Giáo trình toán cao cấp phần 1

Phép nhân ma trận với ma trận Cho một ma trận A cấp mxn và một ma trận B cấp nxp Số cột của A bằng số dòng của B Công thức trên có thể phát biểu thành quy tắc như sau: Phần tử nằm ở dòn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI

PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – NGUYỄN HOÀN VŨ

TOÁN CAO CẤP

Dùng cho sinh viên các ngành Công nghệ và Kĩ thuật

2022

MỤC LỤC

Chương 1

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN……… 7

1.1 Các khái niệm cơ bản 7

1.2 Các phép toán tuyến tính trên ma trận 8

1.3 Phép chuyển vị 9

1.4 Phép nhân ma trận với ma trận ……… 10

2 ĐỊNH THỨC ……… 12

2.1 Khái niệm và cách tính ……… 12

2.2 Các tính chất cơ bản của định thức 15

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ……… 17

3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo ……… 17

3.2 Cách tìm ma trận nghich đảo ……… 18

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 20

4.1 Đại cương về hệ phương trình tuyến tính 20

4.2 Hệ Cramer ……… 22

4.3 Phương pháp Gauss ……… 23

4.4 Sơ lược về phương pháp chiếu lặp giải hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn ……… 25

Câu hỏi hướng dẫn ôn tập ……… 28

BÀI TẬP CHƯƠNG 1……… 29

Chương 2 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 35

1.1 Các khái niệm cơ bản ……… 35

1.2 Các phép tính trên hàm số ……… 37

1.3 Các hàm sơ cấp cơ bản ……… 38

2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 42

2.1 Các định nghĩa giới hạn ……… 42

2.2 Các định lý về giới hạn ……… 43

2.3 Hai giới hạn quan trọng ……… 43

2.4 Hàm số liên tục ……… 44

3 ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 47

3.1 Đạo hàm ……… 47

3.2 Đạo hàm cấp cao ……… 50

3.3 Vi phân ……… 51

3.4 Vi phân cấp cao ……… 52

3.5 Các định lý cơ bản về hàm khả vi ……… 53

3.6 Cực trị ……… 57

3.7 Khoảng lồi, khoảng lõm, điểm uốn ……… 58

3.8 Tiệm cận ……… 58

3.9 Khảo sát hàm số ……… 59

3.10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ……… 60

4 TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 61

4.1 Nguyên hàm và tích phân bất định ……… 61

4.2 Tích phân xác định ……… 69

4.3 Tích phân suy rộng ……… 75

4.4 Ứng dụng tích phân xác định tính các đại lượng ……… 78

Câu hỏi hướng dẫn ôn tập ……… 84

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ……… 85

Chương 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ……… 93

1.1 Hàm số hai biến số……… 93

1.2 Hàm số n biến số ……… 95

2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ……… 96

2.1 Giới hạn của hàm số hai biến số ……… 96

2.2 Giới hạn của hàm số n biến số ……… 99

2.3 Hàm số liên tục ……… 100

3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN ……… 101

3.1 Đạo hàm riêng ……… 101

3.2 Vi phân ……… 103

3.3 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao ……… 105

4 CỰC TRỊ TỰ DO HÀM NHIỀU BIẾN ……… 108

4.1 Khái niệm và điều kiện cần của cực trị ……… 108

4.2 Điều kiện đủ ……… 109

5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC ……… 113

5.1 Cực trị có điều kiện hàm 2 biến và một phương trình ràng buộc… 113 5.2 Cực trị có điều kiện hàm n biến và một phương trình ràng buộc… 116

6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ… 119 Câu hỏi hướng dẫn ôn tập ……… 121

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ……… 122

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 125

aaA=

Hai ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn được gọi là bằng nhau nếu tất

cả các phần tử tương ứng của chúng đôi một bằng nhau:

aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n)

Ma trận cấp nxn, tức là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau, được gọi là ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông:

nn n1 n 2

Tổng quát, các phần tử của ma trận cĩ thể là các số thực hoặc phức, các biểu thức tốn, các dữ liệu, Trong học phần này, ta chỉ tập trung xét các ma trận số thực, tức các phần tử aij thuộc tập số thực

Ma trận là đối tượng tốn học được sử dụng trong hầu hết các ngành khoa học

kĩ thuật Ma trận cĩ rất nhiều ứng dụng trong kĩ thuật, chẳng hạn như mơ hình hĩa các mạng điện, đường giao thơng, quá trình sản xuất, Ta xét 1 ví dụ sau:

