9 phương trình vi phân cấp 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Bài giảng điện tử PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứ[.]

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

Phương pháp giải

không thuần nhất L(y ) = F (x )

Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm của phươngtrình vi phân đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện

cao nhất của phương trình Ví dụ đối với phươngtrình vi phân cấp 2 sẽ có 2 điều kiện bổ sung tại

Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 2 với điều kiện bổ sung

duy nhất

Dao động tự do

Dao động tự do

Tại vị trí cân bằng, trọng lực của quả nặng

bằng với lực đàn hồi của lò xo

Lực có xu hướng đẩy quả nặng về vị trí cânbằng tỉ lệ với ly độ, có nghĩa là bằng ky , với k

là hệ số đàn hồi của lò xo

Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động của quả

số tỉ lệ

Dao động cưỡng bức

Trong trường hợp lực cản không tồn tại, cònquả nặng sẽ dao động theo 1 ngoại lực có chu

kỳ, theo quy luật là ` sin ωt

Trong trường hợp này, chỉ có lực có xu hướngđưa quả nặng về vị trí cân bằng là

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất

Giải phương trình thuần nhất

Phương trình đặc trưng

Bước 2.

Tính ∆ = B 2 − 4AC

1 Nếu ∆ > 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt k 1 6= k2 Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất là y tn = C1ek1 x + C2ek2 x

2 Nếu ∆ = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm kép

k = k 0 Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất

là y tn = C 1 ek0 x + C 2 x ek0 x

3 Nếu ∆ < 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp k1 = a + bi , k2 = a − bi Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất là

y tn = ea (C 1 cos b x + C 2 sin b x ).

Bước 3 Tìm nghiệm riêng trường hợp f (x) = e αx Pn(x )

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất

sẽ có dạng y r = xs.eαx.Q n (x ), trong đó Q n (x ) là đa thức cần tìm có cùng bậc với P n (x ).

1 Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng yr = eαx.Qn(x )

2 Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

s = 1 và nghiệm riêng có dạng yr = x eαx.Qn(x )

3 Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì

s = 2 và nghiệm riêng có dạng y r = x2.eαx.Qn(x )

Bước 3 Tìm nghiệm riêng trường hợp

f (x ) = eαx.(Pn(x ) cos βx + Qm(x ) sin βx )

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất

sẽ có dạng yr = xs.eαx.(Hk(x ) cos βx + Tk(x ) sin βx ),

trong đó H k (x ), T k (x ) là những đa thức cần tìm có cùng bậc k = max{m, n}.

1 Nếu α + i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng

yr = eαx.(Hk(x ) cos βx + Tk(x ) sin βx )

2 Nếu α + i β là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì s = 1 và nghiệm riêng có dạng

yr = x eαx.(Hk(x ) cos βx + Tk(x ) sin βx )

Nguyên lý chồng chất nghiệm

Nếu f (x) = f1(x ) + f2(x ), trong đó f1(x ), f2(x ) là một trong 2 trường hợp đặc biệt trên thì

1 Ta tìm nghiệm riêng y r1 của phương trình

Bước 4 Nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấphai với hệ số hằng là

Bước 2 Nghiệm của phương trình thuần nhất

Bước 3 Tìm nghiệm riêng của phương trình

không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

Bước 4 Nghiệm tổng quát y tq = C 1 e−x + C 2 e3x + 1

5e

4x Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

Bước 3 Tìm nghiệm riêng của phương trình

Bước 4 Nghiệm tổng quát

2

Ví dụ

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất

Bước 2 Nghiệm của phương trình thuần nhất

Bước 3 Tìm nghiệm riêng của phương trình

y00 + y0 − 2y = cos x − 3 sin x

Nghiệm riêng có dạng yr = xs.e0x.(A cos x + B sin x ) Vì

α = 0 + i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và yr = A cos x + B sin x

−2 yr = A cos x + B sin x

1 yr0 = −A sin x + B cos x

1 yr00 = −A cos x − B sin x

yr00 + yr0 − 2yr = (B − 3A) cos x +(−3B − A) sin x =

= cos x − 3 sin x

⇒  B − 3A = 1

3B + A = 3 ⇒ A = 0, B = 1.

Bước 4 Nghiệm tổng quát

Ví dụ

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất y00+ y = 0

Bước 2 Nghiệm của phương trình thuần nhất

Bước 3 Tìm nghiệm riêng y r1 của phương trình

y00 + y = xex

Nghiệm riêng có dạng yr1 = xs.ex.(Ax + B) Vì α = 1

không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và

yr1 = ex(Ax + B)

0 yr01 = Aex + (Ax + B)ex

1 yr001 = 2Aex + (Ax + B)ex

yr00 + y r = 2Axex + (2A + 2B)ex = xex

⇒



2A = 1 2A + 2B = 0 ⇒ A = 1

2, B = −

1

2.

Bước 3 Tìm nghiệm riêng yr2 của phương trình

Bước 4 Nghiệm tổng quát

x + e−x

Phương pháp biến thiên hằng số

Phương pháp này áp dụng để tìm nghiệm của

phương trình không thuần nhất tuyến tính cấp 2

trên

y = C 1 (x ).y 1 (x ) + C 2 (x ).y 2 (x ),

y0 = C10(x ).y1(x ) + C1(x ).y10(x ) + C20(x ).y2(x ) + C2(x ).y20(x )

y00 = C100(x ).y1(x )+C10(x ).y10(x )+C10(x ).y10(x )+C1(x ).y100(x )+ +C200(x ).y2(x ) + C20(x ).y20(x ) + C20(x ).y20(x ) + C2(x ).y200(x )

⇒ [Ay100(x ) + By10(x ) + Cy 1 (x )].C 1 (x )+

+[Ay200(x ) + By20(x ) + Cy2(x )].C2(x )+

+A[C10(x )y1(x ) + C20(x )y2(x )]0+ +A[C10(x )y10(x )+C20(x )y20(x )]+B[C10(x )y1(x )+C20(x )y2(x )]

= A[C10(x )y1(x )+C20(x )y2(x )]0+A[C10(x )y10(x )+C20(x )y20(x )]+

+B[C10(x )y 1 (x ) + C20(x )y 2 (x )] = f (x )

Từ đó, ta chọn các hàm C1(x), C2(x) thỏa mãn hệphương trình

W (x ) =

y1(x ) y2(x )

y10(x ) y20(x )

,

D1 =

tanx

2 +

π 4

 + sin x + C1 cos x + +(− cos x + C2) sin x

Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

 π 4

 + C 1

 cos 0 = 0

 + sin π

6 + C1

 cos π

6 ++



− cos π

6 + C2

 sinπ

6 = 0

⇒ C1 = 0, C 2 =

√ 3

 x

2 +

π 4



Giải phương trình vi phân cấp 2

Giải phương trình vi phân cấp 2

Giải phương trình vi phân cấp 2

Giải phương trình vi phân cấp 2

ĐS ytq = C1ex + C2e−3x + e3x  1

14



Giải phương trình vi phân cấp 2

THANK YOU FOR ATTENTION