PPT Chuong 2 [Compatibility Mode] CC hh öö ôô nn gg II II GG II AA ÛÛ II HH EE ÄÄ PP HH ÖÖ ÔÔ NN GG TT RR ÌÌ NN HH AAxx==bb 111 ))) HHH eee äää ccc ooo ùùù AAA lll aaa øøø mmm aaa ttt rrr aaa äää nnn[.]
Trang 1Chương II : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x
a
a a
a
a a
a
x A
.
.
.
.
.
.
0 0
0
.
2
1 2
1
33
2 23
22
1 12
0 0
0 0
.
.
Trang 2= +
+
= +
+
1 0 01
0 0
0
2 20 2
1 0 0
0 18 2
3
3 2
3 2
1
x
x x
x x
2
x x
Trang 32) Hệ cĩ A là ma trận tam giác dưới
nn n
b b
x
x x
a a
a
a a
a
a a
a
x A
.
.
.
.
0
.
.
.
0
0
0
0
2
1 2
1
2 1
33 32
31
22 21
11
Tính nghiệm x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x n
Trang 43) Giải bằng phương pháp nhân tử LU :
( A ma trận vuông bất kỳ )
a) Nội dung : Phân tích ma trận A = L.U
L là ma trận tam giác dưới
U là ma trận tam giác trên
Việc giải hệ phương trình sẽ đưa về giải hai hệ
phương trình dạng tam giác
Quy ước l 11 = l 22 = l 33 = = 1 : có nghiệm duy nhất
Trang 5Cách tìm L, U từ ma trận A :
Nhân hàng1 của Lvới cột 1 của U tìm được u 11
Nhân hàng2 của Lvới cột 1 của U tìm được l 21
Nhân hàng3 của Lvới cột 1 của U tìm được l 31
Nhân hàng1 của Lvới cột 2 của U tìm được u 12
Nhân hàng1 của Lvới cột 3 của U tìm được u 13
Nhân hàng2 của với cột 2 của tìm được
Nhân hàng2 của Lvới cột 2 của U tìm được u 22
Nhân hàng3 của Lvới cột 2 của U tìm được l 32
Nhân hàng2 của Lvới cột 3 của U tìm được u 23
Nhân hàng3 của Lvới cột 3 của U tìm được u 33
Trang 64) Phương pháp Cholesky
( phương pháp căn bậc hai )
a) Nội dung :
Biểu diễn ma trận A dưới dạng A = B B T
trong đó B là ma trận tam giác dưới
( T B : ma trận chuyển vị của B , là ma trận tam giác trên )
Trang 7b) Nhận xét :
Cách tìm B tương tự như phương pháp LU
nhưng số phép tính giảm đi 2 lần
Phương pháp Cholesky không đòi hỏi đường chéo của ma trận B bằng 1
Khi lấy căn bậc 2 quy ước rằng lấy căn số học ( căn là số dương )
Trang 85 5
1
1 1
Trang 91 2
1
0 1
Trang 10b) Nhận xét :
* ) Phương pháp chỉ dùng được nếu A là
đối xứng và xác định dương g
5) Các phương pháp lặp :
(thường dùng cho các hệ với ma trận
A có kích thước rất lớn)
A có kích thước rất lớn)
5.1) Định nghĩa : (Chuẩn của vectơ )
i n
( i x : các thành phần của véctơ x )
(chuẩn vô hạn , hàng )
Trang 125.2) Định nghĩa ( Chuẩn của ma trận )
a Max
A
1 1
(chuẩn vô hạn , chuẩn hàng)
A
1 1
(chuẩn 1 , chuẩn cột )
Trang 134
A ta có
7 )
3 , 7
( 1
i
6 )
4 , 6
(
1 1
Trang 145.3) Định nghĩa ( Số điều kiện cuả ma trận A)
1
1 1
2 / 3 2
/ 1 1
7
Trang 156 3
4 1
4 2
1 2
100
2000 2010
1980
3900 3920
∞ A k
73566 )
(
1 A =
k
Trang 16Sự biến thiên của nghiệm tỷ lệ với sự biến thiên của vế phải với hệ số tỷ lệ là k ( A )
5.4 ) Phương pháp lặp Jacobi ( lặp đơn ) :
a) Nội dung:
*) Đưa hệ A x = b về dạng x = Φ x + g
*) Đưa hệ A x = b về dạng x = Φ x + g
*) Kiểm tra điều kiện Φ = q < 1
(chuẩn hàng hoặc cột)
Trang 17b) Đánh giá sai số :
Trang 18Ví duï : Xeùt heä phöông trình
+
=
− +
= +
−
10 10
3 2
5 1
10 1
0 2
1 10
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
−
=
+
− +
=
1 3
0 2
0
5 0 1
0 1
0
0 2
0 1
0
2 1
3
3 1
2
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
5 0
=
Φ ∞ = q ∞
4
0
1 =
Trang 19=
+
− +
=
+ + +
1 3
0 2
0
5 0 1
0 1
0
0 2
0 1
0
)
( 2
)
( 1
) 1
(
3
)
( 3
)
( 1
) 1
(
2
)
( 3
)
( 2
) 1
(
1
k k
k
k k
k
k k
k
x x
x
x x
x
x x
k
)
( 2
k
)
( 3
k
Trang 20c)Nhận xét :
A ma trận có đường chéo trội theo hàng :
i
i j
Trang 215.5) Phương pháp lặp Gauss - Seidel :
Nội dung : Các thành phần của x ( i k + 1 ) vừa tính được đã dùng ngay để tính x i ( + k 1 + 1 ) trong bước tiếp theo
Trang 22k 0 1 2 3
)
( 1
k
)
( 2
k
)
( 3
Jacobi
Nhược điểm : Đánh giá sai số phức tạp