Ví dụ 1.1 Xét 1 mạng điện gồm 6 nhánh và 4 nút, trong đĩ cĩ 1 nút nối đất Ta đánh số các nhánh và các nút một cách ngẫu nhiên Khi đĩ, mạng cĩ thể mơ tả bởi ma trận A = (ajk), trong đĩ:

1 nếu nhánh k đi ra từ nút j

a 1 nếu nhánh k đi vào nút j

0 nếu nhánh k không dính đến nút j

A gọi là ma trận nút của mạng, đối với mạng trên

A + B = (aij+bij)mxn

Chú ý:

Ma trận khơng, kí hiệu θ, là ma trận cấp tùy ý, cĩ tất cả các phần tử đều bằng

0 Ma trận θ cĩ đặc tính trung hịa với phép cộng

1

2

3

Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu AT

(T là viết tắt từ tiếng Anh transpose, hoặc

có khi kí hiệu là A'), là ma trận có đƣợc từ A bằng cách chuyển hàng thành cột, cột thành hàng:

1.4 Phép nhân ma trận với ma trận

Cho một ma trận A cấp mxn và một ma trận B cấp nxp (Số cột của A bằng số dòng của B)

Công thức trên có thể phát biểu thành quy tắc như sau: Phần tử nằm ở dòng thứ

i và cột thứ k của ma trận AB bằng tổng của n số hạng trong đó mỗi số hạng là tích của một phần tử thuộc dòng thứ i của ma trận A với phần tử tương ứng thuộc cột thứ k của ma trận B

cik = (ai1 ai2 ain)

1k 2k

nk

bb

- Tích AB chỉ thực hiện được khi số cột của A bằng số dòng của B

- Quan trọng: Tích 2 ma trận nói chung không giao hoán Với A và B là 2 ma trận bất kì, khi đổi chỗ trong tích, có thể phép nhân không thực hiện được nữa Ngay

cả khi A và B là 2 ma trận vuông, cùng cấp, khi đổi chỗ vẫn nhân được, nhưng kết quả thường cũng khác nhau

- Ma trận đơn vị, kí hiệu E (hoặc I), là ma trận vuông cấp tùy ý, các phần tử

trên đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại (trên và dưới đường chéo chính) đều bằng 0:

1 0 0

0 1 0E

Chú ý:

Tính chất kết hợp của phép nhân ma trận cho phép ta đề cập đến tích của một

số hữu hạn ma trận: ABC, ABCD, trong đó mỗi ma trận đứng trước có số cột bằng

Ta định nghĩa thêm hai đại lượng có tính bổ trợ sau:

- Trong thực hành tính toán, để tính định thức cấp 3 được nhanh, người ta

thường dùng “Qui tắc hình sao” như sau:

 Ba thành phần mang dấu (+) là: tích các phần tử thuộc đường chéo chính; tích của 2 phần tử nằm trên mỗi đường song song với đường chéo chính với phần tử nằm ở góc đối diện

 Ba thành phần mang dấu (-) thành lập tương tự theo đường chéo phụ

Sơ đồ sau đây biểu diễn trực quan cách thành lập 2 nhóm thành phần nói trên:

Chọn dòng hay cột nào có nhiều phần tử 0 Khai triển định thức đã cho theo dòng thứ ba, ta được:

d = -2A31 + 5A32+ 0.A33 + 0.A34

3 Tính chất 3.Nếu trong định thức đổi chỗ hai dòng (hoặc cột) và giữ nguyên

vị trí của các dòng (hoặc cột) còn lại thì định thức đổi dấu

4 Tính chất 4 Nếu định thức có 2 dòng (hoặc cột) giống nhau thì định thức bằng 0

5 Tính chất 5 Nhân các phần tử của một dòng (hoặc cột) của định thức với cùng một số k ≠ 0 thì định thức tăng lên k lần

6 Tính chất 6 Để ngắn gọn, ta mô tả tính chất 6 cho định thức cấp 3 theo cột

1, tương tự cho các dòng hoặc cột khác và định thức cấp cao hơn

Cách 3 Áp dụng các tính chất, đặc biệt là tính chất 7, để đƣa về dạng đơn giản

hơn: ta nhân các phần tử dòng 1 với (- 4) rồi cộng sang dòng 2, nhân các phần tử dòng

1 với (- 7) rồi cộng sang dòng 3 Cuối cùng, sau khi rút thừa số chung của dòng 3 ra ngoài định thức, ta đƣợc định thức cuối có 2 dòng giống nhau nên bằng 0

