Phương trình lượng giác luyện thi đại học

Phương trình lượng giác ñóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh phổ thông ñặc biệt là các em học chương trình toán 10 và 11.. Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

Trang 2

Lời nói ñầu

Chuyên ñề về phương trình lượng giác là chuyên ñề luôn chiếm một ñiểm trong tất cả cả ñề thi tuyển sinh ñại học cao ñẳng hàng năm Nó là một phần không thể thiếu ñược trong lượng kiến thức của toán học phổ thông Phương trình lượng giác ñóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh phổ thông ñặc biệt là các em học chương trình toán 10 và 11

ðối với chương trình giáo dục hiện hành chuyên ñề về công thức lượng giác nằm ở cuối chương trình học lớp 10 Và chuyên ñề về phương trình lượng giác nằm ở ñầu tiên của chương trình học toán 11 Do ñó quyển sách ñược viết dựa trên hai phần này như một luồng kiến thức gắn kết của hai chương trình Các em học sinh học chương trình lớp 10 và 11 ñều có thể sử dụng ñược và các em luyện thi ñại học vẫn hoàn toàn có thể áp dụng ñể ôn thi

Với lượng kiến thức phong thú về lượng giác ñược giới thiệu trong quyển sách Nó là nguồn tài liệu

bổ ích phục vụ cho công việc tự học của các em học sinh Ngôn ngữ ñược sử dụng trong sách rất giản dị và

dễ hiểu Tác giả ñã cập nhật những kiến thức và phương pháp mới nhất về lượng giác ñể cho vào chuyên ñề này

Tập tài liệu ñược chia nhỏ thành những chủ ñề riêng biệt và cuối mỗi phần còn có những luồng kiến thức ñược tổng hợp từ nhiều cách giải trước ðiều này rất quan trọng cho sự phát triển tư duy của học sinh Những dạng toán, những ñề thi ñiển hình và có nhiều tư duy ñược giới thiệu ñầy ñủ Các em học sinh học chương trình nâng cao và cơ bản ñều dùng ñược một cách thiết thực

Phần II: Phương trình lượng giác

Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản

Chủ ñể 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một giá trị lượng giác

Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx

Chủ ñề 4: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai, bậc ba ñối với Sinx và Cosx

Chủ ñề 5: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng và phản xứng ñối với Sinx và Cosx

Chủ ñề 6: Phương trình lượng giác ñưa về phương trình tích

Chủ ñề 7: Phương trình lượng giác biến ñổi lượng giác

Chủ ñề 8: Phương trình lượng giác tổng hợp

Chủ ñề 9: Phương trình lượng giác qua các kỳ thi tuyển sinh

Trong ñó, phần I dành cho các em học sinh học chương trình lớp 10 và phần II dành cho các em học sinh học chương trình lớp 11 Việc học tập thật vững hai luồng kiến thức và áp dụng có ý nghĩa to lớn ñến việc giải toán sau này

ðặc biệt hơn, trong cuối mỗi phần Thầy ñều có phần bài tập tự luyện dành cho chúng ta tự giải Những ñáp án của nó thầy ñã kết xuất vào cuối bài dành cho chúng ta tham khảo kế quả học tập của mình Những dạng bài tập này thầy ñã hướng dẫn giải cụ thể trên website của thầy Cũng xin lưu ý rằng, những Video này chỉ những người thầy cho phép xem mới xem ñược Do ñó tính bảo mật của những Video này chỉ xem ñược cho chính chủ Thầy thực hiện ñiều này nhằm giúp cho mỗi khách hàng sở hữu quyển sách

Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ñến quyển sách này ñều có biết những Video Tutorial của tác giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com Do ñó quyển sách là một sự kết hợp tuyệt vời dành cho quý ñộc giả sở hữu theo ñúng chủ nhân của nó Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ñúng gốc sẽ ñược hổ trợ những Video Tutorial hướng dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ñúng cho chủ nhân Do ñó, tác giả khuyên bạn nên ủng hộ chính sách sở hữu trí tuệ mà website ñưa ra Bởi trong những bài tập mà có hướng dẫn giải khó hiều Tác giả ñều cung cấp link ñến video hướng dẫn cụ thể Cũng xin lưu ý rằng, những Video Tutorial này không ñược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp link cho chính chủ nhân ðiều này thật quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ñúng trình tự mà tác giả mong muốn

Thêm vào ñó, những sản phẩm hoặc những lượng kiến thức mới chúng tôi sẽ cung cấp miễn phí những bản vá lỗi cho chính chủ

Quyển sách ra ñời là sự kết hợp của nhiều yếu tố Tuy ñã cố gắng nhiều nhưng cũng không tránh khỏi những sai sót Tác giả thực sự cám ơn những ñóng góp của quý ñộc giả ñể quyển sách càng ngày càng thiết thực hơn cho cuộc sống học sinh Mọi chi tiết liên hệ tác giả, quý vị gửi về ñịa chỉ email: quoctuansp@gmail.com sẽ ñược hướng dẫn giải ñáp mọi thắc mắc liên quan Trâng trọng!

