TÍCH PHÂN luyện thi đại học

TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Phương pháp giải toán: 1... Lập bảng xét dấu chung của hàm số fx và gx trên đoạn [a; b].. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a fx dx Ví dụ 1... Dự

1

TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN

0909 230 970 108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình



Ví dụ 9 Tính tích phân

3

1 2

dxI

3

Chú ý:

Phân tích

1 0

2 0

dxI

dxI

dxI



Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân

2 5 0

dxI





3.3 Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a a

10 !! 2.4.6.8.10 256cos xdx

9

Ví dụ 2 Tính tích phân

e 1

I  x ln xdx

Giải

dxdu

v2

I  sin(ln x)dx ĐS: (sin1 cos1)e 1

I

2

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

Phương pháp giải toán:

1 Dạng 1:

10

Giả sử cần tính tích phân

b a

I   f(x) dx, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 bf(x)  0  0 



Ví dụ 10 Tính tích phân

2

2 0

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

Ví dụ 11 Tính tích phân  

2 1



Giải Cách 1  

I   max f(x), g(x) dx và  

b a

J   min f(x), g(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x)g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

+ Nếu h(x)0 thì max f(x), g(x)   f(x) và min f(x), g(x)   g(x)

+ Nếu h(x)0 thì max f(x), g(x)  g(x) và min f(x), g(x)   f(x)

4

2 0

I   max x 1, 4x2 dx

Giải

Đặt h(x)x2 14x2  x2 4x 3 Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +



2

x 0

I   min 3 , 4x dx

Giải

Đặt h(x) 3x 4x 3x  x 4 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

f(x)dx  0

b a

A   f(x)dx  B ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m  f(x) M

Bước 2 Lấy tích phân

b a

A  m(ba)  f(x)dx M(ba) B

Ví dụ 16 Chứng minh

1

2 0

2   4x dx  5

13

Ví dụ 17 Chứng minh

3 4

2 4

2 4

2 4

2

xcotxsin x

4 3x

A   f(x)dx  B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

 

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx Bg(x)dx B

a a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dxh(x)dx A

14

Ví dụ 19 Chứng minh

2 2

2007 0

2007 0

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y  f(x), x  a, x  b và trục hoành là

b a

S  f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b a

f(x) dx

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  ln x, x 1, x  e và Ox

Giải

S  f(x)g(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b a

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x)  g(x)

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)g(x) trên đoạn  ; 

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

16

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0

18

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x)   0 x a; b ,

y 0, x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

2 a y

33b

Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  y2 5,

x  3y quay quanh Oy

5



PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1 cos t sint

dt cos t

sin sint t

dt cos t



2 4 2 0

sin t

dt cos t

I x x dx

Giải:

2 2 0

1sin 2

I x x dx=

1

01

I x x xdx =  

1 2 0

1t t tdt

1

2 4 0

 =

2 5 1

dt t

 = 14 2 15

.1

1sin

24

Bài 13: Tính 2

2 sin 0sin 2

sin 21

11

11

1sin

11

01

dt I

Khi đó:





1 sin 22

sinsin

32

Bài 36: Tính

2 3 0sin

sin 41

 Đặt t 1 cos x2 dt 2 sinxcosxdx sin 2xdx

 cos x2   t 1 cos x2 2cos x2  1 2t1 1 2t3

36

Bài 46: Tính

2 4

1 sin 2

dx I

dx I

d cosx x

0 x 3

dx I

2

99

1sin

44

II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e ax

x x

46

Vậy

2 2

2 0

4sin

xdx I

1 sin

x x

I I

x

x

u e

du e dx dx

x dv

v x cos

49

Bài 1: Tính

2 0

sinsin

0

sinsin

50

Ta có:

1 01

1 s inxln

0

sinsin

4sinsin

2 2 -2

-1

x dx

 C=

2 0

ln

e x dx x

 C*=

2 3 2

4 2 6

 C=

2

2 2 0

sin 2(1 cos )

x dx x

16 -x dx

ln 2 0

1

1-x x

e dx e



3

2 2

ln x dx x

3x 2x

dx x

11

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox

11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0,

x=1 khi nó quay quanh:

3 ln1

sin

4sin 2 2 1 s inx cos

ln x

x



A07 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ye1x và y1e xx

B07 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: yxln ,x y0, xe

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi H quay quanh trục Ox

sin 2 cos

1 cos

dx x



3 2 2

0

1 2 sin

1 sin 2

x dx x

x x dx



A02 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x2 4x3 , yx3

B02 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

ln 2 e 1

Bài 4 Tham khảo 2005 

exdxx

I1

2 3

3dxxx

x

Bài 7 CĐ GTVT – 2005 Ix x dx

1 0

2 5

105

Bài 8 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005  

2 0

3

5sin



xdxe

KQ:

3 2

3.e 534





55

Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 I x x5dx

3 0

3

.1

sin 2 1



dx x

x

ln 22

Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005 

0 1 2

42xx

xI

1 2

ln

1e

0

3 3 1

1

KQ: 4615

Bài 14 CĐ Bến Tre – 2005  

2

0 sin 1

3cos



dxx

2

cos2sin

sin

2cos.cos2sin

sin





xx

xdxx

J

xx

x

xdxI

KQ:

I ln 2

3J

I    

2 0

2

2 3

4

942

3

1x

dxI

2004 2004

2004

cossin

sin



dxxx

x

4



56

Bài 22 CĐSP KonTum – 2005   

2 0

3

cos1

sin4



dxx

x

Bài 23 Tham khảo 2006

6 2

dxI

dxI

ln 22



(Đổi biến t 1 x  2, từng phần) Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 2  

2 1

I x 1 cos x dx



18





57

Bài 36 CĐ KTKT Đông Du – 2006

4 0

Bài 37 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006

ln 2 2x x 0



Bài 38 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006

3 2 0

2

cos12



xdxx

3 2

1dxxe

Ixln 1 x dx KQ: 1

ln 22



Bài 48 CĐ Xây dựng số 2 – 2006

2 1

I x cos x sin x dx KQ: 5

4

Bài 50 CĐ GTVT III – 2006

Bài 57 CĐSP Trung Ương – 2006

2 0

I x cosxdx



224

dxI

Bài 63 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 2  2 3

dxI

Bài 72 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx v y2 à  2 x KQ: 2 1

60

Bài 76 CĐ GTVT – 2007 I =

3 2 0

x 2dx

2 1 3

xdx x

  Dự bị 2 A_08

2 0

1

x dx x





Bài 88 Dự bị D_08

1 2

 + 2

2 0

2211

1

dx x

x

212

t t

Đổi cận

t t t

dt t

t t t dt

t

t t t

2

4 2

2

2 3 2

2

2432

12432

1)1)(

22(2

ln4

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =

2

3 0

s inxdx(sinx + cosx)

dx dx

tan

4

122

4

x dx

1 1

62

= ln(e3x + e2x – ex + 1) ln 2 ln 2

0  x0 = ln11 – ln4 =

14 ln

32

1()2

1()

1

1

3 3

1

2 2

3

1

2

2 2

t

dt t

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân :

2 3

2 1

112

x du

x dx

dv

v x

1

2ln( 1)

ln 2 ln 5 1

x dx

dx

cos.sin



x x

dx x

x x

dx

cos.2sin

8cos.cos

x x

dt t t

t

t

dt t

t t

4 3

3

3

2 4

6

tan2

1tan

ln3tan2

3tan4

1)

3

3

(

133

 

3

4

4 2

cos

2 2

cos.2sin.4

63

C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n sau:

2 2 0

2

4

dx x

dx J

64

Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân:

2 3

3 1

BÀI TẬP TIẾP THEO…

Bài 1 Tính các tích phân sau

xdx

2 x 5

dxx

1 sin x

dxcos x





5 2

3 2 2

x dx

x 2x 1

2 2 1

x dx(x2)

dxx(x 1)