Định nghĩa

Ta xét ma trận A vuông có các dạng đặc biệt như sau:

Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên (trường hợp (1)), ma trận tam giác dưới (trường hợp (2)), ma trận đường chéo (trường hợp (3)) Trong cả 3 trường hợp, đinh thức của A đều được tính theo công thức:

|A| = a11.a22…ann

Định lý

Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp, ta có: ABA B

Điều trên được mở rộng cho trường hợp tích của một số hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp Đặc biệt, ta có: An  An

Nếu một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo là duy nhất

Thật vậy, nếu X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A thì:

(XA)Y = EY = Y X(AY) = XE = X

Vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp (XA)Y = X(AY) nên từ đây suy ra

Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A khả nghịch là det (A) ≠ 0

(Ma trận có định thức khác 0 được gọi là ma trận không suy biến)

3.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo

Trong thực hành tính toán có vài phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của một

ma trận khả nghịch: phương pháp ma trận phụ hợp, phương pháp Gauss-Jordan Ở đây

xin giới thiệu phương pháp dựa trên ma trận phụ hợp

a) AX = B b) XA = C c) XA = B

Giải :

det(A) = -2 Ma trận A khả nghịch, ma trận nghịch đảo A-1 = 1,5 −0,5 −2 1a) AX = B ⟺ A-1

AX = A-1B (Nhân trái 2 vế của phương trình với A-1

4.1 Đại cương về hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số là hệ phương trình dạng:

Mỗi nghiệm của hệ (1) là một bộ n số thực (α1, α2,…, αn) thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ

Khi đó, hệ (1) có dạng gọi là dạng ma trận như sau:

Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có chung tập nghiệm Khi

giải hệ phương trình (1), ta thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa hệ (1)

về hệ khác tương đương và dễ giải hơn Các phép biến đổi được gọi là tương đương

nếu khi thực hiện không làm thay đổi tập nghiệm của hệ Ta có các phép biến đổi tương đương đối với hệ (1) sau đây:

1 Đổi thứ tự các phương trình trong hệ

2 Cộng theo vế hai phương trình bất kì trong hệ

3 Loại khỏi hệ các phương trình có tất cả các hệ số của ẩn và hệ số tự do đều bằng 0

4 Nhân 2 vế của một phương trình với cùng một số khác 0

Trong thực hành tính toán, để thuận tiện hơn, thay cho các phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình, người ta thường thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

theo dòng đối với ma trận mở rộng của hệ, đó là ma trận:

2 Cộng các phần tử một dòng nào đó sang các phần tử tương ứng của dòng khác

3 Loại khỏi ma trận các dòng có các phần tử đều bằng 0

4 Nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số khác 0

phương trình, và cho nghiệm rất đẹp khi có hệ là hệ Cramer Nhưng trong trường hợp

hệ suy biến, hay số phương trình không bằng số ẩn, thì phương pháp Cramer không áp dụng được

2 3 4

27x

73x7xx

x + 2x - 2x + x = 07x + 2x - x = 0

Cho α = 0, ta được nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất đã cho

4.4 Sơ lược về phương pháp chiếu lặp giải hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn (Đọc thêm)

Các phương pháp cơ bản nói trên nằm trong số các phương pháp được gọi là

“phương pháp trực tiếp”, thường không áp dụng được khi hệ phương trình có ma trận

hệ số A với kích thước lớn, do không gian lưu trữ và thời gian tính toán quá lớn Đặc biệt trong những trường hợp A là ma trận thưa (hầu hết các phần tử bằng 0, thường hay gặp trong các bài toán thực tế), hay hệ phương trình có số phương trình lớn hơn số

ẩn, các phương pháp trực tiếp càng không phù hợp

Trong số các phương pháp được nghiên cứu để giải các hệ phương trình tuyến

tính cỡ lớn, được dùng nhiều là các phương pháp lặp dựa trên các phép chiếu tuần tự,

điển hình là thuật toán của Kaczmarz, nhà toán học người Ba Lan, được đưa ra năm

1937, lấy cảm hứng từ báo cáo của Hội đồng Nghiên cứu Hàng không Anh năm 1936

về vấn đề tìm cách giải các hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn (trong thời đại lúc đó chưa có máy tính điện tử)

Thuật toán Kaczmarz nhằm mục đích giải hệ phương trình tuyến tính:

Ax = B (5) với A = (aij)mxn, x = (x1, x2,…, xn)T, B = (b1, b2,…, bm)T

Để đơn giản, ta xét hệ phương trình với các ma trận thực, m = n và A khả nghịch Khi