Trang 3

Trang 4

Một số công thức lượng giác

Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:

2 2

2 1

tan

x

=

• Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x

• Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x

Công thức lượng giác

1 Công thức cộng:

cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tan(a – b) = tan tan

1 tan tan

−+

3 Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

a

−

=+

5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo tan

t t

+ cosx =

2 2

11

t t

− cotx =

212

t t

−

6 Công thức biến ñổi tổng thành tích

cos a cos b 2 cos a b cos a b

2

Trang 5

Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình lượng giác cơ bản sin x=a

Phương pháp:

Nếu a >1: Phương trình vô nghiệm

Nếu a ≤1: ðặt a=sinα , phương trình trở thành

2sin sin

(trong ñó arcsin a ñược gọi là hàm ngược của sin a )

+ Trong nhiều trường hợp, thì x và α là những cung khác nhau ta vẫn giải hoàn toàn tương tự như vậy

* Các trường hợp ñặc biệt cua phương trình lượng giác sin x=a

Nếu a >1: Phương trình vô nghiệm

Nếu a ≤1: ðặt a=cosα , phương trình trở thành

2cos cos

(trong ñó arc cos a ñược gọi là hàm ngược của cos a)

+ Trong nhiều trường hợp, thì x và α là những cung khác nhau ta vẫn giải hoàn toàn tương tự như vậy

- Các trường hợp ñặc biệt của phương trình lượng giác cos x=a

2

ℤ + cosx= ⇔ =1 x k2π (k∈ℤ)

+ cosx= − ⇔ = +1 x π k2π (k∈ℤ)

Trang 6

3 Phương trình lượng giác cơ bản tan x=a

2

x≠ +π kπ k∈

ℤ ðặt a=tanαPhương trình trở thành:

π π π

Trang 7

Vậy phương trình có bốn họ nghiệm 3 2 ( )

223

* Chú ý: ðối với cung sin, tan và cot Khi có dấu trừ phía trước chúng ta hoàn toàn có thể ñưa dấu

trừ vào trong ðối với cùng cos không ñược ñưa vào, mà ta phải sử dụng cung bù nhau hay nói cách khác là muốn ñưa dấu trừ vào trong cung ta phải dùng cung pi trừ cho cung ñó ðể hiểu hơn về vấn

ñề này em cần ñọc thêm các giá trị của góc cung ñặc biệt

Bài tập 4 Giải phương trình : 2 cos2 1 sin

Bài tập 5 Giải phương trình ( )( ) 2

2 sinx−1 2 sin 2x+ = −1 3 4 cos x

Hướng dẫn giải Phương trình ñã cho tương ñương với

8sin cos 4 sin cos 2sin 4 4 cos 0

8sin cos 4 sin cos 2sin 4 1 cos 0

8sin cos 4 sin cos 2sin 4sin 0 4sin cos 2 sin cos sin 2sin 0

Trang 8

( ) ( )

sin 0sin 0

2 cos 2 sin 1 2 sin 1 0

4 sin cos 2 cos 1 2 sin 0

x x

2

x x

k x

Bài tập 7: (Dự bị A, 2008): Giải phương trình sin 2 sin 2

Trang 9

Bài tập 8: Giải phương trình: x ) 2sin x tanx

4(sin

sinsin cos 2 sin

cossin 2 sin cos 1sin cos

cossin sin cossin cos

cossin cos

4sin

1cos

ðiều kiện: sinx≠0(*) Khi ñó:

Phương trình ñã cho tương ñương với:

Trang 10

⇔2sinxcosx−sinx+2cos2 x−3cosx+1=0

⇔sinx(2cosx−1) (+ cosx−1)(2cosx−1)=0

⇔ (2cosx−1)(sinx+cosx−1)=0 ⇔

2

1cos

π

x x

4sin2cos

−+

−

x x

−

2

12

sin

12sin0

12sin2sin

2 2

x

x x

x

312sin

2

sin

2

4sin

2

cos

++

−

x x

x

x ⇔ cos2x−sin4x= 3(sin2x+cos4x)

