thi đại học môn hình phẳng :

Dạng 1: Tìm toạ độ một điểm thỏa các tính chất cho trước

Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng , đường tròn hay một cônic thỏa một tính chất cho trước

Dạng 1: Tìm toạ độ một điểm thỏa các tính chất cho trước

Có 2 cách:

™ Cách 1: Sử dụng công thức toạ độ trung điểm , trọng tâm, điều kiện bằng nhau, cùng phương,

vuông góc của hai vectơ để tìm toạ độ của điểm cần tìm một cách trực tiếp

™ Cách 2: Từ tính chất của điểm , ta thiết lập phương trình (có ẩn là hoành độ, tung độ ) hay hệ

phương trình (có ẩn là toạ độ của điểm cần tìm) Giải phương trình hay hệ phương trình, ta được toạ độ điểm cần tìm Các công thức về toạ độ, điều kiện cùng phương, vuông góc, khoảng cách , phương trình các đường chứa điểm ấy cung cấp cho ta những phương trình xác định

1 D2004 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(- 1; 0), B(4; 0) và C(0, m) Xác định m để

tam giác GAB vuông tại G với G là trọng tâm của tam giác ABC

Giải

Ta thiết lập phương trình ẩn m để tìm m Tính chất là GAJJJG và GBJJJG vuông góc Phương trình là điều kiện vuông góc của hai vectơ

Tọa độ G:

1 3

G

G

x

y

⎪⎪

⎪⎩

=> GAJJJG = (- 2; - m/3); GBJJJG

JJJG JJJG

= (3 ; - m/3)

Tam giác GAB vuông tại G Ù GA GB = 0 Ù - 6 + m2/9 = 0 Ù m = 3 6±

2 B2003 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M(1; - 1) là trung điểm BC

và G(2/3; 0) là trọng tâm ABC Tình toạ độ A, B, C

Giải

Theo tính chất trọng tâm: MJJJGA=3.MGJJJJG

1 3.( 1/ 3)

1 3.(1)

A

A

x

y

⎧

⎨ + =

⎩

( 1;3)

MAG= −

C

G

M

B, C đều nằm trên đường thẳng qua M(1 ; - 1) và vuông góc JJJ

có phương trình : - 1(x – 1) + 3(y + 1) = 0

Ù - x + 3y + 4 = 0 (1)

Mặt khác MB = MC = MA = 10 , nên toạ độ của B, C là

nghiệm của hệ: ⎨(1) 2 2

(x 1) (y 1) 1 (2

⎧

)

⎩ Giải hệ này ta được toạ độ B và C là (4 ; 0) và (-2 ; - 2)

9 Cách khác: Nếu nhớ được tính chất sau thì ta không cần phải giải hệ để tìm toạ độ B, C

5

5

“Cho u và là hai vectơG vG vuông góc , có độ dài bằng nhau thế thì nếu uG=( ; )A B thì

Qui tắc này rút ra từ liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng ”

( ; ) ( ; )

v= B A hay v− = −B A

Vì MB MCJJJG JJJJG; vuông góc MAJJJG= −( 1;3)và có độ dài bằng MA do đó: (3;1); ( 3; 1)

( 3; 1); (3;1)

⎢

⎢⎣

JJJG JJJJG

Từ đó ta tính ngay được toạ độ B và C

3 D2009 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ©: (x – 1)2 + y2 = 1 Gọi I là tâm của (C) Xác định

toạ độ điểm M thuôc (C) sao cho thuộc sao cho góc IMO=300

Giải

Nếu bạn nhận ra là đường tròn có tâm I(1 ; 0), bán kính R = 1, và

qua gôc O thì việc giải sẽ dễ dàng

O

M

I

Vì góc IMO = 300 nên góc IOM = 300 (tam giác IOM cân tại I), suy ra

đường thẳng OM có hệ số góc là 0 1

tan 30

3

trình đường thẳng OM là y =

3

x

± Thế vào phương trình đường tròn, ta được phương trình tính hoành độ điểm I

Cách khác: Dùng định lí hàm cosin trong tam giác OIM:

OM 2 = IO 2 + IM 2 – 2.IO IM.cos120 0

Mà IO = IM = 1, ta suy ra : OM 2 = 3 => OM = 3

Ù x 2 + y 2 = 3 (x; y) là toạ độ của M M lại thuộc đường tròn , do đó ta có hệ phương trình tính toạ độ

điểm M

4 D2006. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y

+ 3 = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường

tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)

Giải

M thuộc d: x – y + 3 = 0 => M = (x ; x + 3)

(C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 1 Đường tròn tâm M có bán kính R’ = 2

