Giáo trình toán cao cấp phần 2

93 Chƣơng 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1 1 Hàm số hai biến số 1 1 1 Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số này vào một[.]

Chương 3

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Hàm số hai biến số

1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số

Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số

này vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không

chỉ vào một, mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Chẳng hạn, sản lượng, tức là số lượng sản phẩm của một hãng sản xuất phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào (gọi là các yếu tố sản xuất) như lao động, vốn v.v

Khái niệm hàm số nhiều biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến

số vào n biến số khác Để cho đơn giản, trước hết ta đề cập đến trường hợp n = 2

Định nghĩa

Ta gọi biến w là hàm số của 2 biến số x và y nếu, theo một quy luật f, mỗi cặp số thực

(x,y) có thứ tự, gồm một giá trị của biến x cùng với một giá trị của biến y, được đặt tương ứng với một giá trị xác định của biến w:

f : (x, y)  w

Để biểu diễn sự phụ thuộc hàm số của biến w vào các biến x và y ta dùng ký hiệu w = f(x, y), trong đó chữ f đặc trưng cho quy luật tương ứng nêu trong định nghĩa Các biến số x, y được gọi là các biến độc lập, hay các đối số của hàm số

Khi nói đến các hàm số khác nhau ta dùng các kí hiệu khác nhau:

w = g(x, y), w = h(x, y), … Việc thiết lập hệ tọa độ trên mặt phẳng cho phép ta đồng nhất cặp số thực có thứ tự (x , y ) với điểm M0 0 0(x0, y0) của mặt phẳng Theo quan điểm này, một cặp biến

số (x, y) được xem như một biến điểm M(x, y) của mặt phẳng và hàm hai biến w = f(x, y) được xem như hàm số của một biến điểm M

Ta sẽ đồng nhất 2 cách ký hiệu: w = f(x, y) và w = f(M)

1.1.2 Miền xác định và miền giá trị

1 Miền xác định (MXĐ) của hàm 2 biến w = f(x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực

(x,y) mà các biến độc lập x và y có thể nhận đồng thời

Nếu biểu diễn hình học thì đó là một tập hợp điểm của mặt phẳng tọa độ

Khi cho một hàm số cụ thể người ta thường cho trước MXĐ và chỉ rõ luật tương ứng để khi biết một giá trị của x cùng với một giá trị của y ta có thể xác định được giá trị tương ứng của biến w Tuy nhiên, khi xét thuần túy dưới giác độ toán học, người ta thường cho hàm số của 2 biến x, y dưới dạng một biểu thức f(x, y) và không

chỉ rõ MXĐ Trong trường hợp này ta coi MXĐ của hàm số là MXĐ tự nhiên của biểu

thức f(x, y), tức là tập hợp tất cả các cặp số thực (x, y) làm cho biểu thức đó có nghĩa

kể các điểm của đường tròn)

Chú thích

Tương tự như trong trường hợp hàm một biến, ta dùng kí hiệu f(xo, yo) để chỉ giá trị tương ứng của hàm hai biến w = f(x, y) khi gán x = xo, y = yo Ta gọi f(xo, yo) là giá trị của hàm số tại điểm Mo(xo, yo) và có thể dùng kí hiệu f(Mo) để thay thế

2 Miền giá trị (MGT) của hàm số w = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số

khi điểm M(x, y) thay đổi trong MXĐ

3 Đồ thị của hàm 2 biến

Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x, y) trong không gian 3 chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc gồm 3 trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc và có cùng gốc tọa độ O

Miền xác định D của hàm số w = f(x, y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (Oxy) Theo quy tắc tương ứng của hàm số, mỗi điểm M(x, y)D cho tương ứng một điểm P( x, y, z) trong không gian với cao độ z = f( x, y) Tập hợp tất cả các điểm

P( x, y, z) , khi điểm M(x, y) thay đổi trong miền D, được gọi là đồ thị của hàm số

w = f(x, y) Đồ thị thường là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz

Ví dụ 3.3

Đồ thị hàm số w = 2 2

4 x y là nửa trên của mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và

bán kính R = 2

4 Đường mức

Cho w = f(x, y) là một hàm số xác định trong miền D Với wo là một giá trị cố định thuộc tập giá trị của hàm w, ta xét tập hợp tất cả các điểm (x,y)D thỏa mãn điều kiện f(x, y) = wo

Thông thường tập hợp điểm này là một đường trên mặt phẳng (Oxy), được gọi

là đường mức của hàm số w = f(x,y) Như vậy, đường mức của hàm số w f(x,y) là

đường trên mặt phẳng (Oxy) mà dọc theo đó hàm số nhận giá trị không đổi

3 Khái quát hóa cách biểu diễn theo tọa độ điểm trên mặt phẳng và trong không gian 3 chiều, ta gọi mỗi bộ số thực có thứ tự (x1, x2, , xn) là một điểm n chiều

và viết M(x1, x2, , xn)

Theo quan niệm này mỗi bộ n biến số sắp thứ tự (x1, x2,, , xn) có thể xem như một biến điểm n chiều M Khi gán cho mỗi biến số x1, x2, , xn, một giá trị bằng số ta được một điểm n chiều M Hàm số n biến số w = f(x1, x2, ,xn) có thể xem như hàm số của biến điểm M(x1, x2, , xn) và ta có thể dùng ký hiệu w = f(M)

2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

2.1 Giới hạn của hàm số hai biến số

2.1.1 Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng

Như ta đã biết, khoảng cách giữa hai điểm M(x, y) và M'(x', y') trên mặt phẳng tọa độ được xác định theo công thức

d(M, M') = (x ' x) 2(y ' y) 2 (2) Giả sử, theo một quy tắc nhất định, mỗi số tự nhiên k được đặt tương ứng với một điểm Mk(xk, yk) nhất định trên mặt phẳng Khi đó ta có dãy điểm:

Lý thuyết giới hạn xem xét diễn biến của biến phụ thuộc w khi điểm M(x, y) thay đổi trong miền D và tiến dần đến điểm A, tức là thu hẹp một cách tùy ý khoảng cách từ điểm M đến điểm A (với giả thiết MA) Quá trình này được ký hiệu là:

MA hay xa, ybTheo quy luật hàm số, mỗi dãy điểm

{M x ,y , M x ,y , , M1 1 1 2 2 2 kx ,y , } k k (3) cho tương ứng một dãy số

{ w1 = f(M1), w2 = (M2), , wk = f(Mk), } (4) Dãy số (4) là dãy các giá trị của hàm số w = f(x,y) = f(M) tương ứng với dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D

Định nghĩa

Nếu với mọi dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D của hàm số w = f(x, y) và hội tụ đến

điểm A(a, b), dãy số (4) tương ứng luôn luôn có giới hạn L thì số L được gọi là giới

hạn của hàm số đã cho khi MA (hay xa, yb) và ký hiệu như sau:

2.1.3 Giới hạn bội và giới hạn lặp

Giới hạn theo định nghĩa trên đây được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép

(các quá trình xa, yb diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau)

Ngoài giới hạn bội, người ta còn xét các giới hạn lặp theo cách thức như sau:

2.2 Giới hạn của hàm số n biến số

2.2.1 Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều

Tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng với quan niệm về khoảng cách xác định theo công thức (1) đƣợc gọi là không gian R2

Một cách tổng quát, ta gọi không gian Euclide n chiều (ký hiệu là Rn) là tập hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ M(x1, x2, ,xn) và M'(x'1, x'2, , x'n) đƣợc xác định theo công thức

2.2.2 Giới hạn của hàm số

Khái niệm giới hạn của hàm số 2 biến số mà ta đã định nghĩa trên đây được chuyển tổng quát cho trường hợp hàm số n biến số bằng cách thay biến điểm 2 chiều M(x, y) bằng biến điểm n chiều M(x1, x2, , xn) và thay điểm A(a, b) bằng điểm A(a1, a2, , an)

Hai ký hiệu sau được sử dụng với nghĩa như nhau:

Một hàm số không liên tục được gọi là hàm gián đoạn

Các định lý về hàm số liên tục một biến số cũng được áp dụng tương tự cho hàm số với số biến số bất kỳ Chẳng hạn, định lý về tổng, tích, thương của các hàm số liên tục có nội dung như sau:

Định lý

Nếu các hàm số f(M) và g(M) của biến điểm n chiều M(x1, x2, ,xn) liên tục tại điểm

 1 2 n

M x , x , , x thì:

(i) Các hàm số f(M) + g(M), f(M) − g(M), f(M).g(M) liên tục tại điểm M

(ii) Với giả thiết g(M)0thì hàm số f (M)

g(M) cũng liên tục tại điểm M

3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

3.1 Đạo hàm riêng

Để đơn giản, trước tiên ta xét hàm 2 biến z = f(x, y) xác định tại điểm

M0(x0, y0) và lân cận M0 Khi ta cố định 1 biến, chẳng hạn cố định y = y0, hàm số được coi như là hàm 1 biến đối với x và ta xây dựng đạo hàm tương tự như đạo hàm hàm 1 biến, theo 4 bước:

Định nghĩa

a Cố định y = y0

Bước 1 Cho x0 một số gia ∆x (đủ nhỏ để điểm M(x0 + ∆x, y0) vẫn thuộc lân cận điểm M0)

Bước 2 Số gia tương ứng của hàm số f(M) – f(M0) = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0)

được gọi là số gia riêng theo biến x của hàm z tại M0, kí hiệu là ∆xf

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng:

● Tổng quát cho hàm n biến

Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa tổng quát đạo hàm riêng theo biến xi của hàm n biến f tại điểm (M0):

w'x = w 2

3x 4xyx

f =

i

f.x

Hàm số này có 4 đạo hàm riêng sau:

Cho x0 một số gia ∆x, y0 một số gia ∆y Nếu số gia tương ứng (được gọi là số gia toàn

phần) của hàm số có thể viết dưới dạng:

  (chính là khoảng cách giữa M(x0 + ∆x, y0 + ∆y) và M0) và có giới hạn

0 khi  0, thì ta nói hàm số khả vi tại điểm M0(x0, y0) và biểu thức A x B y  

được gọi là vi phân toàn phần của hàm số w tại điểm đó, kí hiệu là:

dw(x0, y0) = df(x0, y0) = A.∆x + B.∆y (7)

 Liên hệ giữa khả vi và có đạo hàm riêng

Giả sử hàm w khả vi tại Mo tức là ta có biểu thức (6) Do A và B là 2 số không phụ thuộc ∆x và ∆y, ta có thể lấy ∆y = 0, biểu thức (6) trở thành:

∆xw = A.∆x + α.∆x Chia 2 vế cho ∆x và cho x 0, ta được: '

Cho w(x, y) = x, suy ra dw = dx = ∆x, tương tự, cho w(x, y) = y suy ra

dy = ∆y, ta có biểu thức vi phân:

Định lý

Giả sử hàm w(x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận nào đó của M0, và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì hàm w khả vi tại M0

 Các phép toán đối với vi phân

Từ biểu thức vi phân (8) và công thức đạo hàm có thể chứng minh các công thức đối với vi phân sau:

d(f + g) = df + dg; d(f.g) = fdg + gdf; d(f/g) = (gdf – fdg)/g2 (9)

 Mở rộng cho hàm nhiều biến

Tương tự, ta xét hàm u = f(x1, x2,…,xn); Hàm số được gọi là khả vi nếu số gia toàn phần tại M0 viết được dưới dạng:

Từ định nghĩa vi phân, ta có: ∆u ≈ du(M0) và xấp xỉ càng chính xác khi ρ càng

bé (có nghĩa là đồng thời cả ∆x và ∆y càng bé)

3.3 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao

3.3.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Giả sử hàm số w = f(x1, x2, ,xn) có các đạo hàm riêng theo biến xi tại mọi điểm thuộc miền DRn Khi đó 'i

w f (x , x , , x )là một hàm số xác định trong miền D Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 này đƣợc gọi là các đạo hàm riêng cấp 2

Đạo hàm riêng theo biến xk của hàm số

i

' x

w đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp 2

theo xi, xk của hàm số w = f(x1, x2, , xn) và đƣợc ký hiệu nhƣ sau:

miền D Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dw đƣợc gọi là vi phân toàn phần

cấp 2 (hoặc gọi đơn giản là vi phân cấp 2) của hàm số z và đƣợc ký hiệu d2z hay d2f Vậy:

d2z = d(dz)

Tổng quát, vi phân cấp n của hàm z được định nghĩa là vi phân của vi phân cấp (n – 1) của z:

Bằng cách tương tự, chú ý qui luật trong kí hiệu, ta có công thức tổng quát cho

vi phân cấp p bất kì của hàm 2 biến z = f(x, y):

Ví dụ 3.17

Cho hàm 2 biến z = x2y3 Tính vi phân dz và d2z

Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 rồi thay vào công thức (11):

4.1 Khái niệm và điều kiện cần của cực trị

Giả sử hàm số w = f(x1, x2, ,xn) xác định, liên tục trong miền 2

Minh họa định nghĩa và điều kiện cần của cực trị cho hàm hai biến w = f(x, y)

Điểm M thỏa mãn điều kiện (13) được gọi là điểm dừng của hàm số

Như vậy hàm số chỉ có thể có cực trị tại các điểm dừng

Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, chứ chưa phải là điều kiện đủ Điều kiện đủ nêu dưới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự có cực trị hay không

• Nếu D < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm M0(x0, y0)

• Trường hợp D = 0 thì không kết luận được, phải dùng phương pháp khác

Chú ý

Với các giả thiết nêu trên, theo Định lý Schwarz, ta luôn có a12 = a21 Do đó, khi D = a11 a22 - a122 > 0 thì a11.a22> 0 Vậy a11 và a22 có dấu như nhau

Ví dụ 3.18

Tìm cực trị của hàm số w = x3 + 2y3 – 3x – 6y

- Điều kiện cần Điểm dừng của hàm số được xác định từ hệ phương trình:

' x ' 2 2 y

Các điểm (1, -1, 2) và (-1, 1, -2) tương ứng với M3, M4 mà tại đó D < 0, được

gọi là “điểm yên ngựa” (hay còn gọi là điểm “minimax”), được nghiên cứu khá nhiều

trong một vài ngành khoa học khác, như Lí thuyết trò chơi, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học xã hội, logic, khoa học hệ thống và khoa học máy tính

(-1,1,-2)

Các điểm dừng của hàm số được xác định từ hệ phương trình:

x ' y

< 0, vậy hàm số không có cực trị tại M1

Giả sử M x , x , , x 1 2 nlà một điểm dừng của hàm số w = f(x1, x2, , xn) và

tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

Lập ma trận H vuông cấp n với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai của w

tại điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi là ma trận Hess hay Hessian)

a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2

5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

Ta đã xét bài toán cực trị của hàm w = f(x1, x2, , xn) với các biến x1, x2, , xnđộc lập với nhau, tức là giá trị của biến số này không ảnh hưởng đến các biến số khác Trên thực tế, nhiều khi ta phải lựa chọn phương án tối ưu trong bối cảnh các biến

x1, x2, , xn chi phối lẫn nhau bởi những điều kiện ràng buộc nhất định

Ta luôn luôn giả thiết rằng hàm w và các hàm số mô tả điều kiện ràng buộc luôn luôn có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại tất cả các điểm được xét

5.1 Cực trị có điều kiện hàm 2 biến và một phương trình ràng buộc

5.1.1 Bài toán

Tìm cực trị của hàm số w = f(x, y) (14)

với điều kiện g(x, y) = b (15)

Điều kiện (15) còn được gọi là ràng buộc Với sự có mặt của phương trình

ràng buộc (15), miền biến thiên của cặp biến (x, y) bị thu hẹp Khái niệm cực trị có điều kiện được hiểu theo nghĩa địa phương giống như định nghĩa cực trị tự do, chỉ khác ở chỗ tất cả các giá trị của các biến x, y phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc

5.1.2 Phương pháp trực tiếp

Nếu từ (15) ta biểu diễn được y dưới dạng y = φ(x) thì bài toán cực trị có điều

kiện (14)-(15) quy về bài toán cực trị tự do của hàm số một biến số x:

w = fx, (x) F(x)

Phương pháp vừa nêu được gọi là phương pháp trực tiếp

Ví dụ 3.21

Tìm cực trị của hàm số w = xy + 2x (16)

với điều kiện 8x + 4y = 120 (17)

Từ hệ thức (17), ta rút ra y = 30 − 2x Do đó có thể loại bớt biến số y và biểu diễn hàm (16) dưới dạng hàm một biến x:

w = x(30 − 2x) + 2x = 32x − 2x2 (18)

Dễ dàng thấy rằng hàm số (18) đạt giá trị cực đại khi x = 8, khi đó y = 30 − 16 = 14 Vậy hàm số (16), với điều kiện (17) đạt giá trị cực đại khi x = 8, y = 14, wCĐ = 128

5.1.3 Phương pháp nhân tử Lagrange

Trong phương pháp trực tiếp nêu trên, ta xem một trong hai biến x, y là biến độc lập và biến kia phụ thuộc vào nó Hơn nữa, khi ràng buộc (15) phức tạp thì việc áp dụng phương pháp thế để loại bớt biến phụ thuộc sẽ gặp khó khăn Lagrange đề ra một

phương pháp (Phương pháp nhân tử Lagrange) cho phép đưa bài toán cực trị có điều

kiện về bài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến x, y

Xuất phát từ hàm mục tiêu (14) và điều kiện (15) ta lập hàm số, gọi là hàm

Lagrange:

L = L(, x, y) = f(x,y) + [b - g(x, y)] (19) Hàm số L có thêm một biến , gọi là nhân tử Lagrange Chú ý rằng với tất cả

các điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện (15), hàm w = f(x, y) đồng nhất với hàm số L

Có thể chứng minh được rằng, nếu hàm số (14) với điều kiện (15) đạt cực trị tại điểm (x0, y0) thì tồn tại số 0 sao cho bộ ba số thực=0, x = x0, y = y0 thỏa mãn