Khải Phương trình lượng giác là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng.. Để giải được một phương trình lượng giác đòi hỏi người giải phải quan sát kỹ đề bài, đề ra hướn
Trang 1Khải
Phương trình lượng giác là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng
Để giải được một phương trình lượng giác đòi hỏi người giải phải quan sát kỹ đề bài, đề ra hướng giải tối ưu nhất, vận dụng những công thức biến đổi lượng giác để đi đến kết quả cuối cùng Chuyên đề này xin hướng dẫn cho các bạn có hướng nhìn tổng quát cho các bài toán phương trình lượng giác
Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức
lượng giác biến đổi đưa về phương trình tích, từ đó
chúng ta sẽ có được những phương trình lượng giác
cơ bản:
sin u = sin v ⇔
"
u = v + k2π
u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔
"
u = v + k2π
u = −v + k2π
tan u = tan v ⇔
u 6= π
2 + k
0π
u = v + kπ
cot u = cot v ⇔
(
u 6= k0π
u = v + kπ
(k, k0 ∈ Z)
Trong quá trình giải chúng ta thường gặp những dạng
phương trình lượng giác như sau:
• Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo sin x, cos x
a sin x + b cos x = c
Để giải phương trình này chúng ta xét điều kiện
- Nếu a2+ b2< c2 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu a2+ b2 ≥ c2 thì phương trình có nghiệm, chia
hai vế phương trình cho √a2+ b2 để đưa về phương
trình lượng giác cơ bản
• Dạng 2: Phương trình bậc hai theo các hàm số lượng
giác at2 + bt + c = 0, (a 6= 0) trong đó t có thể là
sin x, cos x, tan x hoặc cot x
• Dạng 3: Phương trình đối xứng theo sin x, cos x
a(sin x ± cos x) + b sin x cos x = c
Đặt t = sin x ± cos x ; với t = √2 sin
x ±π 4
, t ∈
−√2;√2
và t2 = 1 ± 2 sin x cos x đưa về phương
trình đại số để giải
• Dạng 4: Phương trình đẳng cấp
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d
a sin3x + b sin2x cos x + c sin x cos2x + d cos3x =
m sin x + n cos x
- Trước tiên kiểm tra cos x = 0 ⇔ sin x = ±1 ⇔ x =
π
2 + kπ có phải là nghiệm phương trình hay không.
- Sau đó xét cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2x (hay cos3x) đưa về phương trình đại số theo tan x
F Bài toán 1 Giải phương trình
2 cos x(sin x + cos x)2 = 2 sin
x +9π 2
+ sin 2x
Hướng dẫn.Nhìn vào đề bài điều chúng ta nghĩ đến
là thu gọn (sin x + cos x)2 và sin
x +9π 2
Ta có (sin x + cos x)2 = sin2x + 2 sin x cos x + cos2x =
1 + sin 2x, sin
x +9π 2
= sinx + π
2 + 4π
= sinx +π
2
= cos x
Phương trình trở thành
2 cos x(1 + sin 2x) = 2 cos x + sin 2x
⇔ sin 2x(2 cos x − 1) = 0 ⇔
sin 2x = 0 cos x = 1
2
⇔ x = kπ
2 , x = ±
π
3 + k2π.
Vậy nghiệm phương trình là
x = kπ
2 , x = ±
π
F Bài toán 2 Giải phương trình
4 cos2
x
2 +
π 4
tan2x = 1
Hướng dẫn Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ sin x 6= ±1 Đầu tiên chúng ta hạ bậc
cos2x
2 +
π 4
= 1 2
h
1 + cosx +π
2
i
= 1
2(1 − sin x)
Sự xuất hiện của 1 − sin x làm cho ta nghĩ đến biến đổi tan2x thành
tan2x = sin
2x cos2x =
sin2x
1 − sin2x =
sin2x (1 − sin x)(1 + sin x). Lúc này phương trình trở thành
2 sin2x
1 + sin x = 1 ⇔ 2 sin
2x − sin x − 1 = 0
⇔
sin x = 1 (loại) sin x = −1
2
⇔
x = −π
6 + k2π
x = 7π
6 + k2π.
