Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Phần 1 của giáo trình Toán cao cấp 1 tiếp tục trình bày kiến thức cơ bản về phép tính giải tích hàm nhiều biến như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân và cực trị tự do của hàm nhiều biến; phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính và ứng dụng của tích phân hai lớp và tích phân ba lớp;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2.1 Các khái niệm cơ bản

Mỗi phần tử trong R n gọi là điểm, thường kí hiệu là M(x1,x2, ,xn), N(y1,y2, ,yn)

Trong toàn bộ giáo trình, khi nói khoảng cách giữa hai điểm

M(x1,x2, ,xn), N(y1,y2, ,yn) trong không gian Ơclid R n, kí hiệu d(M, N), ta hiểu

khoảng cách được định nghĩa như sau:

2 2

2 1

Vậy nếu M x x( ; ), ( ; )1 2 N y y1 2 là hai điểm trong R 2, khoảng cách giữa hai

điểm kí hiệu là d(M, N) được tính theo công thức:

(y x) (y x )Cho M0 là một điểm thuộc R2 Người ta gọi -lận cận của M0 là tập hợp tất

cả những điểm MR 2 sao cho d(M0, M) < , kí hiệu V M( 0) Người ta gọi lận

cận của M0 là mọi tập hợp chứa một -lận cận của M0

Hình 2-1

Cho ER 2 Điểm ME được

gọi là một điểm trong của E nếu tồn

tại một -lận cận của M nằm hoàn

toàn trong E Tập E được gọi là tập

mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm

trong Tập hợp tất cả các điểm trong của E kí hiệu E o Hình 2-2

Cho tập hợp ER 2 Điểm NR 2 được gọi là điểm biên của E nếu mọi

-lận cận của Nđều vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không

thuộc E



M



lận cận của M0

Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E, cũng có thể không thuộc E Tập hợp tất

cả các điểm biên của E được gọi là biên của E, kí hiệu E

Hình 2-3

Tập hợp E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (tức là điểm biên của E là một bộ phận của E)

Ta có thể liên hệ các khái niệm trên đối với tập con của tập số thực R

Trong tập hợp số thực, tập (a;b) là tập mở, các điểm x thoả mãn a<x<b là điểm trong, a,b là hai điểm biên Tương tự tập [a;b] là tập đóng, trong đó các điểm x thoả mãn a<x<b là điểm trong, a,b là hai điểm biên

Trong mặt phẳng, cho điểm M0 là một điểm cố định và r là một số dương:

0

( , )

MR d M M r là một tập hợp mở, gọi là hình tròn mở tâm M0, bán kính r, kí hiệu B M ( 0; )

0

( , )

MR d M M r là một tập hợp đóng, được gọi là hình tròn đóng tâm M0, bán kính r, kí hiệu B M ( 0; )

Hình 2-4

Đường tròn tâm M0, bán kính R là biên của tập A,B

Tập hợp E được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một hình tròn chứa

M là điểm biên của E

Tập hợp E được gọi là được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất

kỳ M1, M2 của E bởi một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong E Tập hợp liên thông gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một đường cong kín, là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một

D được gọi là miền xác định của hàm f x1,x2, ,xn được gọi là các biến độc lập

Để thuận lợi cho việc kí hiệu hàm nhiều biến, ta xem x1,x2, ,xn là các toạ

độ của một điểm MR n trong một hệ toạ độ nào đó, khi đó ta cũng có thể viết

hàm số một cách ngắn gọn u = f(M) và coi f là hàm điểm của M

2.1.2.2 Miền xác định của hàm nhiều biến cho bởi biểu thức

Cho hàm số u = f(M), nếu không nói gì thêm về miền xác định của hàm

số, ta hiểu miền xác định của hàm số u là tập hợp tất cả

những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, thường đó

Biểu diễn bằng biểu thức giải tích, ví dụ 2 2

f x y z  xye  , biểu diễn bằng đồ thị (biểu diễn hình học), biểu diễn bằng các đường đồng mức, sử dụng bảng số

liệu

2.1.2.3 Biểu diễn hình học hàm hai biến

Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền

D Người ta biểu diễn hình học hàm hai biến z

như sau:

- Trong không gian 0xyz, biểu diễn miền

D trên mặt phẳng 0xy

- Với mỗi điểm M(x,y)D, cho ứng với

điểm P(x,y,z)(0xyz) sao cho z=f(x,y)

- Khi đó với M chạy trong miền D thì ta

có tập hợp điểm P tương ứng trong không gian

Tập hợp điểm P được gọi là đồ thị của hàm số z

Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là

mặt z = f(x,y) Đây là một mặt cong trong không

gian ba chiều với hệ tọa độ Decartes Oxyz

Nếu không dùng phần mềm vẽ đồ thị thì rất khó có thể vẽ đồ thị hàm biến Tuy nhiên, có một cách khác để hiểu và mô tả bản chất hình học của một

hàm số, đó là vẽ các đường mức

Cho hàm số z = f(x,y) Tập hợp các điểm (x ,y) nằm trong miền xác định của hàm số và thỏa mãn f(x,y)=c gọi là một đường mức của hàm số

Tập hợp các điểm này tạo thành các đường cong, đó là hình chiếu thẳng

đứng lên Oxy của giao đồ thị của hàm với mặt phẳng ngang z = C.