⇔ cos2x− 3sin2x= 3cos4x+sin4x

−

=+

+

−

=+

π π π

26

432

26

432

k x

x

k x

π π

ðiều kiện:cos x2 ≠0

Phương trình ñã cho tương ñương với

3 cos sin 0

26cos 2 cos

2 cos 2 3 cos sin

Trang 11

So sánh ñiều kiện ta thấy phương trình có nghiệm là

tan 1 sin 1 2 sin 2 3 sin cos sin

tan 1 sin 3 3 sin cos sin 6 sin

tan 1 sin 3cos 2 3 cos sin sin

tan 1 sin 3 cos sin cos 0

Bài tập 14: Giải phương trình 2

2sin cos cos 2 3sin cos 1 0

2 sin 1 sin cos 1 0

26

2 sin tan 1 tan 3

Trang 12

Bài tập 16: Giải phương trình

sin 2 cos sin cos 1 0

sin 1 2 cos sin 1 0

cos

22

3

k x

Trang 13

Bài tập luyện tập nâng cao có ñáp án

Giải các phương trình sau

Trang 14

Chủ ñề 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba, ñặt ẩn phụ ñối với một hàm số lượng giác

Phương pháp: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một hàm số lượng giác là dạng toán

ta tiến hành ñặt ẩn phụ rồi quy phương trình về phương trình bậc hai, bậc ba sơ cấp Giải phương trình này theo ẩn phụ ðưa thành những phương trình lượng giác cơ bản mà ta ñã học ở chủ ñề 1 Một số lưu ý:

+ Nếu ñặt t =sinx hoặc t=cosx thì ñặt ñiều kiện t ≤1

+ Nếu ñặt t=tanx hoặc t=cotx thì không cần ñiều kiện cho t mà cần ñiều kiện cho x

+ Dĩ nhiên trước khi giải phương trình dạng này ta cần phải ñặt ñiều kiện khi phương trình có chứa mẫu, căn thức… mà ta ñã học

Bài tập mẫu Bài tập 1 Giải phương trình sau: 1 2 2 5

4 0cos cos

Trang 15

Bài tập 3.Giải phương trình 2

22

π π π

sin 2x+4 cos x=3cosx

( )

sin 2 4 cos 3cos sin 2 4 cos 3cos 0 sin 2 cos 3 0

22

Trang 16

Bài tập 6 Giải phương trình ( )3 ( )

sinx+cosx − 2 sin 2x+ +1 sinx+cosx− 2=0

63

Trang 17

Bài tập 9: Giải phương trình sin 3 2

cotcos 3 2 cos

x

+

ðiều kiện: sinx≠0, cos 3x+2 cosx≠0

Bài tập 10: Giải phương trình 2 ( 2 ) 3

sin cos 2x x+cos x tan x− +1 2 sin x=0

Hướng dẫn giải ðiều kiện cosx≠0

6sin

26

Trang 18

2 3

ðiều kiện : s in2x≠0

sin 2 4 cos sin

Nghiệm của phương trình ñã cho là ,

Trang 19

ðiều kiện: sin 2x≠0

21

1 sin 2

1 sin cos2

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

Bài tập 14: Giải phương trình

Bài tập 16: Giải phương trình: 2 ( 2 ) 3

sin cos 2x x+cos x tan x− +1 2 sin x=0

Hướng dẫn giải

Trang 20

ðiều kiện: cos 0 ( )

sin

2

26

Bài tập 17: Giải phương trình 2

26

Bài tập tự luyện cơ bản

2 sin x+cos 2x−cosx=0 6) 2cos2x – 3 sin2x + sin2x = 1

7) 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cotx – 3 = 0 8) 2tanx + 3cotx = 5

9) 4sin3x + sịn5x – 2sinx.cos2x = 0 10) 3sin2x + 4 cosx - 4 = 0

Trang 21

11 sin2x + sin22x = sin23x 12 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0

13 cos 3x – cos 5x = sinx 14 2sin6x + 2cos6x +sin4x = 0

15, -1 + 4 sin2x = 4 cos4x

Bài tập luyện tập nâng cao có ñáp án

Trang 22

Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx

Ta có biến ñổi: 3 cosx+sinx+ 2 = ⇔0 3 cosx+sinx= − 2

Chia hai vế cho ( )2

2

3 + =1 4=2: Ta có

Trang 23

11

212

3 sinx−cosx= ⇔1 3sin 1cos 1

2 x−2 x=2 sin cos cos sin sin

Trang 24

Tồn tại góc : cos 2, sin 5

ðây là phương trình lượng giác bậc nhất ñối với sinx và cosx cách giải hoàn toàn tương tự

như các bài trên

Bài tập 6: Giải phương trình: 12 cos 5sin 5 8 0

ðiều kiện : 12 cosx+5sinx+ ≠14 0

Trang 25

Trong ñó sin 12;sin 9

4(sin 3 cos )sin cos

cos sin sin cos 0

sin cos sin 2

Trang 26

Hướng dẫn giải Phương trình ñã cho tương ñương với:

2 sin cosx x−cosx− −1 2 sin x +3sinx− =1 0

(2 sin 1 cos)( sin 2) 0 cos 2 sin 2 0 ( ) 2 sin 1 0

4 sin cos 3 sin 4 2 cos 3 4 1 2 sin cos 3 sin 4 2 cos 3

4 8sin cos 3 sin 4 2 cos 3 1 2 sin 2 3 sin 4 2 cos

Trang 27

Bài tập 12: Giải phương trình : cos 11 cos 11 sin 0

Bài tập: 13: Giải phương trình ( ) 1 3

cot 3 tan 1 2 sin

cos 3sin 1 2 sin sin 3 cos

1 4 sin 1 2 sin sin 3 cos

1 2 sin sin 3 cos 1 0

Trang 28

Hướng dẫn giải Phương trình tương ñương với :

2

2 3 sin cos 2 cos 1 1 3 sin 3cos 0

3 sin 2 cos 1 2 cos 1 cos 2 0

2 cos 1 3 sin cos 2 0

2

x x

cos 3x=4 cos x−3cosx=cosx 4 sin x−1 , 2 cos 2x− = −1 1 4 sin x

Nên phương trình ñã cho tương ñương với

7

26

Trang 29

Bài tập 17: Giải phương trình

2 2

ðiều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ (k∈ℤ)

Trang 30

2

25

22

23

Trang 31

2 sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 3 cos 2

sin 3 sin sin 3 cos 3 cos 3 cos 2

5 cos sin 3 sin 2 cos 2

2 cos 5 cos 2 sin 2 sin 0 2 cos 1 cos 2 sin 2 cos 1 0

2 cos 1 cos sin 2 0

21

3cos

sin cos 2 cos sin cos

sin cos 2 cos 1 0

sin cos cos 2 0

Hướng dẫn giải

Trang 32

2

2 cos 6 cos 4 3 cos 2 sin 2 3

4 cos 5 cos 2 sin cos 2 3 cos

cos 2 cos 5 sin 3 cos 0

2cos 0

1 sin 2 2 3 sin 3 2 sin cos 0

2 3 sin 3 2 sin 1 sin 2 cos 0

2 sin 1 3 sin 1 cos 2 sin 1 0

2 sin 1 3 sin cos 1 0

267

6

23

Trang 33

Bài tập tự luyện

Giải các phương trình sau:

1, cos 2x+sin 2x= 2 2, cos x − 3 sinx = − 1

3, 2 sin 3x−cos 3x=1 4, sinx+2 sin 2x= +3 sin 3x

5, 3 cosx sinx − = 2 6, 3sin3x − 3 cos9x 1 4sin 3x = + 3

x x

11, 2sin15x + 3cos5x + sin5x = 0 12, (cos 2 - sin 2 ) - sin - cosx x x x+ = 4 0

13, cosx - 2sinx.cosx2

= 3 2cos x + sinx -1

14,

2

1+ cosx + cos2x + cos3x 2

= (3 - 3sinx) 2cos x + cosx -1 3

Trang 34

Chủ ñề 4: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai, bậc ba ñối với Sinx và Cosx

Dạng 1: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai ñối với sinx và cosx

d =d =d x+ x thì vẫn có thể chia hai vế cho cos x với biến 2

ñổi phù hợp với công thức lượng giác

x = + Tiếp ñến ta cũng có thể ñưa phương trình về phương trình bậc hai theo tan x

như trong phương pháp giải loại phương trình này

+ Xét cosx=0: Phương trình trở thành: sinx=0 (Vô lý)

+ Xét cosx≠0: Chai hai vế cho 2

cos x : Phương trình trở thành:

( ) ( )

2

sin sin cos cos

Trang 35

Vậy phương trình có hai họ nghiệm 4 ( )

3arctan

2 sin - 5sin cos - cos 2 0

2 sin - 5sin cos - cos 2 cos sin 0

2 sin - 5sin cos - cos 2 cos 2 sin 0

4 sin 5sin cos cos 0

+ Xét cosx=0: Phương trình trở thành 4 sin2x= ⇔0 sin2 x= ⇔0 sinx=0(Vô lí)

