Ứng dụng của máy tính bỏ túi vào khai triển nhị thức niutơn và giải nhanh phương trình tổ hợp

Việc tiết kiệm thời gian và chính xác hóa khai triển nhị thức để bổ trợ việc giải toán được nhanh, hiệu quả tạo hứng thú học tập cho học sinh. Hình thức kiểm tra bằng phương pháp trắc nghiệm được áp dụng, khi đó việc ứng dụng máy tính bỏ túi để khai triển nhị thức và giải nhanh phương trình tổ hợp là rất cần thiết.

Trang 1

SỞ GD – ĐT ……… CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT ……… Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

…… , ngày … tháng … năm …….

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

I- Sơ lược lí lịch tác giả:

- Họ và tên: ……….Nam, nữ: Nam

- Ngày tháng năm sinh:………

- Nơi thường trú: ………

- Đơn vị công tác: ………

- Chức vụ hiện nay:

- Lĩnh vực công tác: Giảng dạy môn Toán Trung Học Phổ Thông

II- Tên sáng kiến: Ứng Dụng của máy tính bỏ túi vào khai triển nhị thức Niutơn và giải nhanh phương trình tổ hợp

III- Lĩnh vực: Giải pháp kĩ thuật (Quy trình cải tiến phương pháp giảng dạy)

IV- Mục đích yêu cầu của sáng kiến:

1 Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến: Việc khai triển nhị thức

NiuTơn ở một số học sinh còn nhiều sai sót trong áp dụng công thức và kỹ thuật tính toán tốn nhiều thời gian Việc giải phương trình tổ hợp của học sinh còn nhiều hạn chế

Có nhiều chủng loại máy tính bỏ túi có thể trợ giúp được việc khai triển nhị thức nhưng vẫn chưa được học sinh và giáo viên khai thác nhiều

2 Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến:Việc tiết kiệm thời gian và chính xác

hóa khai triển nhị thức để bổ trợ việc giải toán được nhanh, hiệu quả tạo hứng thú học tập cho học sinh

Hình thức kiểm tra bằng phương pháp trắc nghiệm được áp dụng, khi đó việc ứng dụng máy tính bỏ túi để khai triển nhị thức và giải nhanh phương trình tổ hợp là rất cần thiết

3 Nội dung sáng kiến:

NỘI DỤNG 1: Khai triển nhị thức Niutơn:

A Công thức nhị thức Niutơn:

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức NiuTơn

Hệ Quả:

Với a b 1, ta có 2n 0 1 n

Với a1,b1 ta có : 0 0 1  1k k  1n n

Trang 2

Chú ý :

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1) :

- Số các hạng tử là n  1

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 b0  )1

- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

B Các ví dụ :

1 Ví Dụ 1 : Khai triển biểu thức : x y 6

Theo công thức nhị thức niu tơn ta có :

2 Ví Dụ 2 : Khai triển biểu thức 2x  34

 4 40 4 14  3  42  2 2 43   3 44 4

16 96 216 216 81

3 Ví Dụ 3 : Khai triển biểu thức : 2x 3y7

C Phân dạng khai triển nhị thức

1 a Dạng 1 : ax b n

Dạng khai triển :

b Nhận xét :

- Có n  hạng tử 1

- Mũ của x giảm dần từ n đến 0

c Hướng dẫn sử dụng Máy Tính Bỏ Túi ( MTBT ) để khai triển.

Một số dạng MTBT thường được áp dụng : Casio FX-570 VN Plus, Casio FX-570 ES Plus, Vinacal 570 ES Plus,…

B1 : Liệt kê n  biến số 1 xvới số mũ giảm dần 1 đơn vị từ nđến 0

B2 : Nhập cú pháp trên máy tính bỏ túi theo công thức như sau để tìm n 1

hệ số của n  hạng tử tương ứng theo thứ tự.1

Cú Pháp :

Trang 3

n qPQ) O a ^ n pQ)$O b ^Q)

Trong đó : n là số mũ của biểu thức khai triển

a b, là hai giá trị trong biểu thức khai triển

là hệ của các số hạng thứ i 1 của khai triển

Cú pháp :

r0= giá trị hệ số của số hạng thứ 1

……

r n = giá trị hệ số của số hạng thứ n 1

B4 : Điền các giá trị vừa tính được vào vị trí tương ứng

d Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau : 3x 47

Nhận xét : ta cần nhận biết với biểu thức trên thì trong cú pháp sẽ tương ứng giá trị như sau :

7, 3, 4

Vì n  nên ta có 8 hạng tử trong khai triển chứa x với số mũ giảm dần như sau : 7

B1 : x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x 0

B2 : Nhập cú pháp :

7qPQ)O3^7pQ)$O4^Q)

B3 : Tính các giá trị hệ số tương ứng :

r0= ta có hệ số của số hạng thứ 1 là 2187

B4 : Kết luận kết quả :

3x47 2187 +20412 +81648 +181440 +241920 +193536 +86016x7 x6 x5 x4 x3 x2 x16384

Ví dụ 2 :Khai triển biểu thức sau : 2 3x 6

Giải : ta biến đổi : 2 3 x6   3x26

Khi đó lúc nhập các giá trị trên MTBT ta hiểu n6, a3, b2

B1 : x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0

Trang 4

r1= ta có hệ số của số hạng thứ 2 là -2916

2 3 x6   3x26 729x6 2916x54860x4 4320x32160x2 576x64

Ví dụ 3 : Khai triển biểu thức sau :

5

3x 2



Hướng dẫn giải :

Nhập cú pháp :

5qPQ)O(a2R3$)^5pQ)$O(ap1R2$)^Q)

Kết quả :

5

3x 2 243x 81x 27x 9x 24x 32

2 a Dạng 2 : ax bn

 Dạng khai triển :

ax b C ax C ax  b C ax  b C  ax b  C b

- Mũ của x giảm dần đều từ n đến 0 Mỗi lần giảm 

1

n

x x  x   x    x



            

B1 : Liệt kê n  biến số x với số mũ giảm dần 1  đơn vị từ n đến 0 B2 : Nhập cú pháp trên máy tính bỏ túi theo công thức như sau để tìm n 1

Cú Pháp :

n qPQ) O a ^ n pQ)$O b ^Q)

Trang 5

a, b là hai giá trị trong biểu thức khai triển

B3 : Lần lượt tính các giá trị i i N   của X từ 0 đến n MTBT cho ra kết quả lần lượt

Cú pháp :

……

B4 : Điền các giá trị vừa tính được vào vị trí tương ứng

* Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau :  2 7

3x 4 Nhận xét : ta cần nhận biết với biểu thức trên thì trong cú pháp sẽ tương ứng giá trị như sau :

7, 3, 4

7qPQ)O3^7pQ)$O4^Q)

3x247 2187x14+20412x12+81648x10+181440 +241920 +193536 +86016x8 x6 x4 x2 16384

Ví dụ 2 : Khai triển biểu thức sau :  36

2 3x Giải : ta biến đổi : 2 3 x36   3x326

Khi đó lúc nhập các giá trị trên MTBT ta hiểu n6, a3, b2

B1 : x18 x15 x12 x9 x6 x3 x0

6qPQ)O(p3)^6pQ)$O2^Q)

Trang 6

2 3 x  3x 2 729x18 2916x154860x12 4320x92160x6 576x364

5 4

3x 2



Nhập cú pháp :

5qPQ)O(a2R3$)^5pQ)$O(ap1R2$)^Q)

Kết quả :

5

3 a Dạng 3 : ax bxn

ax bx C ax C ax  bx C  ax bx  C bx

Lưu ý : 1 x

x







b Ví dụ : xét một số khai triển sau :

2x33x24 16x1296x11216x10 216x981x8

2x4 3x4 16x16 96x13216x10 216x7 81x4

4

Trang 7

- Số mũ của x giảm hoặc tăng dần từ n đến n Với số k   

B1 : Liệt kê n  biến số x với số mũ giảm hoặc tăng dần k1    đơn vị

từ n đến n Nếu k  số mũ của x giảm dần , nếu 0 k  số mũ của x tăng dần.0 B2 : Nhập cú pháp trên máy tính bỏ túi theo công thức như sau để tìm n 1

Cú Pháp :

n qPQ) O a ^ n pQ)$O b ^Q)

Cú pháp :

……

* Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau : 3x44x27

7, 3, 4 4, 2 2 0

B1 : x28 x26 x24 x22 x20 x18 x16 x 14

7qPQ)O3^7pQ)$O4^Q)

Trang 8

+193536 +86016 16384



* Ví dụ 2 :Khai triển biểu thức sau :  46

2x 3x

Giải :

Khi đó lúc nhập các giá trị trên MTBT ta hiểu

6, 2, 3, 1, 4 3 0

6qPQ)O(p3)^6pQ)$O2^Q)

2x 3x46 64x6 576x92160x12  4320x154860x18 2916x21729x24

5 2

3

2x x



Nhập cú pháp :

5qPQ)O2^5pQ)$(p3)^Q)

Kết quả :

5

4 a Dạng 4 : ax by n

Dạng khai triển :

- Số mũ của x giảm dần đều từ n đến 0 Mỗi lần giảm 1 đơn vị

Trang 9

- Số mũ của y tăng dần đều từ 0 đến n Mỗi lần tăng 1 đơn vị.

- Tổng số mũ của x và y luôn bằng n

1

n

x x y x  y xy  y



          

B1 : Liệt kê n  biến số 1 1 2 2 1

1

n

x x y x  y xy  y



          

B2 : Nhập cú pháp trên máy tính bỏ túi theo công thức như sau để tìm n 1

Cú Pháp :

Cú pháp :

……

* Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau : 3x4y7

7, 3, 4

y y y y y y

7qPQ)O3^7pQ)$O4^Q)

Trang 10

3 4 2187 +20412 y+81648 y +181440 y +241920 y

+193536 y +86016 16384



Ví dụ 2 :Khai triển biểu thức sau : 2y 3x6

Giải :

Khi đó lúc nhập các giá trị trên MTBT ta hiểu n6, a3, b2

B1 : y6 y x5 y x4 2 y x3 3 y x2 4 yx5 x6

6qPQ)O2^6pQ)$(p3)^Q)

2y 3x664y6 576y x5 2160y x4 2 4320y x3 34860y x2 4 2916yx5729x6

Ví dụ 3 : Khai triển biểu thức sau : 2xy 3y5

Liệt kê n  hạng tử chứa xy như sau : 1

xy5 xy y4 xy y3 2 xy y2 3 xy y 4 y 5

Nhập cú pháp :

5qPQ)O2^5pQ)$O(p3)^Q)

Kết quả :

2xy 3y5 32x y5 5 240x y4 5 720x y3 5 1080x y2 5810xy5 243y5

5 a Dạng 5 : ax byn

ax by C ax C ax  by C  ax by  C by

- Số mũ của x giảm dần đều từ n đến 0 Mỗi lần giảm  đơn vị

Trang 11

- Số mũ của y tăng dần đều từ 0 đến n Mỗi lần tăng  đơn vị.

1

n

x x  y x   y  x y    y 



               

B1 : Liệt kê n  biến số 1 2 2

1

n

x x  y x   y  x y    y 



               

B2 : Nhập cú pháp trên máy tính bỏ túi theo công thức như sau để tìm n 1

Cú Pháp :

Cú pháp :

……

* Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau :  2 37

3x 4y

7, 3, 4

y y y y y y

7qPQ)O3^7pQ)$O4^Q)

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	3,12 MB