Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Giáo trình Toán cao cấp được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 2 này gồm 4 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm hai biến; phép tính tích phân; phương trình vi phân; phương trình sai phân; phương trình tuyến tính thuần nhất cập k hệ số hằng; một vài ứng dụng của phương trình sai phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!

• Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1, y1) và M2(x2, y2) trong không gian

R2 được kí hiệu là M1M2 và xác định bởi

M1M2 :=p(x2− x1)2+ (y2− y1)2

• Tập các điểm của R2, cách một điểm M0 cố định nhỏ hơn một số r > 0cho trước gọi là một hình tròn mở tâm M0, bán kính r Mỗi hình tròn

mở như vậy được gọi là một lân cận của điểm M0

• Một "miền" trong mặt phẳng được hiểu là một tập liên thông, nghĩa

là bất kỳ hai điểm nào của tập đó cũng có thể nối được với nhau bởimột đường cong liên tục gồm các điểm nằm hoàn toàn trong tập hợpđó

• Một tập hợp gọi là giới nội nếu tồn tại một hình tròn tâm O, có bánkính hữu hạn chứa nó

• Điểm M gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân cận của điểm

M nằm hoàn toàn trong E Tập các điểm trong của E gọi là phầntrong của E

• Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong

• Điểm N được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của điểm Nđều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E Tậphợp tất cả những điểm biên của tập E được gọi là biên của E

• Tập E được gọi là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên

• Dễ thấy tập E là đóng thì tập bù của nó trong không gian chứa nó là

mở và ngược lại

Định nghĩa hàm hai biến

Định nghĩa 7.1 Cho tập E trên Oxy Một quy luật f , đặt tương ứng mỗicặp giá trị (x, y) ∈ E của các biến x; y với một và chỉ một giá trị củabiến z bởi đẳng thức z = f (x, y) gọi là một hàm của hai biến độc lập x và

y z gọi là biến hàm hay biến phụ thuộc Tập E gọi là tập xác định Tập

f (E) := {z = f (x, y) : (x, y) ∈ E} gọi là tập giá trị

Ta cũng dùng cách kí hiệu sau để mô tả quan hệ hàm nói trên:

f : E → R : (x, y) 7→ z = f (x, y)

Chú ý Phép tương ứng có thể được cho bởi một công thức giải tích Trongtrường hợp đó, tập xác định của hàm là tập các điểm (x, y) sao cho tất cảcác phép tính trong công thức đó đều có nghĩa

Đồ thị của hàm hai biến

Cho hàm z = f (x, y) xác định trên tập E ⊆ (Oxy) Tập các điểm {(x, y, f (x, y)) :(x, y) ∈ E} trong hệ tọa độ Oxyz của không gian ba chiều gọi là đồ thị củahàm số đó Đồ thị của các hàm hai biến thường là các mặt cong trong khônggian Để dễ hình dung về đồ thị đôi khi người ta phác hoạ nó trên mặt phẳng.Việc dùng một mặt phẳng để biểu diễn một cách chính xác một mặt khônggian là không thể Hình vẽ biểu thị mặt cong đồ thị chỉ là một cách vẽ môphỏng, giúp ta có thêm một góc độ nhìn nhận về đồ thị đó mà thôi Ta xét

ví dụ sau:

Ví dụ 7.1 Phác hoạ đồ thị hàm hai biến sau

z =p1 − x2− y2

Lời giải Hàm số xác định với mọi x, y thoả mãn điều kiện

Giới hạn bội và giới hạn lặp

Định nghĩa 7.2 Giả sử M0(x0, y0) là một điểm trong hoặc điểm biên củamiền E ⊆ (Oxy) Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền E Số thực Lđược gọi là giới hạn của f (x, y) khi M (x, y) dần tới M0(x0, y0) nếu với mọi

 > 0 bé tùy ý luôn tìm được δ > 0 đủ bé sao cho với (x, y) ∈ E:

0 < p(x − x0)2+ (y − y0)2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < 

Giới hạn này gọi là giới hạn bội của f (x, y) trong quá trình (x, y) → (x0, y0)

và nó được kí hiệu như sau:

Với hàm hai biến ta cũng có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, hợp hàm.Các hàm được xây dựng nhờ các phép tính như vậy trên các biểu thức sơcấp của x và y gọi là các hàm được cho bởi một biểu thức sơ cấp Ta có kếtquả:

Mệnh đề 7.1 Nếu f (x, y) là hàm được cho bởi một biểu thức sơ cấp xácđịnh trên một lân cận của điểm (x0, y0) thì

lim

x→0 y→0

xy

x2+ y2

Quả vậy Xét hai quá trình riêng:

xy

x2+ y2 = lim

x→0 y=x→0

x2

x2 + x2 = 1

2.Trong hai quá trình riêng hàm số dần tới hai giới hạn khác nhau Vậy, giớihạn trên không tồn tại

Tính liên tục của hàm hai biến

Khái niệm hàm hai biến liên tục trên một tập mở là hoàn toàn tương tự nhưtrường hợp hàm một biến Riêng với trường hợp tập đóng, tính liên tục tạicác điểm biên khó hình dung hơn do cách tiến của các điểm trong mặt phẳngtới một điểm nào đó là đa dạng hơn so với các cách tiến trong R1

lim

(x,y)∈E,(x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y) = f (x0, y0)

• Nói hàm z = f (x, y) liên tục trên miền E nếu nó liên tục tại mọi điểmtrong của E còn tại mọi điểm biên của E thuộc E hàm số liên tục từphía E

Khi hàm số được cho bởi một biểu thức sơ cấp trên một miền nào đó thì tínhliên tục của hàm số đó được đảm bảo bởi tính chất các phép tính (tương tựnhư với các hàm số một biến số) Do đó, ta có kết quả:

Mệnh đề 7.2 Hàm số được cho bởi một biểu thức sơ cấp xác định trên miền

E thì liên tục trên miền E

xy

x2 + y2

không tồn tại (xem Ví dụ 7.3)

Ví dụ 7.5 Xét tính liên tục của hàm số sau trên R2

+) Tại các điểm biên của hình tròn E dễ thấy hàm số gián đoạn (giới hạn

từ phía E và từ phía R2\ E không như nhau)

Phụ thuộc vào các cách tiến khác nhau của (∆x, ∆y) tới (0, 0) ta có cáckhái niệm khác nhau về đạo hàm của hàm hai biến Dưới đây ta nêu một loạiđạo hàm đơn giản nhất, tương ứng với hai cách tiến đặc biệt của M (x, y) tới

M0(x0, y0) (hay (∆x, ∆y) tới (0, 0))

Đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa 7.4 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định trên tập {(x + ∆x), y} với

∆x đủ bé về trị tuyệt đối và giới hạn sau tồn tại, hữu hạn:

Tương tự ta có khái niệm đạo hàm riêng của hàm z theo biến y tại (x, y).Trong thực hành, để tính zx0(x, y) ta chỉ việc coi y là hằng số và lấy đạo hàmcủa z(x, y) theo biến x Tính zy0(x, y) bằng cách tương tự

Đạo hàm riêng cấp cao

Giả sử hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng trên tập mở E Khi đó, bảnthân các đạo hàm riêng đó cũng là các hàm hai biến Chúng có thể có cácđạo hàm riêng Trong trường hợp đó ta định nghĩa:

z0x(x, y) = yxy−1; zy0(x, y) = xyln x; z”xx(x, y) = y(y − 1)xy−2;

z”yy(x, y) = xyln2x; z”xy(x, y) = z”yx(x, y) = yxy−1ln x + xy−1.b)