+ Xét cosx≠0: Chia hai vế cho cos2x

2

sin sin cos cos

44

Bài tập 3: giải phương trình sin4x−cos4x=2 3 sin cosx x+1

sin cos sin cos 2 3 sin cos 1 sin cos 2 3 sin cos sin cos 0

2 3 sin cos 2cos 0 2 3 sin cos 2cos 0

Trang 36

Bài tập 4: Giải phương trình 2 1 sin 2 4 sin 1 1

ðiều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ (k∈ℤ)

2 sin 1 0

526

cos 2 3 sin 2 4 sin 1

4 sin 2 sin 2 3 sin cos 0

cossin cos

Trang 37

Bài tập: 5: Giải phương trình

3 sin x− +1 3 sin cosx x+cos x=0 2. 4 2 2 4

3cos x−4 sin xcos x+sin x=0

25sin x+15sin 2x+9 cos x=25 6. 2 2

4 cos x−6 sin x+5sin 2x− =4 0

3 cos x+2 sin cosx x− 3 sin x− =1 0

sin 2x−2 sin x=2 cos 2x

8 2 cos x+2 2 sin xsin 3x−6 2 cos x− =1 0

Lưu ý: các dạng toán này hoàn toàn tương tự như hai bài tập mẫu thầy ñã thực hiện một chú

ý duy nhất là ta sử dụng thêm công thức nhân ñôi: sin 2x=2 sin cosx x

Dạng 2: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc ba ñối với sinx và cosx

Phương pháp: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc ba ñối với sinx và cosx khí nhìn hơn phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai ñối với sinx và cosx Tuy nhiên về cách giả cũng khá giống với cách giải phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai ñối với sinx và cosx

Do vậy phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc ba ñối với sinx và cosx thường ñược ra trong các ñề thi tuyển sinh hơn dạng phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai nhiều Và ña phần người ta ra dạng toán này dưới nhiều cấp ñộ khác nhau

Nhận dạng: Nếu trong mỗi số hạn của phương trìnhn mà xét về cấp của mỗi số hạng ñều là bậc ba ñối với sinx và cosx Hoặc mỗi số hạn ñều là bậc lẽ và cách nhau hai bậc Khi ñó ta nhận dạng nó là phương trình ñẳng cấp bậc ba ñối với sinx và cosx

Cách giải:

Bước 1: + Xét cosx=0 và xem xét nghiệm của phương trình

Bước 2: + Xét cosx≠0, tùy thuộc vào cấp của bài toán mà ta có thể chia hai vế cho cos x

hoặc 3

cos x và cũng ñưa phương trình về phương trình bậc ba ñối với tan x

Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác loại này

2 2

Trang 38

Lời tựa: Ta có nhận xét rằng: Mỗi số hạng ñầu là bậc ba ñối với sinx và cosx nên ta nhận

phương trình ở dạng ñẳng cấp bậc ba ñối với sinx và cosx Và giải hoàn toàn giống ở

phương pháp mà thầy ñã nêu

cos x−4 sin x−3cos sinx x+sinx=0

ðề thi tuyển sinh ðại Học Ngoại Thương

Hướng dẫn giải + Xét cosx=0: Phương trình trở thành: 3

63

x x

Trang 39

sin x tanx+ =1 3sinx cosx−sinx +3 8, 3

sinx−4 sin x+cosx=0

tan sinx x−2sin x=3 cos 2x+sin cosx x

Chủ ñề 5: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng và phản xứng ñối với Sinx và Cosx Phương pháp:

Dạng I: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng ñối với sinx và cosx

Nhận dạng: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng ñối với sinx và cosx là phương trình mà khi ta thay sinx bởi cosx và cosx bởi sinx thì bản thân phương trình ñó không ñổi

Cách giải:

Do tính ñối xứng của phương trình nên ta hoàn toàn có thể ñưa phương trình về phương trình mà chỉ

có những cụm sinx+cosx và sin cosx x

Từ ñây ta ñặt t=sinx+cosx ñiều kiện t ≤ 2

Suy ra:

21sin cos

Phương trình ñã cho tường ñương với ⇔ +1 cosx+sinx+sin cosx x=2

cosx sinx sin cosx x 1 0

Ta ñặt : t=cosx+sin ; x t ≤ 2

Bình phương ta ñược :

Trang 40

( )2

2 2

t t

Bài tập 2: Giải phương trình sau:

sin3 x + cos3 x = sin 2 x + sin x + cos x

sin cos sin 2 sin cos

sin cos sin sin cos cos 2sin cos sin cos

sin cos 1 sin cos 2 sin cos sin cos

Định dạng
Số trang	84
Dung lượng	1,69 MB