SKKN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ôn THI đại học – CAO ĐẲNG

KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : giảng dạy môn Toán - Số năm có kinh nghiệm : 27 - Các sáng kiến kinh nghiệm đ có trong 5 năm gần đây :  Vấn đề xét dấu mộ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị : Trường THPT NAM-HÀ

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Người thực hiện: NGUYỄN VŨ KHANH

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học 2012 – 2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

_

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Vũ Khanh

2 Ngày tháng năm sinh: 30 – 06 – 1963

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ: 10/3 K1 ấp Đồng Nai, xã Hoá An, Tỉnh lộ 16, tp Biên Hòa - Đồng Nai

5 Điện thoại: / (NR) 0613 855 837; ĐTDĐ: 0948 935 272

6 Fax: E-mail: khanhnamha@yahoo.com.vn

7 Chức vụ: TTCM

8 Đơn vị công tác:

Trường THPT Nam Hà ệp a TP n a, Đồng Nai

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất : Cử nhân

- Năm nhận bằng : 1985

- Chuyên ngành đào tạo : Cử nhân Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : giảng dạy môn Toán

- Số năm có kinh nghiệm : 27

- Các sáng kiến kinh nghiệm đ có trong 5 năm gần đây :

 Vấn đề xét dấu một biểu thức & ứng dụng vào giả phương trình bất phương trình

 Cá à t án t ếp t ến a đồ thị hàm ố

 Nguyên hàm c a một số hàm phân thức hữu tỉ

 Khoảng cách từ một đ ểm đến mặt phẳng trong bài toán hình học không gian

BM02-LLKHSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC (PTLG) là ch đề thường xuyên có mặt trong các

đề th Đại học – Ca đẳng trong những năm gần đâ Ch đề nà hưa phải là câu khó nhất tr ng đề th d đó nó trở thành câu kiếm đ ểm quan trọng

Tr ng hương trình phổ thông S được tạo dựng ăn ản về LG ở HK2 c a năm lớp

10 và tiếp tục với HSLG ở HK1 lớp 11 sau cùng là giải PTLG Kiến thức và mứ độ yêu cầu trong nhà trường chỉ ở mức trung bình hoặc cao một chút nếu HS học

hương trình nâng a D đó S ẽ gặp nhiề khó khăn kh đối diện với PTLG

tr ng á đề th đại học

Vì vậy, chuyên đề nà được viết h đố tượng HS luyện th Đ và một số ít HS giỏi khối 11

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi: Bản thân tô đ ó một ít kinh nghiệm q a á năm dạy Toán

2 Khó khăn: ọc sinh vẫn thường gặp nhiề khó khăn kh g ả P ƯƠNG

TRÌN LƯỢNG GIÁC tr ng á đề th Đại học

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận :

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT

Hiển nhiên không có cách giải chung cho mọ phương trình lượng giác Đó là ự khó khăn đồng thờ ũng là ự hấp dẫn c a phương ttrình LG Vấn đề là làm a để giải một phương trình lượng giác tổng quát ?

Trước hết ta cần nhận xét dựa trên nhiều yếu tố: HSLG, số đ các cung, hệ số c a các số hạng,

PT có dạng tương tự vớ phương trình đ ết hay không ? … rồi từ đó chọn một hướng mở thích hợp với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h về phương trình quen thuộc hoặc phương trình dạng tích

Sa đâ tôi xin đề nghị một số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải

A MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DỄ NHẬN THẤY HƯỚNG BIẾN ĐỔI

Dạng 1: Dùng công thức biến đổi tổng  tích

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

 

  

 

 

1

2 1

2 1

2

     

     

     

Ví dụ 1 G ả phương trình: sinxsin 2xsin 3xsin 4xsin5xsin 6x0

Giải

Pt tương đương với:

(sin6xsin ) (sin5x  xsin 2 ) (sin 4x  xsin3 )x 0

    

x

Cần lưu ý:

Nếu gặp dạng tổng (hiệu)

của các số hạng sinax (cosax) ta cần lưu ý đến cung sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau

Từ đó sắp xếp theo cặp rồi

áp dụng CT biến đổi sẽ đưa đến phương trình dạng tích

Ví dụ 2 G ả phương trình: sin4 sin5x xsin 4 sin 3x xsin 2 sinx x0 (1)

1

2

Hiển nhiên ta sử dụng CT biến đổi tích thành tổng rồi rút gọn

Ví dụ 3 G ả phương trình: cos7xsin8xcos3xsin2x

Pt tương đương vớ : (cos7xcos3 )x (sin8xsin2 )x 0

2

x x  x

     

5

x      

       

- Sắp xếp từng cặp theo giá trị LG rồi áp dụng CT biến đổi tổng thành tích

- Đến đâ thì như pt đ giả được

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

1) cosxcos2xcos3xcos4x0 (HVQHQT-1999)

2) ( *) sinK xsin3x2sin5x0

3) cos cos3x xsin 2 sin 6x xsin 4 sin 6x x0

Dạng 2: Dùng công thức hạ bậc

Lưu ý: Hạ bậc xuống, số đo tăng gấp đôi

Ví dụ 4 G ả phương trình: 2 2 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x (B-2002)

Pt tương đương vớ :

ạ ậ rút gọn ta đượ pt

ó dạng 1 (dạng dùng CT

ến đổ )

Ví dụ 5 G ả phương trình: 2 2 2 3

2

x x x 

Pt tương đương vớ :

cos 6 (2 cos 4 1) 0

- VT có 3 ố hạng và VP ó 3/2 thì h àn t àn phù hợp

h v ệ rút gọn kh dùng

CT hạ ậ

- Lư ý 10 2

6 2

x x

x

 

từ

đó ta đượ PT dạng tí h

2

x x x x

PT tương đương vớ :

2

2

2

2

x





    

- VT “ hỉ ó” 3/2 d đó ta

hỉ n n hạ ậ 3 tr ng 4 ố hạng ở VT mà thôi

4 2

x x

x

 

Từ đó ta đượ PT dạng tí h

- Pt (2) là PT ậ ha the cos2x

Ví dụ 7 G ả phương trình: 2 2

cos 3 cos2x xcos x0 (A-2005)

PT tương đương vớ :

2

1

2

Dễ dàng nghĩ đến CT hạ

ậ rút gọn a ùng thì nhận đượ PT ậ ha q en

th ộ

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

2

x

6) cos4x12sin2x 1 0 (CĐ-D-2011)

4

   

 

 

x



    

 

9) 2sin 22 xsin7x 1 sinx (B-2007)

x x x  

2

x x     x

Dạng 3: Đặt ẩn số phụ

3.1 Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx:

Ví dụ 8 G ả phương trình: 2sin2x (3 3)sin cosx x( 3 1)cos 2x 1 (1)

2

2

2

1

cos

x

- cosx = 0 thì sin2x = 1 do

đó x = 0 không thỏa Pt(1) vậ h a ha vế a pt(1) cho cos2x ta đượ pt tương đương

1 tan

cos x4sin cosx xsin xcosx2sin x0 (1)

Vì x = 0 không thỏa pt(1) n n h a ha vế h 3x ta đượ

pt tương đương:

2

Tương tự như pt đẳng ấp

ậ ha ta h a ha vế h cos3x

Ví dụ 10 G ả phương trình: 3 2

2cos xsinx3sin x.cosx0 (1)

2

tan

cos

x

x x

2

Có thể Pt(1) là pt gần

vớ pt đẳng ấp ậ a và ta

ó thể g ả tương tự

1 tan

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin x.cosx (B-2008)

tan x 3tanx 3 tan x

2

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

12) 2sin3x4cos3x3sinx (SBT NC lớp 11- tr 14)

13) sin3xsin sin 2x x3cos3x0

14) 1 3tan x2sin 2x (Đ CĐ-2000)

15) cos3x4sin3x3cos sinx 2xsinx0 (Đ NT-1996)

