Phương trình lượng giác ôn thi đại học

Chơng I: Phơng trình lợng giác cơ bản và một số phơng trình lợng giác thờng gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa.. s

Chơng I: Phơng trình lợng giác cơ bản

và một số phơng trình lợng giác thờng gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để

căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài ra trong các PTLG cóchứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa

Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa các phơng trình đã cho về một trong các phơng

trình cơ bản

Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào không

thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phơng trình lợng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phơng trình lợng giác là phơng trình chứa một hay nhiều hàm số lợng

giác

1.1.2- Các phơng trình lợng giác cơ bản.

a) Giải và biện luận phơng trình sin x m (1)

Do sinx   1;1 nên để giải phơng trình (1) ta đi biện luận theo các bớc sau

Nh vậy ta có thể kết luận phơng trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ đợc các giá trị của các cung đặc biệt nh ; ; ; ; ;2

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

b) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cosx m ( )b

Ta còng ®i biÖn luËn (b) theo m

Nh vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm

VÝ Dô Minh Ho¹.

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:

1cos

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

c) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c tan x m c  ( )

Ta còng biÖn luËn ph¬ng tr×nh (c) theo c¸c bíc sau:

2

Bíc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng

-Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử  khi đó phơng trình có dạng

tanxtan  x  k ,k 

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m=tan

ta đợc

tanxtan  x  k ,k 

Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn có nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ta cũng đi biện luận theo m

Bớc1: Đặt điều kiện sinx 0 x k  k 

-Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử  khi đó phơng trình có dạng

cotxcot  x  k ,k 

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m=cot

ta đợc

cotxcot  x  k ,k 

Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình (d) luôn có nghiệm

Ví Dụ Minh Hoạ:

Cách giải: Đặt tsinx , điều kiện | |t 1

Đa phơng trình (1) về phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b cosx c 0 (a0; , ,a b c  (2))

Cách giải: Đặt tcosx điều kiện | |t 1 ta cũng đa phơng trình (2) về phơng trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: atan2x b tanx c 0 (a0; , ,a b c  (3))

C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn cos 0 ,

2

§Æt ttanx t  ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo  t, chó ý khi t×m

®-îc nghiÖm x cÇn thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng

D¹ng 4: acot2x b cotx c 0 (a0; , ,a b c  (4))

C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sinx 0 x k  k 

§Æt tcotx (t  Ta còng ®a ph¬ng tr×nh (4) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t.)

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos2x 3cosx 1 0 (1)

Gi¶i:

Ph¬ng tr×nh (1)

2cos 1

,1

2cos

32

x k x

Bài tập:

Bài 1: Giải phơng trình: 5sin2x 4sinx 1 0

Bài 2 Giải phơng trình: cos2x 3cosx 4 0

3tan 2 3tan 0

2

Bài 4: Giải phơng trình: cos(4x2) 3sin(2 x1) 2

Bài 5: Giải phơng trình: tan 34 x 3tan 3x 1 0

1.2.2- Phơng trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a)Định nghĩa: Phơng trình sina x b cosx c (1) trong đó a, b, c  và a2 b2 0 đợc gọi là phơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

đánh giá cho một số phơng trình lợng giác

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x 3cos 2x3 (1)

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trớc khi bắt tay vào

giải phơng trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phơng trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x  2

Ta biến đổi phơng trình (2)

Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lu ý rằng việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phơng trình (1 3)sinx(1 3)cosx2 (3)

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

22

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu đợc nghiệm phơng trình chẵn.Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan

2

x

t  và ta cũng thu đợc nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phơng trình dạng sin ( )a P x bcos ( )Q x csin ( )Q x dcos ( ) (*)P x

trong đó a, b, c, d  thoả mãn a2 b2 c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các

hàm hằng số Bằng phép chia cho a2 b2 ta có (*) sin P x( ) sinQ x( )

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm.

Bài tập: Giải các phơng trình sau :

1 3 sinxcosx  3

2 10cosx 24sin 2x13

3 sin2 x 6 cosx3cos2x 2 sinx

4 4cos3x 3 sin 3x 1 3cosx

5 sin4 x cos4x  1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinx cos )x  7 sin 2x3(cos4x sin )4x

8 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos2x

9 cosx2cos 2x2 2 cos3 x

1.2.3- Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phơng trình

asin2 x b sin cosx x c cos2x d (1) trong đó a, b, c, d  

b) Cách giải :

Chia từng vế của phơng trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2 x 2x hoặc

sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bớc sau:

Bớc 2: Với cos x 0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phơng trình (1) trở thành

Đây là phơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

Khi đó ta cũng làm theo 2 bớc :

Bớc 1: Kiểm tra xem cosx 0 có phải là nghiệm của phơng trình hay không?