đó (5) là hệ Cramer có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu nghiệm duy nhất này là x*∈ Rn

Do giả thiết ma trận A cỡ lớn, nên việc tìm nghiêm x* theo quy tắc Cramer hay phương pháp Gauss rất khó thực hiện Kaczmarz đưa ra thuật toán tìm x* như sau

Tập hợp Hi = {x ∈ Rn : 𝑥, 𝑎𝑖 = bi}, i = 1, 2,…, n gọi là các siêu phẳng, được

xác định bởi phương trình thứ i của hệ (5) (ở đây, ai là vectơ dòng thứ i của ma trận A

và 𝑥, 𝑎𝑖 là tích vô hướng Euclid của hai vecto x và ai)

Kaczmarz đã đề xuất phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ với x*

bằng phương pháp chiếu vuông góc Từ một điểm bất kỳ x(0)∈ Rn

chiếu vuông góc lên siêu phẳng H1

được x(1)

, từ x(1) chiếu lên siêu phẳng H2 được x(2),…, từ điểm x(n-1)

chiếu lên siêu phẳng Hn được x(n), từ x(n) chiếu lên siêu phẳng H1, sang vòng chiếu mới

Tiếp tục như vậy, sẽ sinh ra một dãy các điểm x(k)∈ Rn, k = 0, 1, 2,…

Khi chiếu vuông góc x(k) lên siêu phẳng Hi (ở đây i = mod(k,n) + 1), tọa độ điểm chiếu x(k+1)

  được gọi là chuẩn của vecto ai

Về sự hội tụ của dãy lặp x(k), k = 0, 1, 2,… Kaczmarz đã chứng minh định lý sau:

Định lý

Với mọi ma trận vuông không suy biến A, với mọi b ∈ Rn

và x(0)∈ Rn

, dãy x (k) được sinh ra bởi (6) hội tụ đến x *

Vấn đề của thuật toán Kaczmarz là tốc độ hội tụ Nó phụ thuộc vào số dòng của ma trận A Trường hợp ma trận A gần suy biến, tốc độ hội tụ rất chậm

Minh họa Thuật toán Kaczmarz với n = 2, m = 2 Tốc độ hội tụ sẽ tăng lên khi

góc giữa hai đường thẳng (siêu phẳng 2 chiều) tăng gần đến 90o

Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất với số phương trình lớn hơn với số

ẩn, thuật toàn trên vẫn được áp dụng Đã có nhiều cải tiến các kiểu chiếu lên các siêu phẳng nhằm tăng tốc độ hội tụ

Minh họa Thuật toán Kaczmarz với n = 2, m = 4

Trường hợp hệ không có nghiệm, người ta đưa ra việc tìm “nghiệm gần đúng”

theo một tiêu chuẩn nào đó chấp nhận được mà chúng ta không đề cập đến trong tài liệu này, và phát triển các thuật toán mở rộng như thuật toán Kaczmarz ngẫu nhiên, thuật toán Cimmino,…

Các thuật toán kiểu Kaczmarz được ứng dụng rất rộng rãi, trong nhiều lĩnh vực như: phục hồi ảnh, xử lí tín hiệu, kĩ thuật tính toán, kĩ thuật ảnh y sinh học,…

Câu hỏi hướng dẫn ôn tập

1 Các khái niệm cơ bản về ma trận và các phép toán, các phép biến đổi trên

ma trận Đặc biệt chú ý luyện tập thành thạo phép nhân 2 ma trận

2 Các cách tính định thức: khai triển theo dòng hoặc cột, dùng các tính chất biến đổi đưa về định thức đơn giản hơn Phương pháp hình sao khai triển định thức cấp 3

3 Ma trận nghịch đảo Khái niệm và cách tìm

4 Đại cương về hệ phương trình tuyến tính Cách giải hệ phương trình tuyến tính Phân biệt rõ các thuận lợi và khó khăn khi sử dụng mỗi phương pháp

sin sincos cos

N =

Bài 14 (Xem ví dụ 1.1.)

a Tìm ma trận nút cho mạng điện vẽ trong Hình 1

b Vẽ sơ đồ mạng tương ứng với ma trận nút N dưới đây

(Hình 1)

Bài 15 Một nhóm cùng đi du lịch, khi đi bằng tàu hỏa, tiền vé 1 triệu đồng/trẻ em và

2 triệu đồng/người lớn thì tổng chi phí là 39 triệu đồng Khi về nhóm đi bằng máy bay với chi phí 4 triệu đồng/trẻ em và 7 triệu đồng/người lớn thì tổng chi phí là 141 triệu