(C) và (M) tiếp xúc ngoài Ù IM = R + R’= 3

Ù (x – 1)2 + (x + 2)2 = 9 Ù 2x2 + 2x – 4 = 0

Ù x = 1 hay x = - 2 Vậy M(1 ; 4) hay M(- 2; 1)

5 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác cân ABC, cân tại A(0 ; - 3), có trọng tâm G thuộc đường thẳng

x + 2y = 0 và đường thẳng BC qua điểm D(1 ; 2) Tìm toạ độ trung điểm M của BC

B C

G

Gọi (x; y) là toạ độ điểm M Ta sẽ thiết lập hệ phương trình ẩn x, y

bằng cách khai thác hai tính chất của điểm M

• Trước hết vì tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AM cũng là đường cao Suy ra:

0 ( 0)( 1) ( 3)( 2) 0

AM DM = <=> x− x− + y+ y− =

JJJJG JJJJG

<=>x2+y2− + − =x y 6 0 (1)

• Trọng tâm G có toạ độ :

2

3 2

G

G

x

y

⎪⎪

⎪⎩

G thuộc đường thẳng x + 2y = 0 Ù 2 2 3 2 0 2 3 0

3 3

x y

− + + = <=> + − = (2)

• Giải hệ (2) và (3) ta được toạ độ điểm M

Từ (2): x = - 2y + 3

Thế vào (1): (-2y + 3)2 + y2 – (- 2y + 3) + y – 6 = 0 Ù 5y2 – 10y = 0

Ù y = 0 ; y = 2

• y = 0 => x = 3 ; y = 2 => x = - 1

Vậy M(3 ; 0) hay M(- 1; 2)

Nếu phải tính toạ độ nhiều điểm (các đỉnh của tam giác , tứ giác) thì thường ta chọn toạ độ một

điểm làm ẩn số, nếu được Từ giả thiết của bài toán, ta sẽ tìm toạ độ các điểm còn lại theo ẩn

số đó và lập phương trình hay hệ phương trình để tìm các ẩn số đó

6.A2005 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x- y = 0 và d2 : 2x + y - 1 = 0, tìm các đỉnh

của hình vuông ABCD biết A thuộc d1 , C thuộc d2 và B, D thuộc Ox

Giải (Hình vẽ chỉ có tính tương đối)

A

B D

C

Vì A thuộc d1: x – y = 0 nên có toạ độ (a; a)

Do A, C đối xứng qua BD mà B, D thuộc Ox nên A, C

đối xứng qua Ox Suy ra C = (a ; - a)

Mà C thuộc d2: 2x + y – 1 = 0 nên 2a + ( - a) – 1 = 0 Ù a

= 1 Vậy A(1 ; 1 ), C(1 ; - 1) Suy ra toạ độ trung I của

tâm hình vuông là (1 ; 0)

Do IB = ID = 1 , ta được B(0; 0) và D(2 ; 0) hay ngược

lại

Trong ví dụ sau, ta phải đặt 2 ẩn số là hoành độ

của B và C Từ giả thiết ta sẽ lập hệ phương trình theo 2 ẩn số đã chọn

d1

d2

I

7 B2007 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y –

8 = 0 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Giải

B thuộc d1:x + y – 2 = 0 => B = (b; 2 – b) => JJJGAB=(b− −2; b)

A

B

C thuộc d2: x + y – 8 = 0 => C = (c ; 8 – c) => JJJGAC= −(c 2;6−c) (1)

7

7

Vì JJJG JJJGAB AC; là hai vectơ vuông góc và có độ dài bằng nhau mà JJJGAB=(b− −2; b)nên

(2) Từ (1) và (2) suy ra:

( ; 2)

( ; 2 )

b b

AC

−

⎡

= ⎢ − −

⎣

JJJG

2

2 6 2

2 6

b c

b c

b c

⎡⎧ = −

⎨

⎢ − = −⎩

⎢

⎢− = −

⎢

− = −

⎢

⎢

⎣

Giải hệ này ta được : 3; 5

⎡

⎢ = − =

⎣ Vậy B(- 1; 3), C(3 ; 5) hay B(3 ; - 1), C(5 ; 3)

Nhận xét: Trong cách giải này ta sử dụng qui tắc toạ độ của hai vectơ vuông góc và có độ dài bằng

nhau, lấy từ qui tắc toạ độ của hai vectơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng Ax + By + C = 0,

khi đó Gn=( ; )A B là vectơ pháp tuyến thì uG=( ;B −A hay) (−B A; )là vectơ chỉ phương

Nếu không thì ta sẽ ải hệ như sau: gi

Đặt JJJABG=( ; ) ;X Y JJJACG=( '; ')X Y

)

, ta có:

2 2 2 2

' ' 0 (2)

XX YY

AB AC

=

⎩

JJJG JJJG

JJJG JJJG

Từ (2): Y’ = - XX’/Y

Thế vào (1): X 2 + Y 2 = X’ 2 + (XX’) 2 /Y 2 Ù (X 2 + Y 2 )Y 2 = X’ 2 (X 2 + Y 2 )

Ù X’ 2 = Y 2Ù X’ = Y hay X’ = -Y

* X’ = Y => Y’ = - X

* X’ = - Y => Y’ = X

Ta tìm lại qui tắc trên

8 B2008 Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu

vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(- 1; -1), đường phân giác trong của góc A có phương

trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0

Giải

Đây là bài khó vì ta phải lần lượt tìm toạ độ những điểm trung

gian mới đến được toạ độ điểm C cần tìm Bài toán giải theo

B C H(-1;-1)

d: x-y+2=0

d’ : 4x+3y-1=0

K

• Trước hết ta tìm được toạ độ điểm K, đối xứng của H qua

phân giác d qua A:

Phương trình HK qua H(- 1; - 1) và vuông góc d: x – y +

2 = 0 là: (x + 1) + (y + 1) = 0 Ù x + y + 2 = 0

=> K = (x ; - x – 2) => toạ độ trung điểm của HK là

(x 1; 3

2 2

x

− − −

) Điểm này thuộc d nên :

1 3

2 0

2 2

x− −− −x + =

Ù x = - 3 => K(- 3; 1)

• Tiếp theo ta viết phương trình AC qua K(- 3; 1) và vuông góc d’ : 4x + 3y – 1 = 0 là : 3(x + 3) – 4(y

– 1) = 0 Ù 3x – 4y + 13 = 0

Suy ra toạ độ A là nghiệm của hệ : 2 0

x y

x y

− + =

⎧

⎨ − + =

• Nhờ đó ta viết được phương trình CH qua H(- 1; -1) và vuông góc HAJJJG=(6; 8)là :

6(x + 1) + 8(y + 1) = 0 Ù 3x + 4y + 7 = 0

• Từ đó ta tìm được toạ độ C, giao điểm của đường thẳng CH và AC, là nghiệm của hệ :

Ù C = (- 10/3 ; ¾)

x y

x y

⎧

⎨ − + =

Trong bài tiếp ta tìm một điểm thỏa một tính chất hình học mà ta có thể giải bằng hình học hoặc đại số

9 D2007 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d:3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có

thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm)

sao cho tam giác PAB đều

P

Giải

Nhận xét: Ở đây ta không dại gì mà tìm toạ độ A, B, là điều vô

cùng phức tạp Ta sử dụng tình chất của hai tiếp tuyến của đường

tròn vẽ từ điểm P, để thấy : ∆PAB đều Ù ∆PAI nửa đều Ù IP =

2IA = 2R = 6 Bài toán thành ra tìm m sao cho trên d chỉ có duy

nhất điểm P sao cho IP = 6

A

I Cách hình học : Yêu cầu bài toán Ù d(I, d) = 6

Ù | 3(1) 4( 2) | 6

5

m

− − + =

Ù |m + 11| = 30 Ù m = 19 hay m = - 41

Cách đại số : P thuộc d : 3x – 4y + m = 0 => P = (x ; 3

4

x m+

)

IP = 6 Ù (x – 1)2 +

2

3

2 36 4

x m+

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

Yêu cầu bài toán Ù (*) có nghiệm duy nhất Ù ∆ = 0

Một trong các dạng tìm điểm có dạng tìm điểm cố định của một họ đường cong như trong bài dưới Ví dụ cho họ đường tròn (C m ) : x 2 + y 2 – 2mx + 4my + 2m – 10 = 0, chứng minh

Họ (C m ) luôn qua hai điểm cố định khi m thay đổi

Giải : Ta có : a2 + b2 – c = 5m2 – 2m + 10 > 0 với mọi m => (Cm) là đường tròn với mọi m

Gọi (xo ; yo) là toạ độ điểm cố định cần tìm, ta có :

xo2 + yo2 – 2mxo + 4myo + 2m – 10 = 0 thỏa với mọi m

Ù 2m(- xo + 2yo + 1 ) + xo2 + yo2 – 10 = 0 thỏa với mọi m

10 0

x y

x y

− + + =

⎧⎪

⎨ + − =

⎪⎩

0

+ + − =

2 1 (2 1) 10 0

x y

= +

⎧⎪

2

2 1

5 4 9

x y

y y

= +

⎧⎪

⎨ + − =

⎪⎩

Giải hệ này ta được : (3 ; 1) và (-13/5; 9/5)

Vậy họ (Cm) luôn qua hai điểm cố định (3 ; 1) và (-13/5; 9/5)

9

9

Tuy nhiên trong bài dưới đây ta có một họ đường thẳng phụ thuộc hai tham số , ta sẽ giải quyết

ra sao?