Bớc 2: Nếu cosx 0.Chia cả hai vế của phơng trình trên cho cosn x ta sẽ đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình : 2 3 cos2x6sin cosx x 3 3 (1)

+)Với cosx 0 Chia cả hai vế của phơng trình cho cos x2 ta đợc

2 3 6tan x(3 3)(1 tan ) 2x  (3 3) tan2x 6 tanx 3 3 0

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

(tanx 1)3 4(1 tan ) tan 2x x 3tan3x3tan2xtanx 1 0

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phơng trình

Vậy phơng trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phơng pháp giải phơng trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phơng

trình có thể giải bằng phơng pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: 1 tan

1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0

tan tan 2 tan 0 (*)

1) 3sinx 4sin cosx xcos2x0

2) 2cos3xsin3x 11sin2x 3cosx 0

5) sin3x 5sin2xcosx7sin cosx 2x 2cos3x0

6) sin 2 sinx xsin 3x6cos3x

8) (sin2 x 4cos )(sinx 2x 2sin cos ) 2x x  cos x4

9) cos3x sin3xsinx cosx

1.2.4-Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là phơng trình dạng

(sina xcos )x bsin cosx x c  trong đó 0 a b c  , , (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx )2  1 sin cosx x nên ta đặt

2

b

b x x   Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải c

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phơng trình

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  bằng cách đặt tsinx cosx và lúc đó

2

1sin cos

2

t

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phơng trình sinxcosx 2sin cosx x 1 0 (1)

2

z z

C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt

( sin cos )sin cos

 ( sina x b cos )( sinx a x b cos )x c a( sinx b cos )x

 ( sina x bcos ) ( sinx  a x bcos )x  csin cosx x 0

 (sinx 3 cos )(sinx x 3 cos ) 4(sinx  x 3 cos )sin cosx x x

 (sinx 3 cos ) (sinx  x 3 cos )sin 2x x 0

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phơng trình

Vậy theo phơng trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phơng trình:

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tơng tự cho phơng trình a(tanx sin )x b(cotx cos )x  a b 0

Vậy phơng trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phơng pháp đối với phơng trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối

xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2

Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng

cos sin 2 cos 2sin cos

261

6cos 0

22

2

1

1 sin 22

 (8 6sin 2 )sin 2 2 x x 4 2sin 22 x

 3sin 23 x sin 22 x 4sin 2x 2 0

 (sin 2x 1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0

sin 2x 2(sinx cos )x  2 xsinxcosx x

2 2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 5 0x  

3. 1 cos 3x sin3xsin 2x

4 sinxcosx( 3 1)cos2 x

2

x

6 sin3xcos3xsin 2xsinxcosx

7 4(sin4xcos )4x  3 sin 4x2

đa phơng trình đã cho về dạng đại số F t ( ) 0

Bớc 2: Giải phơng trình F t ( ) 0 loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán

Bớc 3: Với nghiệm t tìm đợc ở bớc 2 thế vào bớc 1 để tìm x

Ví dụ Minh Hoạ:

Điều kiện sin cos 0

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

Suy ra tan cot 2 sin 2 1

4

x x   x   x k ( thoả mãn điều kiện(2))

Vậy

4

x k là họ nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho

Bài tập:Giải các phơng trình sau:

1 2(tanxcot ) tanx  7xcot7x

2 tan3xtan2 xcot2xcot3x 4 0

3 5(tanxcot ) 3(tanx  2xcot ) 8 02x  

6 sinxcosx tanxcotx

7 8(tan4 xcot ) 9(tan4x  xcot )x 2  10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trớc khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm đợc có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta cóthể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phơng pháp sau:

1.3.1 Phơng pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trớc hết ta giải phơng trình (1) sau đó thay nghiệm của phơng trình (1) tìm đợc vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải phơng trình 1 sin

0sin 4

x x



 (1) Giải:

Điều kiện sin 4x 0 (*)

N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối đợc đánh dấu (.) mà không bị đánh

dấu (x) là nghiệm của phơng trình

Ví Dụ: Giải phơng trình: cos cot 2x xsinx (1)

   cos cos 2x xsin sin 2x x

cos cos 2x x sin sin 2x x 0

1.3.3- Phơng pháp đại số.