16) cos3xsinx3sin2xcosx0 (Đ -1998)

17) sin sin 2x xsin3x6cos3x (Đ Dược tpHCM-1997)

18) 2cos3xsin3x (HVKTQS-1996)

3.2 phương trình đối xứng hoặc bán đối xứng đối với sinx và cosx

Nhận dạng: Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích của sinx và cosx

Cách giải: Đặt tổng (hiệu) bằng t sau đó tính tích theo t, thì nhận được pt bậc 2 (hoặc bậc 3)

theo ẩn phụ t

Ví dụ 12 G ả phương trình: (2 2)(sinxcos )x 2sin cosx x2 2 1

4

t  x x x   t

 

Ta có t2  1 2sin cosx x2sin cosx x t2 1 Pt trở thành:

t loai

t nhan





     





t   x   x    x  k 

(kZ)

Lư ý:

Cần th ộ lòng ông thứ

4

x x x

 

 

4

x x x

 

 

Ví dụ 13 G ả phương trình: sin cos 1 1 10

Đ ề k ện: sinx0 à cosv x0

x x

   

4

t  x x x   t

 

Ta có t2  1 2sin cosx x2sin cosx x t2 1 Pt trở thành:

3t 10t  3t 10  0 (t 2)(3t 4t5)0

Kh đồng thờ tha nx

ở x và x ở nx thì pt không tha đổ Vậ

đâ là pt đố xứng đố vớ sinx và cosx D đó ta ến

đổ the tổng và tí h a sinx và cosx

(1 sin x) cosx (1 cos x)sinx 1 sin 2x (A-2007)

Pt tương đương vớ :

4

t  x x x   t

 

Ta có

2

2

t

t   x x x x 

Pt trở thành:

2

1

2

t

t  t   t t t     t t V t

Đâ là pt đố xứng đố vớ

nx và x D đó ta ến

đổ the tổng và tí h a sinx và cosx

Ví dụ 15 G ả phương trình: 6 sinxcosx sin cosx x6

4

t  x x  x  t

 

Ta có

2

2

t

t   x x x x 

Pt trở thành:

2

1

2

t t

t loai







         

       

Đâ ũng là pt đố xứng

đố vớ nx và x

- Dùng CT hạ ậ thì tốt hơn

1 cos 2 1 sin 2 0 ,

 

          

 

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

19) sin3xcos3x2(sinxcos ) 1x 

20) sin3xcos3xcos2x (Đ NN-Tin học tp HCM-2001)

21) cos3xsin3xsinxcosx (Đ ĐNẳng-1999)

22) cos3xsin3xsin 2xsinxcosx (Đ CSND-2000)

23) 2sin3xsinx2cos3xcosxcos2x (HVKTQS-1999)

24) 2(sinxcos )x tanxcotx

4

x x 

 

 

3.3 phương trình chứa sin2a, cos2a, tan2a và tana

Sử dụng CT:

2



Chứng minh:

sin 2

a

cos 2

a



Ví dụ 16 G ả phương trình: (1 tan )(1 sin2 ) 1 tan x  x   x

Đ ề k ện: cosx0

Đặt t = tanx ta đượ phương trình:

2

2

1

t

t

suyra

          





Thỏa đ ề k ện

sin 2

x

Ví dụ 17 G ả phương trình: sin cot 2

2

x

x 

Đ ề k ện: sin 0

2

x  ; Phương trình tương đương vớ :

2

2 tan

1

x

x  x 



; Đặt t = tan

2

x ta đượ phương trình:

2t 3t 2t   1 0 (t 1)(2t     t 1) 0 t 1

         (thỏa đk)

Cách 2 : Ch a ha vế h

2

sin 2

x

, ta đượ phương trình tương đương:

2 2

2

2

2 1 cot

2

x

   

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

26) sin 2xcos2xtanx2

27) sin 2x2 tanx3 (BK Hà Nội-2001)

28) sin 2xcos2xtanx

B CÁC NHẬN XÉT GỢI Ý HƯỚNG BIẾN ĐỔI

Với cá phương trình phức tạp để tìm hướng biến đổi ta cần nhận xét dựa trên nhiều yếu tố: HSLG, số đ hệ số, có dạng tương tự vớ phương trình đ ết ha không ? … rồi từ đó liên kết với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h về phương trình quen thuộc hoặ phương trình dạng tích

Sa đâ tô x n đề nghị một số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải

Nhận xét 1: Biến đổi dựa trên mối liên hệ giữa các cung LG

Sự liên hệ giữa các cung (góc) lượng giác mở ra cho ta rất nhiề hướng khai thác:

* Dùng cung liên kết để chuyển về cung đơn giản hơn, nhờ đó ta nhận được phương trình cũng đơn giản hơn

Ví dụ 18 G ả phương trình 1 1 4sin 7

3

sin

2

x x

x



 



    

 

 

(A-2008)

           

7

              

Phương trình (1) tương đương với:

4sin



 

     

 

Đ ều kiện:

x

x x



 

Ch t ết dễ lư ý là ố đ a cung

S th ộ CT về ng l n kết là ó thể dễ dàng ến đổ

PT đ h thành một PT đơn

g ản hơn

sin cos 4sin sin cos

4

4

1 sin 2

2

x

x

x x



 

     

 

       







       

 



    

 

  

4

5



    



       



(thỏa đ ều kiện)

Ví dụ 19 G ả phương trình: 5cos3 3cos5 0

     

      

     

tương đương với: 5sin3 x3sin5x0

3

2sin 3 6cos 4 sin

- Cần tìm ự l n hệ g ữa

x  v x 

     

   

Tìm đượ mố l n hệ đó

ẽ g úp g ả đượ PT

- Dựa và hệ ố ta ến đổ như a :

- Dựa và ố đ á ng

ta dùng CT nhân ba thì đượ pt dạng tí h

- Lạ nhìn và ố đ và á GTLG ta ến đổ pt (2) thành pt ậ ha theo cos2x

Chú ý rằng: Không phải chỉ với một nhận xét về sự liên hệ số đo mà giải được PT Nhận xét

đó là bước đi đầu tiên để thay PT ban đầu bởi PT khác đơn giản hơn Và quá trình đó có thể lại tiếp tục

Ví dụ 20 G ả phương trình: sin 3 1sin 3

     

Ta có

            

x

t  

thì phương trình trở thành:

2sintsin 3t, dùng công thứ nhân a ta được pt dạng tích

Trước khi biến đổi PT, ta cần tìm sự liên hệ giữa hai

x



  

 và

3

x



  

*Nhận ra mối liên hệ giữa các cung giúp ta chọn công thức nhân đôi, nhân ba:

Ví dụ 21 G ả phương trình cos3xcos2xcosx 1 0 (D-2006)

PT tương đương với:

2

2

x





- PT hỉ hứa cosin theo

á ố đ x 2x 3x d đó

ó thể đưa về x ằng

CT nhân đô nhân a

- Chú ý:

2

cos x 1 sinx0

Cách 2: Phương trình đ h tương đương với :

2sin 2 sinx x 2sin x 0

2

1 cos

2

x

x









  



Nhận xét: 3 2

2

x x

x

 

và

2

1 cos2 x2sin x 

dùng CT ến đổ tổng thành tí h và ông thứ nhân đô

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

29) cos3x4cos2x3cosx 4 0 (D-2002)

30) sin 3 sin 5

*Nhận ra mối liên hệ giữa các cung sẽ dễ dàng hơn nếu kết hợp với đặt ẩn phụ

Ví dụ 22 G ả phương trình 3

3

  

 

Đặt

3

t  x 

3x 3t

    Phương trình trở thành:

2

1

2

t

t

     







 

6

2

2

3

x k



   

 

        



           



, kZ

- G ữa 3x và

3

x 

ta khó nhìn thấ mố l n hệ nhưng nế đặt

3

t  x 

3x 3t

    thì ta thấ ngay ng ù x ất h ện

- Và ũng dựa the ố đ

pt (2) gợ h ta CT nhân

ba

- Vớ pt 4cos2t1, cách tốt nhất là dùng CT hạ ậ

Nhận xét 2: Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c, (a 2 +b 2 > 0)

Tóm tắt về phương trình asinx + bcosx = c

Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 ta đượ pt tương đương:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b

  



Điều kiện có nghiệm: 2 2 2

a b c

Trường hợp đặc biệt:

 c = 0: sina x bcosx 0 tanx b (a 0)

a

4

c

a



 

        

 

4

c

a



 

        

 

Ví dụ 23 G ả phương trình sinx 3 cosx1

 

Ch a ha vế h

2 2

2

a b 

C ố ùng ta đượ PT LG

ơ ản

Ví dụ 24 Định m để phương trình a ó ngh ệm (2m1)sinx(m1)cosx m 3 (1)

(2m1) (m1) (m3)

Dùng đk ó ngh ệm a

PT asinx + bcosx = c

Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c (*)

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây có khá nhiều phương trình lượng giác “có họ hàng” với PT nêu trên Nếu HS nắm vững cách giải của PT asinx + bcosx = c thì có thể giải được các phương trình này

*Để phát hiện PT “có họ hàng” với PT (*), ta dựa vào mối liên hệ số đo của các cung kết hợp với liên hệ về hệ số

Ví dụ 25 G ả phương trình: sin sin 2 3

cosxcos2x 0 2cos xcosx 1 0

cosx1 và 1

cos

2

x  ;

vớ đ ều kiện trên thì phương trình tương đương với:

- Nhận xét: PT chứa các số

đ x 2x với hệ số 3 

Gợi cho ta một sự sắp xếp theo số đ

- Phương trình nà được giả tương tự như phương trình bậc nhất đối với sinu

và cosu

Ghi nhớ các biểu thức sau: sin u 3 cos ; 3sinu ucosu

Ví dụ 26 G ả phương trình: sinx 3 cosx5 sinx 3 cosx  4

Đặt : t sinx 3 cosx 0;

Ta đượ phương trình: 2

t     t t V t 

 t  1 sinx 3 cosx1

 

      

 

 t  4 sinx 3 cosx4: Phương trình vô ngh ệm

vì không thỏa đk a2 + b2  c2

- Dễ dàng nhận ra biểu thức sinx 3 cosxĐặt ẩn phụ

- Từ đó dẫn đến phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu

Ví dụ 27 G ả phương trình: 3 cos5x2sin 3 cos 2x xsinx0 (D-2009)

3 cos5 sin 5 2sin

Nhận xét: PT có chứa hệ số

3 đồng thời:

2sin 3 cos2x xsin5xsinx

D đó ta ến đổ như a :

- Chia hai vế cho 2:

“ 3 chỉ đẹp kh đè l n 2 !”

sinxcos sin 2x x 3 cos3x2(cos4xsin x) (B-2009) Phương trình tương đương với:

- PT khá phức tạp, tuy nhiên

có thể bám váo dấu hiệu có

hệ số 3 và CT biến đổi,

CT nhân a để đưa về sin, cos theo x, 3x

- Chia hai vế h 2 ta được

PT quen thuộc

Ví dụ 29 G ả phương trình: 2 cos x 3sinxcosxcosx 3sinx1 (B-2012) Phương trình tương đương với:

2

- Cũng dựa vào dấu hiệu: Có

hệ số 3 và dùng CT nhân

đô ta được PT quen thuộc

Như vậy cần ghi nhớ thêm các PT có dạng sau:

sinu 3 cosu 2sin ; 3sinv ucosu 2cosv

sinu 3 cosusinv 3 cos ; 3sinv ucosusinv 3 cosv

Bài tập tương tự: Giả á phương trình a :

31) 3 cos5x2 cos 3xsin 5x

3

x x  x 

33) 2sin2x 3 sin 2x3

34) sin8xcos6x 3(sin6xcos8 )x

35) sinxsin 2xcosxcos2x (SGKNC lớp 11-tr42)