Hình 2-9

Hình 2-10 Đồ thị hàm số Hình 2-11 Đường mức của hàm số ( , ) 2 32

Tương tự đối với hàm số 3 biến u= f(x,y,z), tuy không biết được hình dạng của hàm 3 biến trong không gian, nhưng ta có thể dùng các mặt mức để biểu diễn hình học hàm 3 biến

Tập hợp các điểm (x ,y,z) nằm trong tập xác định của hàm số và thỏa mãn

f(x,y,z)=c gọi là một mặt mức của hàm số

2.1.2.4 Các mặt cong bậc hai

Hình 2-16 f Mặt nón elliptic thực x22 y22 z22 0 a b c  (Hình 2-17)

Hình 2-17 g Mặt trụ Mặt trụ elliptic: x22 y22 1 a b  (Hình 2-18)

Hình 2-18

Mặt trụ parabolic : x2  2ax 0 (Hình 2-19)

Hình 2-19 Mặt trụ hyperbolic x22 y22 1 a b  (Hình 2-20)

Hình 2-20

2.1.3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số

2.1.3.1 Giới hạn của hàm 2 biến

Định nghĩa 2.1.3.1 Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần tới điểm M0(x0; y0) trong R2 và viết M n M0 khi n   nếu lim ( n, 0) 0

Định nghĩa 2.1.3.2 Giả sử hàm số z = f(x,y) = f(M) xác định trong một lân cận V

nào đó của điểm M0(x0,y0), có thể trừ tại M0 Ta nói rằng hàm số f(M) có giới hạn

L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) (khác M0) thuộc lân cận V dần đến M0 ta đều có lim ( , )n n

n f x y L

  Khi đó ta viết:

0 0 ( , ) ( , )lim ( , )

Định nghĩa 2.1.3.2 tương đương với định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 2.1.3.3 Hàm số f(M) có giới hạn L khi M dần đến M0 nếu

Do ( ; )x y (0,0) thì 2x23y6 →0 nên không thể áp dụng các tính chất giới hạn của thương

Cho ( , )x y tiến đến điểm (0;0)theo phương của đường thẳng y = kx ta có:

lim

y x

k x

k

kx y

Vậy khi (x, y)  (0, 0) theo phương khác nhau, f(x, y) dần tới những giới hạn

khác nhau Do đó không tồn tại giới hạn nói trên

Giới hạn hàm n biến (n  3) định nghĩa hoàn toàn tương tự như giới hạn

  nên  , với mọi x: 0 < d(M,M0) < | f (M)- b|<1

Vậy với mọi x: 0 < d(M,M0) < ta có| g(f(x))- c|<, điều này chứng tỏ

0

0





Giải Ta có:    

2

32

3.3

3sinlim2

3sinlim

0

0 0

xy y

x y

x

2.1.3.2 Tính liên tục

Định nghĩa 2.1.3.4 Cho hàm số f(M) xác định trong miền D  Rn, M0 là một

điểm thuộc D Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu

M M f M f M

Định nghĩa 2.1.3.5 Hàm số f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên

tại mọi điểm thuộc D

Ví dụ

( , ) ( , )lim , lim( , ) ( , ) , lim( , ) ( , )

x y a b x a x y a b y b x y a b C C

      (C là hằng số, mọi ( , )a b R2)

Vậy các f x y( , ) x g x y, ( , ) y h x y, ( , ) Clà các hàm liên tục trên R2

Định nghĩa 2.1.3.6 Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu 0,

 sao cho với mọi cặp điểm M', M" thuộc D mà d(M',M") <  ta đều có

Hàm đa thức hai biến là tổng đại số của các đơn thức dạng cx y m n, trong

đó c là hằng số, m, n là các số tự nhiên, vậy nó được xây dựng từ các hàm đơn giản f x y( , ) x g x y, ( , ) y h x y, ( , ) C bằng hữu hạn các phép toán cộng, nhân Các hàm này liên tục trên R2, vậy hàm đa thức hai biến liên tục trên R2