Vậy nghiệm phương trình là
x = −π
6 + k2π, x =
7π
Trang 2Khải
F Bài toán 3 Giải phương trình
3 cot2x + 3(cot x + 1)
√
2 cos
x +7π 4
= 1
Hướng dẫn Điều kiện: sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ
Ta có √2 cos
x +7π 4
= √2 cos
x −π
4 + 2π
=
√
2 cos
x −π
4
= cos x + sin x
Phương trình tương đương với
3 cos2x
sin2x +
3(cos x + sin x)
sin2x − 4(cos x + sin x) = 1
sin2x− 4 + (cos x + sin x)
3 sin2x − 4
= 0
⇔
3
sin2x − 4
(1 + cos x + sin x) = 0
⇔
sin2x = 3
4 cos x + sin x = −1
⇔
cos 2x = −1
2 cos
x − π 4
= −
√ 2 2
⇔x = ±π
3 + kπ, x = −
π
2 + k2π, x = π + k2π (loại) Vậy nghiệm phương trình là
x = ±π
3 + kπ, x = −
π
F Bài toán 4 Giải phương trình
√
3(1 + 2 cos 2x) sin 2x = 2(3 − 4 cos2x) cos2x
Hướng dẫn.Ta có sin 2x = 2 sin x cos x Như vậy hai
vế của phương trình đều có cos x, việc còn lại là chúng
ta xử lý (1 + 2 cos 2x) sin x và (3 − 4 cos2x) cos x
Ta thấy rằng
(1 + 2 cos 2x) sin x = sin x + 2 cos 2x sin x
= sin x + sin 3x − sin x
= sin 3x
,
(3 − 4 cos2x) cos x = 3 cos x − 4 cos3x = − cos 3x
Do đó phương trình đã cho tương đương với
√
3 sin 3x cos x = − cos 3x cos x
⇔ cos x(√3 sin 3x+cos 3x) = 0 ⇔
cos x = 0 tan 3x = −
√ 3 3
⇔ x = π
2 + kπ, x = −
π
18 +
kπ 3 Vậy nghiệm phương trình là
x = π
2 + kπ, x = −
π
18 +
kπ
F Bài toán 5 Giải phương trình
4 cos2x(1 + sin x) + 2
√
3 cos x cos 2x = 1 + 2 sin x
Hướng dẫn Phương trình tương đương với
4 cos2x + 4 cos2x sin x + 2√3 cos x cos 2x = 1 + 2 sin x
⇔ 4 cos2x − 1 + 2 sin x(2 cos2x − 1)
+ 2√3 cos x cos 2x = 0
⇔ 4 cos2x − 1 + 2 sin x cos 2x + 2√3 cos x cos 2x = 0
⇔ 4 cos2x − 1 + 2 cos 2x(sin x +√3 cos x) = 0 Đến đây nhiều bạn sẽ cảm thấy lúng túng khi chúng
ta không tìm được nhân tử chung để đưa về phương trình tích, nhưng các bạn hãy chú ý
4 cos2x − 1 = 3 cos2x − sin2x
= (√3 cos x + sin x)(√3 cos x − sin x)
Do đó ta được phương trình (√3 cos x + sin x)(√3 cos x − sin x + 2 cos 2x) = 0
⇔
" √
3 cos x + sin x = 0
√
3 cos x − sin x + 2 cos 2x = 0
⇔
sin
x +π 3
= 0 cos 2x = cos
x −5π 6
x = −π
3 + kπ
x = −5π
6 + k2π
x = 5π
18 +
k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là
x = −π
3 + kπ
x = −5π
6 + k2π
x = 5π
18 +
k2π 3
(k ∈ Z)
F Bài toán 6 Giải phương trình
√ 3
3 sin 2x(2 cos x − 1) − 1 = cos 2x − 3 cos x − cos 3x
Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với
√ 3
3 sin 2x(2 cos x−1)−1−cos 2x+3 cos x+cos 3x = 0. Do
√ 3
3 sin 2x(2 cos x − 1) có chứa (2 cos x − 1) nên ta phân tích các hạng tử còn lại theo (2 cos x − 1) như sau:
− 1 − cos 2x + 3 cos x + cos 3x
= −1 − cos 2x + 2 cos x + cos x + cos 3x
= −1 − cos 2x + 2 cos x + 2 cos x cos 2x
= (2 cos x − 1)(1 + cos 2x)
Từ đó ta có phương trình (2 cos x − 1)
√ 3
3 sin 2x + 1 + cos 2x
!