10 D2008 Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) : y 2 = 16x và điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B,

C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC = 900 Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Giải

Vì B và C thuộc (P): y2 = 16x => B = (b2/16 ; b) và C = (c2/16; c), với b, c ≠ 4

Ta có: JJJG JJJGAB AC =0 với JJJGAB=(b2/16 1;− b−4) ; JJJGAC=( /16 1;c2 − c−4)

Ù

2 16 2 16

Chia hai vế cho (b – 4)(c – 4) , ta được : ( 4)( 4) 1 0

256

b+ c+ + = Ù bc + 4(b + c) + 274 = 0 (1)

Phương trình đường thẳng BC :

2

2 162

16 16

b

=

−

−

Ù 16x – (b + c)y + bc = 0 (2)

Từ (1) và (2), ta thấy rằng nếu cho 16x = 274 và – y = 4 thì (2) là (1), tức (2) thỏa với mọi giá trị của b,

c thỏa (1) khi x = 17 và y = - 4 , hay đường thẳng BC luôn qua điểm cố định I(17 ; - 4)

Cách khác: Nếu ta chọn tham số là hệ số góc m của đường thẳng AB thì phương trình AB: y = m(x – 1)+ 4 và của đường thẳng AC vuông góc AB là y = 1 (x 1) 4

m − +

−

Giải hệ ta sẽ tìm được toạ độ B và C theo m Từ đó viết được phương trình đường thẳng BC phụ thuộc

m Ta có bài toán tìm điểm cố định của họ đường thẳng mà ta đã giải trong ví dụ trên Tuy nhiên không phải con đường trơn tru và dễ dàng Mời các bạn” phiêu lưu”

DẠNG 2 Viết phương trình đường thẳng , đường tròn thỏa một đặc tình cho trước :

Cách 1: Tìm những điểm xác định đường thẳng , đường tròn : Ví dụ với đường thẳng thì tìm hai điểm mà nó đi qua , hay 1 điểm và một vectơ pháp tuyến của nó Với đường tròn thì phải tìm tâm và bán kính

11 D2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

A

Δ H O

Giải

Nhận xét: Vì ∆ qua O nên chỉ cần biết toạ độ H là viết được phương trình ∆

Gọi H(a ; b), khoảng cách từ H đến Ox là |b|, ta có hệ:

2 2

0

AH b

AH OH

⎧ =

⎪

⎨

=

⎪⎩JJJG JJJG

Với JJJGAH =( ;a b−2) ; OHJJJG=( ; )a b :

2 2 2 2

( 2) 4 4 0 (1) ( 2) 0 2 0 (2

a b b a b b

⎧ + − = ⎧ − + =

⎪ <=>⎪

+ − = + − =

(2) – (1): b2 + 2b – 4 = 0 Ù b = 5 1;− − 5 1−

Thế vào (1): a2 = 4( 5 2− ) hay 4(- 5 2− ) : loại

Suy ra a = ±2 5 2−

Phương trình đường thẳng (∆) qua O và H(a ; b) : bx – ay = 0 Ù( 5 1)− x±2 5 2)− y=0

12.B2009 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4/5 và hai đường thẳng Δ1: x – y

= 0 và ∆2 : x – 7y = 0 Viết phương trình đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm K thuộc đường tròn (C)

Giải

Nhận xét: Đây là bài tóan ba ẩn số : toạ độ tâm K và bán kính R 1 , ta phải thiết lập 3 phương trình để

có hệ giải được Nhớ rằng đường tròn (I, R) tiếp xúc với ∆ Ù d(I, ∆) = R

Gọi K(a ; b) là tâm và R1 là bán kính của (C1), ta có:

2 2

1 1

2 1

( 2) 4 / 5 ( , )

( , )

a b

d K R

d K R

⎧ − + =

⎪ Δ =

⎨

⎪ Δ =

⎩

Ù

2 2

1

1

(2) 2

(3)

5 2

a b

R

a b

R

⎧

⎪

−

⎨

⎪

⎪

⎩

)

5

a b

a b

−

* Thế b = - 2a vào (1) : 25a2 – 20a+ 16 = 0 (VN)

* Thế a = 2b vào (1): 25b2 – 40b + 16 = 0 Ù b = 4/ 5 => a = 8/5

2 2

5 Phương trình đường tròn (C1) : (x – 8/5)

2 + (y – 4/5)2 = 8/25

Thế vào (2) : R1 =

Cách 2: Tìm các hệ số xác định đường bang cách giải hệ dựa vào điều kiện đã cho

• Phương trình đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 , phương trình đường tròn (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 hay x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 ; phương trình elip : x22 y22 1

a +b =

13 A2008 Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5 /3 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20

Giải