1 +yx

(x2+ y2)2; zyy00 = x

x2+ y2

0 y

= −(x

2+ y2) − y.2y(x2+ y2)2 = y

2− x2

(x2 + y2)2

Vi phân toàn phần

Ta vẫn dùng kí hiệu ∆x; ∆y để chỉ số gia của các biến x; y

Định nghĩa 7.5 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định trên một lân cận của điểm(x, y) Với ∆x, ∆y đủ nhỏ về trị tuyệt đối sao cho (x + ∆x; y + ∆y) cũngthuộc lân cận đó Khi đó nếu tồn tại các hàm A(x, y); B(x, y) sao choz(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y) = A(x, y)∆x + B(x, y)∆y + α(∆x) + β(∆y)trong đó α(∆x); β(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x; ∆y trong quátrình p∆x2+ ∆y2 → 0 thì ta nói hàm số đó khả vi tại (x, y) và biểu thức

dz := A(x, y)∆x + B(x, y)∆y

gọi là vi phân toàn phần của hàm số đó tại (x, y)

Hàm số gọi là khả vi trên tập mở E nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc E.

Dễ thấy: dx = ∆x; dy = ∆y, do đó:

dz := A(x, y)dx + B(x, y)dy

Tính khả vi của các hàm hai biến là một khái niệm khó Hàm số có các đạohàm riêng, thậm chí có các đạo hàm riêng liên tục tại M0(x0, y0) thì cũngchưa chắc đã khả vi tại điểm đó Vì vậy, ta sẽ không tìm hiểu sâu hơn màchỉ công nhận kết quả sau:

Định lí 7.1 Nếu hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng theo x và theo y trênmột lân cận của điểm M (x, y) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M (x, y)thì hàm số khả vi tại điểm đó và

Từ đây ta lại có hệ quả:

Hệ quả 7.1.1 Nếu hàm z = z(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm(x, y) thì với ∆x, ∆y nhỏ về trị tuyệt đối ta có xấp xỉ

z(x + ∆x, y + ∆y) ∼= z(x, y) + zx0(x, y)∆x + zy0(x, y)∆y

Chú ý

1) Hai công thức gần đúng trên đây cho phép ta thay việc tính toán mộtbiểu thức thường là phức tạp (dạng phi tuyến) bởi một biểu thức đơn giảnhơn (dạng tuyến tính đối với ∆x, ∆y)

2) Nói chung khi ∆x, ∆y càng bé về trị tuyệt đối thì sai số hệ thống càngnhỏ, phép xấp xỉ càng tốt

3) Cũng như trong phép tính gần đúng bằng vi phân (hàm một biến), kết

quả các phép tính xấp xỉ luôn được viết ở dạng số thập phân, độ chính xáctuỳ theo yêu cầu ở đầu bài.

sự tồn tại của hàm ẩn và công thức tính đạo hàm của nó mà không đòi hỏiphải biết biểu thức tường minh của hàm số Lưu ý rằng dù hàm ẩn tồn tại

thì việc tìm dạng tường minh của nó không phải bao giờ cũng cần thiết vàkhông phải bao giờ cũng thực hiện được.

Định lí 7.2 Cho đẳng thức giữa hai biến x, y: F (x, y) = 0 và điểm M0(x0, y0)thoả mãn hệ thức F (x0, y0) = 0 Giả sử hàm F (x, y) có các đạo hàm riêngliên tục tại M0 và Fy0(x0, y0) 6= 0 Khi đó tồn tại một lân cận của M0 saocho trên đó xác định được một hàm ẩn của y theo x Hàm này liên tục tại

• Nếu điều kiện của Định lý 7.2 thoả mãn tại mọi điểm (x, y) ∈ Ethỏa mãn đẳng thức trên thì có thể xác định hàm tường y = y(x) với

y0(x) = −F

0

x(x, y)

F0

y(x, y), ∀(x, y) ∈ E tại lân cận của các điểm đó.

• Người ta cũng thường dùng kí hiệu như sau:

(x,y)

• Vai trò của các biến x và y trong định lý này là bình đẳng

Ví dụ 7.8 Cho đẳng thức x2+ y2 = 4

1) Tính đạo hàm của y theo x

2) Tính đạo hàm của y theo x tại điểm A(1,√

x

y.2) Tại A(1;√

3) ta có hàm ẩn của y theo x với đạo hàm là:

y0(1) = −F

0

x(1;√3)

F0

y(1;√3) = −

3) ta có hàm ẩn của y theo x với đạo hàm là:

1

√

3.3) Tại C(2; 0) ta thấy Fy0(2; 0) = 2.0 = 0, không thỏa mãn điều kiện của định

lý hàm ẩn để tìm hàm y theo biến x

Nhận xét Với bài này ta có thể xác định được dạng tường của hàm ẩn trênhai nửa mặt phẳng Ta có thể kiểm tra các kết quả bằng hai cách tính: trựctiếp hoặc dùng định lý hàm ẩn

7.3 Bài toán cực trị

Bài toán tìm cực trị địa phương và cực trị toàn cục (giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất) của các đại lượng biến thiên là bài toán cổ xưa nhất, có nhiềuứng dụng nhất trong hầu hết các lĩnh vực hoạt động của con người

Định nghĩa cực trị

Đầu tiên ta phát biểu khái niệm cực trị tự do hay cực trị không có điều kiệncủa hàm hai biến

Định nghĩa 7.6 Nói hàm z = f (x, y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm

M0(x0, y0) nếu tồn tại một lân cận của điểm M0 sao cho trên lân cận đó hàm

số luôn xác định và bất đẳng thức f (x, y) ≤ f (x0, y0)(f (x, y) ≥ f (x0, y0)) luônthoả mãn

Giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi chung là cực trị Giá trị cực đại hoặccực tiểu trong định nghĩa trên chỉ mang tính địa phương Để tránh nhầmlẫn, trong chương này ta quy ước dùng các kí hiệu fcd; fct; fctr để chỉ giá trịcực đại; cực tiểu; cực trị địa phương của hàm f (x, y)

Điều kiện cần của cực trị

Định lí 7.3 Nếu hàm z = z(x, y) đạt cực trị tại điểm M0(x0, y0) và tại đóhàm số có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó triệt tiêu tại M0,

Điều kiện đủ của cực trị.

Ta đã biết, nếu hàm số có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai thì biểuthức dưới đây gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm số đó tại điểm

M0(x0, y0) :

d2z(x0, y0) = z”xx(x0, y0)∆x2+ 2z”xy(x0, y0)∆x∆y + z”yy(x0, y0)∆y2

Ta công nhận kết quả sau:

Định lí 7.4 Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm z = z(x, y), hàm

số có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại M0 Khi đó:

1) Nếu d2z(x0, y0) là một dạng toàn phương xác định dương của ∆x, ∆y thìtại M0 hàm số có cực tiểu

2) Nếu d2z(x0, y0) là một dạng toàn phương xác định âm của ∆x, ∆y thì tại

M0 hàm số có cực đại

3) Nếu d2z(x0, y0) là một dạng toàn phương đổi dấu của ∆x, ∆y thì tại M0

hàm số không có cực trị

Đặt A = z”xx(x0, y0), B = z”xy(x0, y0), C = z”yy(x0, y0)

Áp dụng định lý Sylvester, ta có kết quả dễ nhớ hơn như sau:

Mệnh đề 7.4 Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm z = z(x, y),hàm số có các đạo hàm riêng liên tục tới cấp hai tại M0 Khi đó:

1) Nếu B2− AC > 0 thì tại M0 hàm số không có cực trị

2) Nếu B2 − AC < 0 thì tại M0 hàm số có cực trị và đó là cực đại nếu

2) Trong định lý, hàm số được giả thiết có các đạo hàm riêng tại M0 Như

vậy M0 là điểm tới hạn loại một Ta bỏ qua việc tìm cực trị tại các điểm tớihạn loại hai (có đạo hàm riêng bằng vô cùng hoặc không tồn tại).