= 0
⇔ cos x(2 cos x − 1)
√ 3
3 sin x + cos x
!
= 0
⇔
cos x = 0 cos x = 1
2 tan x = −√3
⇔
x = π
2 + kπ
x = ±π
3 + k2π
x = −π
3 + kπ Vậy nghiệm phương trình là
x = π
2 + kπ
x = π
3 + k2π
x = −π
3 + kπ
(k ∈ Z)
Trang 3Khải
F Bài toán 7 Giải phương trình
tan x cos 3x + 2 cos 2x − 1
√ 3(sin 2x + cos x)
Hướng dẫn Điều kiện:
cos x 6= 0
sin x 6= 1
2
⇔
x 6= π
2 + kπ
x 6= π
6 + k2π
x 6= 5π
6 + k2π.
Ở bài toán này, nếu ta quy đồng mẫu thì bài
toán sẽ rất phức tạp Do đó chúng ta cần
phân tích biểu thức trên tử để đơn giản mẫu
Ta có tan x cos 3x =sin x(4 cos
3x − 3 cos x) cos x
= sin x(4 cos2x − 3)
= sin x(1 − 4 sin2x)
= sin x(1 − 2 sin x)(1 + 2 sin x),
2 cos 2x − 1 = 1 − 4 sin2x = (1 − 2 sin x)(1 + 2 sin x),
sin 2x+cos x = 2 sin x cos x+cos x = cos x(1+2 sin x)
Phương trình đã cho trở thành
(1 + 2 sin x)(sin x + 1) =
√
3 cos x(1 + 2 sin x)
⇔(1 + 2 sin x)(sin x −√3 cos x + 1) = 0
⇔
sin x = −1
2 sin x −√3 cos x = −1
⇔
sin x = −1
2 sinx −π
3
= −1 2
⇔
x = −π
6 + k2π
x = 7π
6 + k2π
hoặc
x = π
6 + k2π
x = 3π
2 + k2π
(loại) Vậy nghiệm phương trình là
x = −π
6 + k2π, x =
7π
F Bài toán 8 Giải phương trình
tan x + 4 cos x = 2 sin2x +π
3
cos x
Hướng dẫn Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ x 6= π
2 + kπ.
Phương trình tương đương với
tan x + 4 cos x = sin 2x +√3 cos 2x + 2
cos x
Ta thấy√3 gắn với cos 2x, ta cần phần tích các hạng
tử còn lại sao cho xuất hiện cos 2x Ta nhóm lại và
thực hiện phép biến đổi như sau:
tan x − sin 2x = sin x
cos x(1 − 2 cos
2x) = −sin x cos 2x
cos x
4 cos x − 2
cos x =
2(2 cos2x − 1)
2 cos 2x cos x .
Do đó phương trình trở thành
−sin x cos 2x
2 cos 2x cos x =
√
3 cos 2x
⇔ cos 2x
−sin x
cos x +
2 cos x−
√ 3
= 0
⇔ cos 2x − sin x −√3 cos x + 2 = 0
⇔
"
cos 2x = 0
sin x +√3 cos x = 2 ⇔
"
cos 2x = 0 sin
x +π 3
= 1
⇔ x = π
4 +
kπ
2 , x =
π
6 + k2π Vậy nghiệm phương trình là
x = π
4 +
kπ
2 , x =
π
6 + k2π (k ∈ Z)
F Bài toán 9 Giải phương trình
2 cos x cos 3x + 1 (1 + 2 cos x)(cos x + sin x) = sin x − sin 2x
Hướng dẫn Điều kiện:
cos x 6= −1
2 cos x + sin x 6= 0
⇔
x 6= ±2π
3 + k2π
x 6= −π
4 + kπ.
Tương tự như bài toán 7, ta có nhận xét
2 cos x cos 3x + 1 = cos 2x + cos 4x + 1
= cos 2x + 2 cos22x = cos 2x(1 + 2 cos 2x)
= (cos2x − sin2x)(4 cos2x − 1)
= (cos x − sin x)(cos x + sin x)(2 cos x − 1)(2 cos x + 1) Phương trình đã cho tương đương với
(cos x − sin x)(2 cos x − 1) = sin x − sin 2x
⇔(cos x − sin x)(2 cos x − 1) = − sin x(2 cos x − 1)
⇔ cos x(2 cos x − 1) = 0
⇔
cos x = 0 cos x = 1
2
⇔
x = π
2 + kπ
x = ±π
3 + k2π.
Vậy nghiệm phương trình là
x = π
2 + kπ, x = ±
π
F Bài toán 10 Giải phương trình
1 + sin x sin x tan
π
4 −
x 2
= tan x + 2√3
Hướng dẫn Điều kiện:
( sin x 6= 0 cos x 6= 0
⇔ x 6= kπ
2 .
Ta có tanπ
4 −
x 2
=
sinπ
4 −
x 2
cosπ
4 −
x 2
=
cosx
2 − sin
x 2 cosx
2 + sin
x 2
Sự xuất hiện của cosx
2 + sin
x
2 làm ta nghĩ đến
1 + sin x =cosx
2 + sin
x 2
2
Như vậy phương trình tương đương với
cosx
2 + sin
x 2
cosx
2 − sin
x 2
√ 3
⇔ cos x sin x = tan x + 2
√ 3
⇔ cos
2x − sin2x sin x cos x = 2
√ 3
⇔ cot 2x =√3 ⇔ x = π
12 +
kπ 2 Vậy nghiệm phương trình là
x = π
12+ kπ
Trang 4Khải
F Bài toán 11 Giải phương trình
2 cos2π
4 − 3x
+√3 cos 6x
2 cos 4x − 1 = 2 cos 4x + 1
Hướng dẫn.Điều kiện: cos 4x 6= 1
2 ⇔ x 6= ±
π
12+
kπ 2 Nhìn vào đề bài dĩ nhiên chúng ta hạ bậc
2 cos2π
4 − 3x
= 1 + cosπ
2 − 6x
= 1 + sin 6x
và khi quy đồng mẫu sẽ xuất hiện
(2 cos 4x − 1)(2 cos 4x + 1)
= 4 cos24x − 1 = 1 + 2 cos 8x
Thu gọn phương trình trở thành
sin 6x +
√
3 cos 6x = 2 cos 8x
⇔ cos 8x = cos6x −π
6
⇔
x = −π
12 + kπ (loại)
x = π
84+
kπ 7 Vậy nghiệm phương trình là
x = π
84 +
kπ
F Bài toán 12 Giải phương trình
(sin 2x − cos 2x) tan x +sin 3x
cos x = sin x + cos x
Hướng dẫn Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ x 6= π
2 + kπ.
Ta thấy rằng
sin 3x
cos x = tan x(3 − 4 sin
2x) = tan x(1 + 2 cos 2x)
Do đó vế trái phương trình biến đổi thành
(sin 2x − cos 2x) tan x +sin 3x
cos x
= tan x(sin 2x + 1 + cos 2x)
= tan x(2 sin x cos x + 2 cos2x)
= 2 sin x(sin x + cos x)
Như vậy phương trình đã cho tương đương với
2 sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x
⇔(2 sin x − 1)(sin x + cos x) = 0
⇔
sin x = 1
2
sin
x +π
4
= 0
⇔
x = π
6 + k2π
x = 5π
6 + k2π
x = −π
4 + kπ Vậy nghiệm phương trình là
x =π
6 + k2π
x =5π
6 + k2π
x = −π
4 + kπ
(k ∈ Z)
F Bài toán 13 Giải phương trình
cos x − sin 3x =√2(cos x − sin x) sin 4x
Hướng dẫn Ta biến đổi
cos x − sin 3x = sinπ
2 − x
− sin 3x
= 2 cosπ
4 + x
sinπ
4 − 2x
=√2(cos x − sin x) sinπ
4 − 2x
Phương trình tương đương với (cos x − sin x) sin
π
4 − 2x
= (cos x − sin x) sin 4x
⇔ (cos x − sin x)hsinπ
4 − 2x
− sin 4xi= 0
⇔
cos
π
4 + x
= 0 sin 4x = sin
π
4 − 2x
x = π
4 + kπ
x = π
24 +
kπ 3
x = 3π
8 + kπ Vậy nghiệm phương trình là
x = π
4 + kπ
x = π
24 +
kπ 3
x = 3π
8 + kπ
(k ∈ Z)
F Bài toán 14 Giải phương trình
3 sin4x + 2 cos23x + cos 3x = 3 cos4x − cos x + 1
Hướng dẫn.Ở bày toán này chúng ta nhóm lại cho thật khéo sau đó biến đổi sẽ tìm được nhân tử chung Biến đổi phương trình thành
2 cos23x − 1 + cos 3x + cos x = 3 cos4x − 3 sin4x
Ta thấy rằng
2 cos23x − 1 = cos 6x
= (4 cos22x − 3) cos 2x
= (2 cos 4x − 1) cos 2x
,
cos 3x + cos x = 2 cos x cos 2x,
3 cos4x − 3 sin4x = 3(cos2x − sin2x)(cos2x + sin2x)
= 3(cos2x − sin2x) = 3 cos 2x Như vậy phương trình tương đương với
(2 cos 4x − 1) cos 2x + 2 cos x cos 2x = 3 cos 2x
⇔ cos 2x(cos 4x + cos x − 2) = 0
⇔
cos 2x = 0 ⇔ x = π
4 +
kπ 2 cos 4x + cos x = 2 (∗) (∗) ⇔
( cos 4x = 1 cos x = 1
⇔
x = kπ 2
x = k2π
⇔ x = k2π Vậy nghiệm phương trình là
x = π
4 +
kπ
2 , x = k2π (k ∈ Z)
F Bài toán 15 Giải phương trình
cos 3x cos 5x −
cos x cos 3x = 2 sin 5x sin 3x
Hướng dẫn Điều kiện:
( cos 5x 6= 0 cos 3x 6= 0
⇔
x 6= π
10 +
kπ 5
x 6= π
6 + kπ 3
Trang 5Khải
Quy đồng mẫu ta được phương trình
cos23x − cos 5x cos x = 2 sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x
Ta biến đổi vế trái và vế phải của phương trình này
cos23x − cos 5x cos x
= 1
2(1 + cos 6x) −
1
2(cos 6x + cos 4x)
= 1
2(1 − cos 4x)
2 sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x
= 1
2(cos 2x − cos 8x)(cos 2x + cos 8x)
= 1
2(cos
22x − cos28x)
= 1
4(1 + cos 4x) −
1
2(2 cos
24x − 1)2
= −2 cos44x + 2 cos24x +1
4cos 4x −
1 4 Như vậy ta có phương trình
1
2(1 − cos 4x) = −2 cos
44x + 2 cos24x +1
4cos 4x −
1 4
⇔ 8 cos44x − 8 cos24x − 3 cos 4x + 3 = 0
⇔ (cos 4x−1)(2 cos 4x−1)(4 cos24x+6 cos 4x+3) = 0
⇔
cos 4x = 1
cos 4x = 1
2
4 cos24x + 6 cos 4x + 3 = 0 (vô nghiệm)
⇔
x = kπ
2
x = ±π
12 +
kπ 2
So sánh điều kiện ta nhận nghiệm
x = kπ, x = ± π
12 +
kπ
2 . Vậy nghiệm phương trình là
x = kπ, x = ± π
12+
kπ
F Bài toán 16 Giải phương trình
cos x + sin3x
sin x − sin2x = 1 + sin x + cot x
Hướng dẫn Điều kiện:
(
sin x 6= 0
sin x 6= 1 ⇔
x 6= kπ
x 6= π
2 + k2π
Ta có cos x + sin
3x sin x − sin3x
= cos x(1 − sin x) + (cos x + sin
2x) sin x sin x(1 − sin x)
= cot x +cos x + sin
2x
1 − sin x Phương trình tương đương với
cos x + sin2x
1 − sin x = 1 + sin x
⇔2 cos2x − cos x − 1 = 0
⇔
cos x = 1
cos x = −1
2
⇔
x = k2π (loại)
x = ±2π
3 + k2π
Vậy nghiệm phương trình là
x = ±2π
F Bài toán 17 Giải phương trình sin3x −π
6
+ sin2x +π
3
+ cos x = 0
Hướng dẫn Với bài toán này ta nghĩ ngay đến việc
áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích Ta làm như sau
sin
3x − π 6
+ cos x = sin
3x − π 6
+ sin
x +π 2
= 2 sin
2x + π 6
cos
x −π 3
Đến đây ta vẫn chưa tìm được nhân tử chung Vì thế
ta chịu khó biến đổi sin
2x +π 3
= 2 sin
x +π 6
cos
x + π 6
Nhận thấy rằng cosx − π
3
= cosπ
3 − x
= sinx + π
6
Do đó phương trình đã cho tương đương với sin
x +π 6
h sin
2x + π 6
+ cos
x + π 6
i
= 0
⇔
sinx +π
6
= 0 ⇔ x = −π
6 + kπ sin2x +π
6
= − cosx +π
6
(∗) (∗) ⇔ sin
2x +π 6
= sin
x −π 3
⇔
x = −π
2 + k2π
x = 7π
18 +
k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là
x = −π
6+kπ, x = −
π
2+k2π, x =
7π
18+
k2π
F Bài toán 18 Giải phương trình
2 sin x + tan x + 1
cos 3x = 1 + tan 3x
Hướng dẫn Điều kiện: cos 3x 6= 0 ⇔ x 6= π
6 +
kπ
3 .
Ta có tan 3x − tan x = sin 2x
cos x cos 3x =
2 sin x cos 3x
Do đó phương trình đã cho tương đương với
2 sin x + 1
cos 3x = 1 +
2 sin x cos 3x
⇔2 sin x − 1 +1 − 2 sin x
cos 3x = 0
⇔(2 sin x − 1)
cos 3x
= 0
⇔
sin x = 1
2 cos 3x = 1
⇔
x = π
6 + k2π (loại)
x = π
6 + k2π (loại)
x = k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là x = k2π
F Bài toán 19 Giải phương trình 2
sin 2x+
1 sin x sin
3x − 3π 2
= 4 + 8 cos 2x
Trang 6Khải
Hướng dẫn Điều kiện:
sin x 6= 0
sin
3x −3π
2
x 6= kπ
x 6= π
2 +
kπ
3 .
Ta có
sin 2x = 2 sin x cos x
sin
3x − 3π
2
= cos 3x , do đó 2
sin 2x +
1 sin x sin
3x −3π 2
sin x cos x+
1 sin x cos 3x =
cos 3x + cos x sin x cos x cos 3x
= 2 cos 2x cos x
sin x cos x cos 3x =
2 cos 2x sin x cos 3x Phương trình trở thành
cos 2x
sin x cos 3x = 2 + 4 cos 2x
⇔ cos 2x = 2 cos 3x sin x(1 + 2 cos 2x)
⇔ cos 2x = 2 cos 3x(sin x + 2 cos 2x sin x)
⇔ cos 2x = 2 cos 3x(sin x + sin 3x − sin x)
⇔ cos 2x = sin 6x ⇔ sin 6x = sinπ
2 − 2x
16 +
kπ
4 , x =
π
8 +
kπ 2 Vậy nghiệm phương trình là
x = π
16 +
kπ
4 , x =
π
8 +
kπ
F Bài toán 20 Giải phương trình
tan
x +π 4
+ sin x cos 5x = 2 cos 2x
Hướng dẫn Điều kiện:
cosx +π
4
6= 0 cos 5x 6= 0
⇔
x 6= π
4 + kπ
x 6= π
10 +
kπ
5 .
Ta có tan
x + π
4
=
sinx +π
4
cos
x +π 4
= cos x + sin x cos x − sin x
= cos
2x − sin2x (cos x − sin x)2 = cos 2x
1 − sin 2x Phương trình tương đương với
cos 2x
1 − sin 2x+
sin x cos 5x = 2 cos 2x
⇔ cos 2x cos 5x + sin x − sin 2x sin x =
2 cos 5x cos 2x(1 − sin 2x)
⇔2 sin x − 2 sin 2x sin x =
2 cos 5x cos 2x − 2 cos 5x sin 4x
⇔2 sin x − cos x + cos 3x =
cos 7x + cos 3x − sin 9x + sin x
⇔ sin 9x + sin x − cos 7x − cos x = 0
⇔2 sin 5x cos 4x − 2 cos 3x cos 4x = 0
⇔ 2 cos 4x(sin 5x − cos 3x) = 0
⇔
"
cos 4x = 0
sin 5x = sinπ
2 − 3x
⇔ x = π
8 +
kπ
4 , x =
π
16 +
kπ
4 , x =
π
4 + kπ (loại) Vậy nghiệm phương trình là
x = π
8 +
kπ
4 , x =
π
16 +
kπ
BÀI TẬP
1 2 sin 2x sin x +√3 cos x + 4 cos2x = 1
2 2 cos2x +√3 sin 2x + 1 = sin x +√3 cos x
3 sin 3x sin x +√3 cos x = 2
3 sin 2x − cos 2x −√3 sin x + cos x − 1 = 0
5 sin 4x + 4 sin 5π
2 + x
= 4(sin x + cos x)
6 4 sin3x − 2 cos x(sin x − 1) − 4 sin x + 1 = 0
7 2 cos2x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x
8 2 cos3x + cos 2x + sin x = 0
9 (2 cos x − 1) sin 4x
cos x − sin x = 2 sin 2x
10 4 sin2x cos x + 2 sin x + cos x = cos 3x
11 cos 3x − sin 3x
1 − 2 sin 2x = cos x + cos 2x
12 cos 6x(1+2 sin x)+2 cos2x = 1+2 cos 5x sin 2x
2 sin
π
4 − x
1 + sin 2x cos x = 1 + tan x
14 1 − 2 cos 2x −√3 sin x + cos x = 0
2 cot2x + 1+
1
2 tan2x + 1=
15 cos 4x
8 + sin22x
16
√
3 sin 3x cos x − 2 sin 2x = cos 2x + 2 cos
2x
17 sin x cos 2x + cos2x(tan2x − 1) + 2 sin3x = 0
2 sin
2x +π 4
− sin x − 3 cos x + 2 = 0
19 cos x − sin x + cos 2x + sin 2x = 1 + cos 3x
20 4(sin x + cos x)(1 + cos x)2= 6 cos2 x
2 + sin x
21 sin3x + π
4
+ 8 sin2x −√2 sin x = 2
22 cos 2x + 5 = 2√2(2 − cos x) sin
x −π 4
23 sin 2x sinx +π
4
−
cos 2x cosx +π
4
= 2
24
2 sin
π
3 − 2x
+ 2 sin 2x +√3
25 2 cos 6x −√3 cos 2x = sin 2x − 2 cos 4x +√3
3 sin4x + cos4x = sin2x +π
3
+1
4sin 4x
27 cos 2x +sin 3x − cos 3x
2 sin 2x − 1 = sin x (1 + tan x)
28 (2 sin x − 1) tan x = 3
cos x+
2 cos x sin x − 1
29 (2 sin 5x − 1)(2 cos 2x − 1) = 2 sin x
30 16 cos4x + π
4
− 4√3 cos 2x + 5 = 0
31 cos x + 1
16 sin3x = sin x cos
22x
sin x+
sin 3x + 2 cos x
1 + cos2x =
2 cos x
33 cos3x + 4 cos2x + 1 sin x cos x (cos x − 2)=
√ 3
34 cos22x + cos 4x (tan 2x cot x − 1) = −3
4