Phơng pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phơng trình (thờng là

ph-ơng trình nghiệm nguyên) hoặc bất phph-ơng trình đại số

* Ví Dụ: Giải phơng trình: cos8

0 (1)sin 4

Bài 3: Giải phơng trình: cos 2 2sin cos

32cos sin 1

Đứng trớc một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn

đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đa phơng trình về phơng trình mà ta đã biếtcách giải Và để giải mỗi phơng trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hớng-Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác nhau thì biến đổi tơng đơng vềphơng trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phơng trình chứa hàm lợnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng

đ-ơng về phđ-ơng trình chỉ chứa một cung

Dới đây là một số phơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà talựa chọn phơng pháp cho phù hợp

2.1 - Phơng pháp biến đổi tơng đơng

Phơng pháp: Sử dụng công thức lợng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số

và lợng giác đa phơng trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lợng giác

Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đờng cho cách biến đổi phơng trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình 3sin 3x 3 cos9( x) 1 4sin 3  3 x (1)

Giải (*): ta có

23(*)

23

   ta thấy có 1 giá trị k 0 là thoả mãn

Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

Nhận xét : Phơng pháp biến đổi tơng đơng đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lợng

giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết

2.1- Phơng pháp đặt ẩn phụ.

Phơng pháp :

Có 2 loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đa phơng trình đã cho về phơng trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đa phơng trình đã cho về hệ phơng trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có đợcmột phơng trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thờng trong phơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thờng gặp 2 loại đặt ẩn phụsau:

+) Đổi biến dới hàm lợng giác

+) Đặt cả biểu thức lợng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dới hàm lợng giác

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos

4cos 2 4cos 3cos 1 0

(*)

2

32

Nh vậy phơng trình đã đợc đa về phơng trình chứa các hàm lợng giác chỉ chứa 1 cung Từ

đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi

25

2.1.2- Đặt một biểu thức lợng giác làm ẩn phụ.

Chú ý một số phơng pháp đặt ẩn phụ của phơng pháp đại số sau đây +Phơng trình trùng phơng ax4 bx2  c 0 (a0)

Chú ý: Một số phơng trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn

phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phơng trình Bộ phận cũ còn lại ấy đợc xem là tham số của phơng trình

Do sinx  3 0 nên phơng trình (*) là phơng trình bậc hai đối với t

2

(sin 3) 4(sin 3)(sin 1)(sin 3)

1 (sin 3)sin2 cos2 0

u, vv

2

14

sin x

cos x

sin x cos x

sin xu

v

u

sin xv

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phơng trình

6

2 sin cos sin cos

sin 2 2 sin cos





-Víi t 1 ta cã: sin cosx x2 sinxcosx 1

sinxcosx  1 sin cosx x a( )

Do 1 sin cos x x0 nªn (a)  (sinxcos )x 2  (1 sin cos )x x 2

2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos )

sin cos (sin cos 4) 0

-Víi t 3 ta cã sin cosx x sinxcosx 3

 sinxcosx  3 sin cosx x ( )b

Ta nhËn thÊy  3 sin cosx x   2 0 sinxcosx , suy ra ph¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm

§Æt sin32 sin32 1 2sin2 cos 2

-Với t 5 2cos 2x ta có 3cos 2x  5 2cos 2x  3cos 2x 2cos2x5 (*)

2.3- Giải phơng trình lợng giác sử dụng công thức hạ bậc

Phơng pháp: Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa.

Bớc 2: Thực hiện việc hạ bậc của phơng trình bằng các công thức

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :

Asin cos33x xsin 3 cosx 3x

Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:

Cách 1: Ta có :

sin cos3 sin 3 cos

1 cos sin cos3 1 sin sin 3 cos

sin cos3 sin 3 cos (cos cos3 sin sin3 )sin cos

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp Chẳng hạn

đối với phơng trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thờng ta không đihạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc

(+) Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin2xcos2xcos 32 x

2cos 3 2cos3 cos 0 (cos3 os5 )cos3 0

2cos2 cos cos3 0

29

1 2cos 2 cos 2 2(1 sin 2 )

22cos 2 4cos2 1 0

26

26

Ta có: (2)  sin3xcos3xsin cos2x xcos n2x si x 2sin 2x

sin (sin cos ) s (cos n ) 2sin 2

(sin s )(sin cos ) 2sin 2

sin cos 2sin 2 (3)

Bình phơng hai vế của phơng trình (3) ta có: (sinxcos )x 2 2sin 2x

1 2sin cos sin 2 2sin 2 sin 2 1

x k thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi k 2m

Vậy phơng trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất

Ta có (4) sin7 xcos5x(sin5xcos )sin cos3x x xsinxcosx

 sin7 xcos5xsin6xcosxsin cosx 4x sinxcosx

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos

sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos