phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu THPT Tống Duy Tân – Thanh Hóa I... THPT Chuyên Lào Cai Giải phương trình: HD: Biến đổi đến sin 2 sin II.. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu THPT Tống Duy Tân – Thanh Hóa

I ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN



HD: Đưa về cos 4 cos 2

6

VD2 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:

x x   x    x 

HD: Đưa về: 2

7sin x2sinx 9 0

VD2 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:

2

2cos x3cosx2cos3x4sin sin 2x x

HD: Đưa về 2

2cos xcosx0

VD3 (THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh) Giải phương trình:

x



HD: Đưa về: sin 2 cos

3

VD4 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình:

32cos x sin 2xcos 2 tanx x  3 cos xsin x

HD: Đưa về: sin 2 3

x 

VD5 (THPT Hậu Lộc 4) Giải phương trình: 2cosx1 sin xcosx1

VD6 (THPT Sầm Sơn) Giải phương trình sin 3 cos 3 2 2 cos 1 0

4

x x x  

HD: Đặt ẩn phụ tcosxsinx

VD7 (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:

sin cos 2x xcos x tan x 1 2sin x0

HD: 2

2sin xsinx 1 0

VD8 (Vĩnh Phúc) Giải phương trình: 2 3 sin 2 x3sinxcos 2x3cosx

HD: Đưa về: 2

VD9 (Bắc Ninh) Giải phương trình: 4sin 3xsin 5x2sin cos 2x x0

HD: Biến đổi đến sin 3x3 2cos 2 x0

VD10 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu) Giải phương trình:

2 2cos x2 3 sin cosx x 1 3 sinx 3 cosx

HD:   2 

sinx 3 cosx 3 sinx 3 cosx 0

VD11 (THPT Quốc Học Huế) Giải phương trình:

2

sin 2x3 2 cosx2sin x 3 sinxcosx

HD: 2cos2 x3 2 cosx 2 0

VD12 (THPT Thành Nhân) Giải phương trình: 10sin2 3 3sin 2 cos 2 3



HD: Biến đổi đến 2sin 2xcos 2x 2

VD13 (THPT Thành Nhân) Giải phương trình: 3 sin 2xcos 2x 4 3 cos x 3 sinx

cosx 3 sinx 3 cosx 3 sinx  2 0

VD14 (THPT Chuyên Lào Cai) Giải phương trình:

HD: Biến đổi đến sin 2 sin

II BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

VD1 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:  2   

3 2cos xcosx 2 sinx 3 2cos x 0 HD: Đưa về  3 2sin x 3 sinxcosx0

VD2 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: 3sin4 x2cos 32 xcos3x3cos4 xcosx1

cos 2x 2 cos 2xcosx 3 0 VD4 (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải phương trình:

 2   2 

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x

HD: Biến đổi thành: sinxcosx1 sin x1 cos x0

VD5 (THPT Ba Đình) Giải phương trình cos cos 3 1 2 sin 2

4

x x   x 

VD6 (THPT Hà Trung) Giải phương trình:

4

x x  x   x

HD: Đưa về 2cosxcos 3x 3 sin 3x0

VD7 (Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sin tan 2x x 3 sin x 3 tan 2x3 3

HD: Đưa về: tan 2x 3 sin  x 3 0

VD8 (Vĩnh Phúc) Giải phương trình: cos 4x2sin 6x2 3 sin 3 cosx xcos 2x

HD: Đưa về 2sin 3xsinx 3 cosx2cos 2x0

VD9 (THPT Cù Huy Cận) Giải phương trình: 2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3

4

x  x  x x

HD: Biến đổi về: 2sinx1 3cos xsinx20

VD10 (THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Giải phương trình:

5

2

x    x x x

VD11 (THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Giải phương trình:

VD12 (Chuyên Bắc Ninh) Giải phương trình: 2 cos2 2 cos 4sin cos 2 2 0



HD: Biến đổi về sinx1 cos xsinx 1 0

VD13 (THPT Thuận Thành số 1) Giải phương trình: cos cos 3 1 2 sin 2

4

x x   x 

VD14 (THPT Đức Thọ) Giải phương trình: 3  

4sin x2cosx sinx 1 4sinx 1 0 HD: Biến đổi về 2cosx1 1 sin 2  x0

VD15 (THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh) Giải phương trình:

sin 4x2cos 2x4 sinxcosx  1 cos 4x

HD: Biến đổi đến: sinxcosx2cos 2 sinx x 1 0

VD16 (THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên) Giải phương trình:

cosxsinxcos 2xsin 2x 1 cos3x

HD: Biến đổi về: sinx1 2sin x2cosx2sin 2x0

VD17 (THPT Long Mỹ) Giải phương trình:

2

2cos 2x2cos 2x4sin 6xcos 4x 1 4 3 sin 3 cosx x

HD: 2sin 3xsinx2cos 3x 3 cosx0

VD18 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: 1 2cos 2 x 3 sinxcosx0

HD:  3 sinxcosx 3 sinxcosx 1 0

1 sin sin 2 cos sin 2 2 cos

4

sin 2x sinx1 1 2sin x2sin x 0 VD20 (THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:

4

HD: Biến đổi đến 2cosx3 sin xcosx 1 0

VD21 (THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:

3 tan x tanx2sinx 6cosx0 HD: Biến đổi đến    2 

1 2 cos x 3 tan x 0 VD22 (Chuyên Đại học Vinh) Giải phương trình:

tanx1 sin xcos 2x 2 3 cosxsinx sinx

HD: Biến đổi đến sinxcosx2cos 2x 1 0

VD23 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình: 3

2sin xcos 2xcosx0 HD: Biến đổi đến: sinxcosx1 cos x2 sin xcosx0

4sin 2 sinx x2sin 2x2sinx 4 4cos x HD: Biến đổi đến: 2sinx1 2sin 2 x2sinx0

VD25 (THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải phương trình:

HD: Biến đổi đến: sinxcosx sinx 3 cosx 1 0

VD26 (TT Bồi dưỡng Hoa Sen) Giải phương trình:

sin 4x 2 cos3x4sinxcosx

HD: Biến đổi đến: 2sinx1 cos3 xcosx20

VD27 (THPT Nguyễn Trung Thiên) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0

6

HD: Biến đổi đến: sinx 3 cosxsinx20

VD28 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:

3 2cos xcosx  2 3 2cosx sinx0

HD: Biến đổi đến: cosx 3 sinx 3 2sin x0

VD29 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:

3sin 3x 2 sinx 3 8cos x 3cosx

HD: Biến đổi đến: 3cosx2 2sin 2 x 1 0

VD30 (THPT Tống Duy Tân) Giải phương trình:

sin 2xcos 2xsin cosx x 1 2cos x sinxcosx

HD: Biến đổi đến: 2cosx1 sin xcosxsin cosx x0

VD31 (THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình:

sin 3x 1 cosx cos 2x sinx2cosx sin 2x

HD: Biến đổi đến: cosxsinxcosxsinx 1 0

VD32 (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Giải phương trình:

3 sin 2xcos 2x 1 3 sinx3cosx

HD: Biến đổi đến: 2cosx1  3 sinxcosx20

VD33 (THPT Trần Quốc Tuấn) Giải phương trình: 2

4cos x3sinx 3 cosx3

HD: Biến đổi đến:  3 sinxcosxcosx 3 sinx 30

VD34 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: 4sin 3 tan

3

HD: Biến đổi đến:  3 sinxcosxcosx 3 sinx 30

HD: Biến đổi đến: 2cosx1 tan  x 30

VD35 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải phương trình: cos3x2sin 2xcosxsinx 1 0

HD: Biến đổi đến: 2sin 2x1 sin x 1 0

III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:

4

3 4 cos 2 8sin 1 sin 2 cos 2 sin 2

HD: Đưa về cos 2xsin 2xcos 2x0

VD2 (THPT Bỉm Sơn) Giải phương trình: 1 2 cos sin 





4

x   k 

VD3 (THPT Thuận thành số 1) Giải phương trình: 1 cos 2 sin 2 cos cos 2

cos

1 tan

x x



HD: Đưa về: cosxsinxcosxsinx 1 0

VD4 (Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sin 2 cos 2 5sin cos 3 0

2 cos 3

x



HD: Biến đổi đến: 2sinx1 cos xsinx20

VD4.(THPT Ngô Gia Tự) Giải phương trình: 1 

6

x x x x VD5 (THPT Mai Anh Tuấn) Giải phương trình: 2 cos 1 sin 4

2sin 2 cos sin

x





VD6 (Chuyên Lý Tự Trọng – Cần thơ) Giải phương trình: 5 cos 2 2 cos

3 2 tan

x

x x

cosx3  sinx2

VD7 (THPT Thuận Thành số II) Giải phương trình:

3

2 cos 2 cos sin 2

2 1 cos 1 sin cos 1

x



HD: sinxsinx1 cos xsinx0

VD8 (THPT Sầm Sơn) Giải phương trình: 12 12 15cos 42

x

HD: cos 4 1

2

x

VD9 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải phương trình:

2sin 1 cos 2 sin 1

3 2 cos

3 sin sin 2

x



HD: Biến đổi đến 2sinx1 cos 2 x0

VD10 (THPT Phúc Trạch – Hà Tĩnh) Giải phương trình:

1 cos 2 sin 2   

2 sin 3 sin 1 sin

1 sin

x





2cos xsin 2x 2cosx 1 0 VD11 (THPT Minh Khai) Giải phương trình:

3 sin 2 cos 2 5sin 2 3 cos 3 3

1

2 cos 3

x





HD: 2sinx1  3 cosxsinx20

VD12 (THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải phương trình:

2

cos 2 sin 4

3

2 cos 2 sin 2 1

HD: Biến đổi đến: cos 2 cos 4

VD13 (THTT Đề 5) Giải phương trình: 8 2 sin cos 2x x 1 tanxtan 4xtan tan 4x x

HD: Biến đổi đến: sin 8 sin 5

4

x  x 

VD14 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: 4sin 3 tan

3

HD: Biến đổi đến: 2cosx1 tan  x 30

VD15 (THPT Đặng Thúc Hứa) Giải phương trình: 2 cos 2 cot

sin 2 cos

x

x

x x  HD: sin2 xsin cos 2x x0

VD16 (THPT Chuyên Nguyễn Huệ) Giải phương trình: 2sin tan 1 1 tan 3

cos 3

x

VD17 (Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Giải phương trình:  2

1

4

x 



HD: Biến đổi đến 2sin2 x3sinx 1 0

VD18 (THPT Thái Phiên) Giải phương trình:  2

x



VD19 (THPT Lạng Giang 2) Giải phương trình: 2 sin 4  

cos

x

x



HD, Biến đổi đến sinxcosxcos 2x 1 0

VD20 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu) Giải phương trình:

2

2 2

2 cos sin

3

x

x x 

VD21 (THPT Quốc Oai) Giải phương trình:

2

x

HD: cos 2 sin sin 1 0

4

VD22 (THPT Tuy Phước) Giải phương trình:

3

2 cos cos 2

1 sin

x



 

VD23 (THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ) Giải phương trình: 5 cos 2 2 cos

3 2 tan

x

x x

cosx3  sinx2

VD24 (THPT Chuyên Amsterdam) Giải phương trình: tan 2xcotx8cos2x

HD: cosx2sin 4 cosx x

VD25 (THPT Lương Ngọc Quyến) Giải phương trình:

x

HD: 2

2cos 2xcos 2x 1 0

VD26 (THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình: 1 cos xcotxcos 2xsinxsin 2x HD: cos 2xcosxsinx 1 0

VD27 (THPT Hà Trung) Giải phương trình:    2  sin 1

x



1 cos x 1 sin x 0

VD28 (THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương) Giải phương trình: cos 2 3 sin 1 cos

3 2sin

x x

HD: 2cosx 3 sin  xcosx0

VD29 (THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương) Giải phương trình:

2 sin 2 cos 3 cos 2 1 sin cos

2 cos 1

x

x





HD: 1 sin x 1 sin 2 x 3 cos 2x0

VD30 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Giải phương trình:

x x x x  

HD: sin 2 sin

3

x  x

VD31 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Giải phương trình:

5

2

0 sin

x



HD: cos 4xcos 2x

VD32 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Giải phương trình:

 

x

x



3 4sin x cosxsinx 1 0 VD33 (THPT Quốc học Quy Nhơn) Giải phương trình:

 3 1 cos 2  sin 2 1

2 2 cos 2 6

sin

4

x

x 

HD: Biến đổi đến 2  

4cos x2 3 1 cos x 2 30 VD33 (THPT Chuyên Quảng Bình) Giải phương trình:

tan cot

x



HD: Biến đổi đến sin 22 x1

VD34 (THPT Tống Duy Tân) Giải phương trình:

8sin



HD: Biến đổi đến cos cos 3 

6

VD35 (THPT Cổ Loa) Giải phương trình:

4

1 tan tan

2

x

x x

x





HD: Biến đổi đến  2

sinxcosx sinxcosx2 VD36 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:

tan cos 3 2 cos 2 1

3 sin 2 cos

1 2sin

x



4sin x1 sinx 3 cosx 1 0 VD37 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:

2 1 cot 2 cot 1

48



HD: Biến đổi đến 6sin 24 xsin 22 x 2 0

VD38 (THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải phương trình:

3

1

1 2 cos

x





HD: Biến đổi đến 2sin2 5sin 2 0