Một số phương trình LG thường gặp 2.1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình n
Trang 1BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN :
Tậ
p
xá
c
đị
nh
Tậ
p
gi
á
trị
C
hu
kỳ
Tí
nh
ch
ẵn
lẻ
Sự Đồng biến trên: Đồng biến trên: Đồng biến trên mỗi Nghịch biến trên
Trang 2eán
thi
eân
k2 ; k2
− + ππ π+ π
Nghòch bieán treân:
3
π+ π π+ π
(−π + π k2 ; k2 π) Nghòch bieán treân:
(k2 ; π π + π k2 )
− + ππ π+ π
(k ; π π + π k )
Ba
ûng
bi
eán
thi
eân
y =
–1
0
1
0
y
=cosx
– 1
1
– 1 a
2 π
y = tanx
–∞
+∞
y = cotx
+∞
–∞
a
Ñ
oà
thò
y = sinx
………
y = cosx
y = tanx
………
y = cotx
B) BÀI TẬP
Trang 31)Tìm tập xác định hàm số: a y=cos 2
1
x
x− b y=tan(2x+1) c y=cot(3x-6
π )
d y=sin 21
1
x − e.y= cosx+1 f y= 2 2
3 sin x− cos x g y=tan2x +cot(x- 6
π
)
2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số: a y=3-2sin x b y=3cos(3x-1) +2 c y=cos2 x-sin2x+2
d
y=cosx+cos(x-3
π ) e y=cos2x+2cos2x f y= 5 2 cos sin − 2x 2x g.y=sin2x+cos2x
h y= 4cos(x+
3
π ).cosx i.y=2 sin2x -3cos2x -5 j
3
2 sin 3
y
x
π
=
+ + ÷
k
4
3 1 cos 2
y
x
=
+ +
3)Xác định tính chẵn lẻ hàm số sau: a y=cos 2x
x b y=x-sinx c y=sin2x+cosx d.y= 1 cos x− e y=sinx.tanx+ cos2x f y=sin2x-3cos2x g y=sinx- cosx
4)CMR hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì hàm số: a y=2sin(3x+2) b y=tan(4x+
3
π )
c.y=3cot(3x+1)- 2sin(4x-2) d y=sin22x+1 e y=cos2x- sin2x f y=3cos22x +sin2x
BÀI 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN :
1 Phương trìng LG cơ bản:
* sinu=sinv u v k u v k2π 2
= +
⇔ = − + * cosu=cosv⇔u= ± v+k2π
* tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ (k∈ Z) .
Trang 4Phương trìng LG cơ bản đặc biệt :
* sinu =0 ⇔ =u kπ *cosu =0
2
u π kπ
⇔ = +
* sinu =1 2
2
u π k π
⇔ = + *cosu =1⇔ =u k2 π k∈Z
* sinu = -1 2
2
⇔ = − + *cosu =-1⇔ = +u π k2 π
2 Một số phương trình LG thường gặp
2.1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta
dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản
b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải
các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)
2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2 +b2 ≥c2
C
ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2 +b2 , ta được: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin
cos sinx sin cosx 2c 2
a b
+ hay sin(x ) 2c 2 sin
a b
2.3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với
2
x= +π kπ .
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Trang 5Chú ý: 2
2
1 tan 1
2
2.4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t |≤ 2
B/ BÀI TẬP
Dạng 1 Phương trình bậc nhất,bậc hai.
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0 3) 3cot2x + 3 = 0
4) 2 sin3x – 1 = 0 5) 2 cosx + sin2x = 0
Bài 2 Giải các phươn trình sau:
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + 2 cosx – 2
= 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0
7) 2sin2x – cosx + 7
2 = 0 8) 2sin
2x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin2x + 5cosx = 5
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0 3)5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3
4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2) = 0
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0
Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1
3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2
Trang 65) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2 Giải các phương trình:
3)cos 7 cos 5x x− 3 sin 2x= − 1 sin 7 sin 5x x 4) cos7x− 3 sin 7x= − 2
Dạng 3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0
3) 4 3sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5
2 4)
1
3 sin cos
cos
x
5) 3sin (32 ) 2sin(5 ) cos( )
2 x
π
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0
10) sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 52 + 2
Dạng 4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) (2 + 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - sinxcosx = 1 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
3) sin3x + cos3x =
2
2 4) sinx – cosx + 7sin2x = 1 5)sinxcosx + 2sinx + 2cosx
= 2
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Giải các phương trình sau:
Trang 71) cos2x = - 2
2 2) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60o) = - 3 4) sin3x = cos4x
Bài 2 Giải các phương trình: 1) sin2x = 1
2 2) sin2x + sin22x = sin23x 3) cos23x = 1
cos5x.cos7x 6)cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0 3) cot2x - 4cotx + 3 = 0 4)cos22x + sin2x + 1 = 0 5)sin22x - 2cos2x + 3
4 = 0 6)4cos
2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0
Bài 4 Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2
3) 2sinx+π4
+ sinx−π4
= 3 2
2 4) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0
Bài 5 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0
Bài 6 Giải các phương trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0
Trang 85) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4 6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + (
3 - 1)cos2x = 1
Bài 7 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a)y = 3 sin x − b) y = 1 cosx−sin x c)y = tan 2x
3
+π
d) y = cot x
6
+π
e)y =2 cosx3 f) y =
cot x
cosx 1 −
Bài 8 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:
a)y = x – sinx b) y = sinx – cosx c)y = sinxcosx + tanx d)y = cosxx e)y =
1 cosx − f)y = x3sin2x
Bài 9.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a)y = 1 sin(x ) 1 − 2 − b) y=2 cosx 1 + c)y = 3–2sinx d) y = 2(1 cosx) 1 + +
e) y = 2 + 3cosx f) y = 3 – 4sin2xcos2x g) y = cos2x + 2cos2x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của p t:
cos sin
sin
+
cos
tan
x
3 cos2 3x cos2x −cos2x = 0 (2005)
(Khối A_2007)
9.
4
4 3
2
sin sin
sin
x x
Trang 94. 2( 6 6 )
0
2 2
=
−
cos sin sin cos
sin
5. 3 sin2x+cos2x=2cosx-1 ( 2012)
6. 1 tan x 2 2 sin x
4
π
( 2013)
7. (1 sin cos 2 ).sin( 4) 1
cos
x x
π
=
−
=
sin cos sin sin
1
sin cos
sin sin cot
x
12. 1 tan x 2 2 sin x
4
π
(2013)
KHỐI B
(Khối B_2002)
2
cot tan sin
sin
x (2003)
15.5sinx − = 2 3 1( −sinx)tan2x (2004)
(Khối B_2005)
2
cotx +sin (x +tan tan )x x = ( 2006)
18 (sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx
=0(2010)
19.2sin2 2x +sin7x − = 1 sinx (Khối B_2007)
20 sin3x − 3cos3x = sin cosx 2x − 3sin2x cosx
(Khối B_2008)
21 sinx +cos sinx 2x + 3cos3x = 2(cos4x +sin3x)
(Khối B_2009)
22 sin2x cosx +sin cosx x = cos2x +sinx +cosx
(2011)
( 2012)
24 2
sin 5x+ 2cos x= 1 (2013)
KHỐI D
23.Tìm x∈[0;14]
cos x − cos x + cosx − =
(Khối D_2002)
sin (x − π) tan x −cos x =
29 sin3x − 3cos3x = 2sin2x (CĐ-2008)
30. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (K D_2008)
31.(1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ-2009)
Trang 10(Khối D_2003)
(Khối D_2004)
cos x sin x cos x sin x
(Khối D_2005)
27.cos3x+ cos 2x− cosx− = 1 0( D_2006)
28.
2
sin cos cos
32. 3cos5x −2sin3x cos2x −sinx = 0 ( D_200
9)
3
sin cos sin
tan
x
+
(KhốiD_2011)
34 sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x (KD 2012)
35 2cos2x + sinx = sin3x (CĐ 2012)
36.sin 3x+ cos 2x− sinx= 0 (2013)
37 sin2x-cos2x +3sinx-cosx-1=0 (2010)