3 tan xdx



/2 0

sin x cos x

dxsin x cos x

1dx

e 1

ln 2 2x x 0

edx

ln x

dxx(ln x 1)

xe dx

1 0

ln xdxx

3 2 6

ln(sin x)

dxcos x

xdx(1 x )

1 0

xdx2x 1





3 2

2 0

dx

1 x

2 2 2

2 0

xdx

x xdxx



3

2 3 3

xdx

e sin 2xdx



e 3 1

6

2 0

TÍCH PHÂN CÓ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1 Tính các tích phân sau

2 4 dx

Bài 2 Tính các tích phân sau

cos x cos x cos xdx

ln x dx



TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1 Tính các tích phân sau

dxsin x cos x

dxsin x cos x





Bài 2 Tính các tích phân sau

1 sin 2x cos 2x

dxsin x cos x

tan xdxcos x 1 cos x

sin xdxcos x

dxsin x





2 0

sin x

dxsin x cos x





Bài 4 Tính các tích phân sau

dxcos x

1

x 1dx

xdx(x 1)

9 2 3 2

x dx

x 1



2 x  2 x

3 1

x x 1dx

2

2 0





3 0

1dx

4 x

4 1

1 4x

dxx(1 x )

x (1 x )

Bài 4 Tính các tích phân sau

x edx(x2)

1

3 x 0

e 1dx

1 2 0

0

tan x 1

dxtan x 1

1dxcos x



3 3 6

sin 2x

dx(2 sin x)





2 0

cos x

dxcos x 1

sin x cos x

dxsin x cos x 1

0

sin x sin x

dxcos 2x





2 3

1

dxsin x 1 cos x



Bài 6 Tính các tích phân sau

1 6x 3x dx 



………

Phương pháp tính tích phân CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ VÔ TỶ

TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )

- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )

- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )

- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi

3 Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một

số yếu tố sau :

- Biến đổi lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA



dxx

xx

b ĐH, CĐ Khối B – 2005 dx

x

xx

I 

2

0 1 cos

cos2sin

dxx

1+sinx 1 s inx

x c

2

23

2

xdx I

72

b CĐ KTKT Đông Du – 2006

4 0

sinx-cosx+3 sinx-cosx+3

c c

73

Đặt :

1dt=-3sin3xdx sin3xdx=-

dx sin x cot gx

ossin

dx x

sin 2

4 os

x dx

0

1 2 sin

1 sin 2

x dx x

( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan

sin 3

1 2 os3x

x dx c

x I

2 cos2

sinsin os

x dx

0

sin cossin os

4 sin

s inx+cosx

xdx I

s inxcos

x

dx x

1 s inxln





4 2

0

sin cossin os

's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'

sin s inx cot

sin

dx x

1 sin 2 sinsin

dx x

15sin 3 cos 3x xdx







4sin 2 2 1 s inx+cosx

x

dx x

2004 2004 0

sin

x dx

2 Rèn luyện tốt kỹ năng phân tích hàm số dưới dấu tích phân , nhất là kiến thức về căn thức

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

2f(x)=ax

90

 

1 2

- Nói chung cách giải này dài Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn )

* Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1

- Học sinh tự giải theo hướng dẫn

- Sau đây là cách giải nhanh

93

b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :

' 2 '

dy I

2 2

b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t

b.3 Tính vi phân hai vế : dx= ' t dt  và đổi cận

94

' '

c x xdx

2 0

2

2

5 4

dx e

x

  

5 0

0 1

f x x  dx

GIẢI

dx b

x

x x

11

x dx

* Chú ý :

101

a Một học sinh giải cách này , các em tham khảo

Nhân liên hợp ta được :

1arctanu 2 arctan

0

du I

x dx

(1 x ) dx 

Giải

dx x(1  x )

x dx



7 3 0

1 1

x dx x