Ví dụ sau là một ứng dụng của bài toán cực trị tự do vào thực tiễn:

Cho một tập điểm trên mặt phẳng: Mi(xi; yi), i = 1, 2, , n Biết vị trí củachúng có xu hướng phân bố xung quanh một đường thẳng nào đó Tìmphương trình đường thẳng, khái quát sự phân bố của các điểm đó một cáchtốt nhất theo nghĩa: tổng bình phương các sai khác của tung độ các điểm đãcho so với tung độ của các điểm có cùng hoành độ, nằm trên đường thẳngcần tìm là nhỏ nhất

Ta lưu ý rằng tổng bình phương các độ lệch này càng nhỏ thì việc dùngđường như trên để phác hoạ sự phân bố của tập điểm là càng tốt Đặc biệt,nếu sai lệch bằng 0 thì nghĩa là các điểm đó nằm trên chính đường thẳng đó.Phương pháp này là công cụ rất có hiệu quả trong phân tích phương sai, lýthuyết dự báo,

Lời giải Dạng đường thẳng cần tìm là y = ax + b, a, b là các tham số chưabiết, cần tìm Xét bài toán:

(xi− X)2 < 0 Vậy điểm (a∗; b∗)chính là nghiệm tối ưu của bài toán trên, hay đường thẳng y = a∗x + b∗ làđường thẳng cần tìm

Ta xét hai trường hợp đơn giản: Khi tập ràng buộc được cho bởi một quan

hệ hàm ở dạng tường hoặc ở dạng ẩn:

1 Điều kiện được cho bằng hàm tường

Bài toán: Tìm cực trị của hàm f (x, y) với điều kiện y = g(x)

Bài toán này có thể đưa về bài toán cực trị của hàm một biến z = f [g(x)]:

(

f (x, g(x))

y = g(x)

2 Điều kiện được cho bằng hàm ẩn

Bài toán: Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) với điều kiện g(x, y) = 0

Trường hợp từ g(x, y) = 0 có được hàm hiện y = ϕ(x) hoặc x = ϕ(y) thì vềđược trường hợp đầu

Phương pháp nhân tử Lagrange

Ở bài toán cực trị có điều kiện với ràng buộc dạng g(x, y) = 0 trong trườnghợp từ ràng buộc trên chưa thể tìm được công thức tường minh của hàm ẩnthì người ta thường sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange dưới đây.Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng buộc:

(

z = f (x, y),g(x, y) = 0

Lập hàm số sau và gọi nó là hàm Lagrange:

L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y)

Ta công nhận các kết quả sau:

Điều kiện cần của cực trị

Định lí 7.5 Giả sử các hàm f (x, y); g(x, y) có các đạo hàm riêng liên tụctrên một lân cận của điểm M0(x0; y0) và gy0(x0; y0) 6= 0 hoặc gx0(x0; y0) 6= 0.Khi đó, nếu hàm số đạt cực trị tại M0 thì tồn tại số thực λ0 sao cho bộ ba(x0, y0, λ0) thoả mãn hệ phương trình:

Điều kiện đủ của cực trị.

Định lí 7.6 Giả sử (x0, y0, λ0) là một điểm dừng của hàm Lagrange Giả sửhàm g(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp một, hàm f (x, y) có cácđạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trên một lân cận của điểm M0(x0; y0) và

gy0(x0; y0) 6= 0 hoặc g0x(x0; y0) 6= 0 Đặt (định thức sau đây có tên gọi là địnhthức Hessian tại điểm nghi ngờ (x0, y0, λ0)):

|H| :=

...

2) Hệ ba phương trình ba ẩn để tìm điểm dừng hàm Lagrange nóichung hệ phi tuyến Ta thường giải chúng theo cách khác nhau,chẳng hạn phương pháp Nên ý đến trường hợp phương trình với...

Ví dụ 7.8 Cho đẳng thức x2< /small>+ y2< /small> =

1) Tính đạo hàm y theo x

2) Tính đạo hàm y theo x điểm A(1,√

x

y.2) Tại A(1;√

3)... 12< /sub>; h”(12< /sub>) = > Hàm h(x) đạt cực tiểu x = 12< /sub> Khi y = 12< /sub>.Vậy z(x, y) đạt cực tiểu điểm (12< /sub>,1