đồng Tìm số lượng trẻ em và người lớn trong nhóm đu lịch

Bài 16 Trong kinh tế điểm cân bằng của thị trường là điểm tại đó lượng cung và

lượng cầu mỗi loại hàng hóa bằng nhau Xét thị trường có 3 loại hàng hóa Biết hàm cung và hàm cầu của 3 loại hàng hóa đó là:

Bài 17 Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công

đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê như sau:

Sản phẩm A: cắt (0.6 giờ), lắp ráp (0.6 giờ), đóng gói (0.2 giờ)

Sản phẩm B cắt (1 giờ), lắp ráp (0.9 giờ), đóng gói (0.3 giờ)

Sản phẩm C: cắt (1.5 giờ), lắp ráp (1.2 giờ), đóng gói (0.5 giờ)

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ công

Hỏi nhà máy phải sản xuất số lƣợng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết công suất?

Bài 18 Hãng Fastcomp Ltd sản xuất hai mẫu máy tính PC786 và PC886 Ma trận A

cho biết chi phí cho mỗi máy (đơn vị nghìn dollar) và ma trận B cho biết tình hình sản xuất năm 2000 (theo quí, đơn vị nghìn chiếc) Tìm ma trận C mô tả các chi phí sản xuất mỗi quí (đơn vị triệu dollar) theo từng loại: nguyên vật liệu, nhân công và các chi

Chương 2 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Đồ thị Gf gồm 2 nửa đường thẳng song song với Ox và điểm gốc O

giảm trong các khoảng R và * R *

Nếu bất đẳng thức cuối trong định nghĩa (*) được thay bằng f(x1)f(x2) (f(x1)

f(x2)) thì hàm số được gọi là tăng theo nghĩa rộng (giảm theo nghĩa rộng) trong

miền U

c Hàm chẵn, lẻ

Hàm số y = f(x) được gọi là chẵn (lẻ) trong miền U nếu: xU ta luôn có (-x)U và f(-x)=f(x) (f(-x)= -f(x)) Về hình học, đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

d Hàm tuần hoàn

Hàm số y = f(x) xác định trong R được gọi là tuần hoàn trong R nếu tồn tại

một số T0 sao cho xR ta luôn có f(x+T) = f(x)

Số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm số y = f(x)

Để vẽ đồ thị hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ trong khoảng 1 chu kì rồi tịnh tiến theo từng khoảng chu kì trên toàn trục số

(f◦g) (x) = f(g(x))

Hàm hợp f◦g còn được gọi là hàm kép hay hàm số của hàm số

Hàm ngược Xét hàm số y = f(x) xác định trên miền X Tập hợp Y =

y R : y f (x), xXđược gọi là ảnh của X qua hàm f và ký hiệu Y = f(X)

Nếu với mỗi giá trị của yY chỉ tương ứng với một giá trị của xX, thì ta có một hàm số mới "x là hàm số của biến số y" Hàm số này được ký hiệu là x = f -1(y)

và được gọi là hàm số ngược của hàm số f Như thế ta có hệ thức tương đương sau:

(x) đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ 1

Sau khi đổi vai trò của x và y, ta có hàm y = logax, (xR, yR)

Vậy tập xác định của hàm logarit là ℝ* + và tập giá trị là ℝ

Khi a > 1 hàm logarit là hàm tăng, khi 0 < a < 1 hàm logarit là hàm giảm trên R  Đồ thị hàm mũ và hàm logarit (cùng cơ số a) đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ 1

1.3.4 Hàm lượng giác

1 y = sinx, y = cosx

Df = R, Rf = [-1,1] Hai hàm số y = sinx, y = cosx đều là các hàm tuần hoàn, chu kỳ 2 Đồ thị của hai hàm trên được vẽ trong hình sau:

Hàm tăng Hàm tăng Hàm tăng

Khi đổi vai trò giữa x và y, ta có hàm ngƣợc y = arcsinx, xác định trên [-1,1] và

2 y = arccosx

Xét y = cosx  x = arccosy  y = arccosx

x[0,] y[-1,1] x[-1,1]

y[-1,1] x[0, ] y[0, ]

Hàm giảm Hàm giảm Hàm giảm

Hàm y = arccosx là hàm giảm có tập xác định là [-1,1] và tập giá trị là [0, ]

Hàm tăng Hàm tăng Hàm tăng

Hàm y = arctgx là hàm tăng, có tập xác định là R và tập giá trị là ,