Hàm phân thức hai biến là tỉ số của hai đa thức hai biến , vậy hàm phân

thức hai biến liên tục trên tập xác định của nó

Ví dụ x3x y xy2  2 là hàm đa thức, nó liên tục trên R2,

( , ) (1,2)lim sin sin(1.2) sin 2, ( , ) (1,0)lim

Liên hệ giữa tính liên tục và liên tục đều

Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trên một miền đóng và bị chặn thì nó

liên tục đều trên miền đó

2.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến

2.2.1 Đạo hàm riêng

2.2.1.1 Đạo hàm riêng cấp 1

Định nghĩa 2.2.2.1 Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong một miền D Cho

M0(x0, y0) là một điểm của miền D Nếu cho y = y0, hàm số một biến số

u = f(x, y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f

đối với x tại M0 và ký hiệu là

 0 0  0 0  0 0

x

u hay y

x x

f hay y

x x

0, lim Tương tự như vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f(x,y) đối với y

x y

f hay y

Chú thích Ý nghĩa hình học của hàm số có thể được minh họa qua ví dụ cụ thể

sau: Trong không gian Oxyzcho mặt cong có phương trình z f x y( , ), trong đó

Một cách khái quát, cho hàm số u= f x y, xác định trong một miền D

Ta cho y cố định và x biến thiên Nếu tồn tại giới hạn

0

( , ) ( , ) lim

giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm số u= f x y, đối với x ( hoặc đạo hàm

riêng của hàm số u= f x y, theo x), đạo hàm riêng đó có các kí hiệu như sau

Để ý rằng cách viết khác hẳn khi f là một hàm của một biến x Đạo hàm

của hàm một biến u= f x ) kí hiệu là df

dx hay f x'( )))

Tương tự người đọc cũng có thể dễ dàng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm

số u = f(x, y) đối với y

Nhận xét Khi tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến nào, ta xem như hàm số

chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến số khác coi như không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm ( đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, đạo hàm hàm

hợp…) của hàm số một biến số

Đạo hàm của hàm n biến (n  ) được định nghĩa một cách tương tự như

hàm số hai biến số

Chẳng hạn, cho hàm u = f(x, y), khi tính đạo hàm riêng theo biến x, ta coi

y là hằng số, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm một biến x để tính đạo hàm theo biến x

Cho hàm u = f(x,y, z), khi tính đạo hàm riêng theo biến x, ta coi y, z là hằng

số, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm một biến x để tính đạo hàm theo biến x Khi tính đạo hàm riêng theo biến y của hàm số u = f(x, y,z), ta lại coi x,z như



 (x, y) 2)

u x



 (1, 2) ,

u y



 (1, 2)

 (x,y) vừa tính được ta có

u x

tuyến của mặt S nếu nó là tiếp tuyến tại M0 của một đường nào đó trên mặt S đi qua M0 Tập hợp gồm tất cả những tiếp tuyến của mặt S tại một điểm chính quy 0

M là một mặt phẳng đi qua M0 (xem hình 2.23) Mặt phẳng này được gọi là tiếp diện của S tại M0

Giả sử f có các đạo hàm riêng liên tục Phương trình tiếp diện của mặt cong

Hình 2-23

2.2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 2.2.1.2 Các đạo hàm của đạo hàm riêng hàm hai biến

( , )

z f x y vừa định nghĩa như trên còn gọi là đạo hàm riêng cấp một, các hàm số này cũng là hàm số hai biến Đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp hai

Ta biết rằng đạo hàm riêng có theo biến x được kí hiệu f

2f

y x



  (trong cách kí hiệu này, thứ tự đạo hàm tính phải qua trái )

Ta biết rằng đạo hàm riêng theo biến x cũng có thể kí hiệu là '

x

f , tính đạo hàm riêng hàm '

Như vậy ta có các cách kí hiệu đạo hàm riêng cấp hai ( f)

y x

 

  (hay ' '

(f x)y, '

x f

f x

f y

u xy

  mô tả chuyển động trên một chiều

không gian x, như chuyển động của các loại sóng : sóng biển, sóng âm thanh,

sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung

2.2.2 Vi phân toàn phần

2.2.2.1 Vi phân toàn phần

Định nghĩa 2.2.2.1 Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D Lấy các điểm

M0(x0, y0)  D, M (x0 + x, y0 + y )  D Biểu thức f(x0 + x, y0 + y ) - f(x0,

y0 ) được gọi là số gia toàn phần của f(x, y) tại M0 , kí hiệu là f (x0, y0 ) hay z (x0, y0)

Nếu có thể biểu diễn nó dưới dạng f (x0, y0 ) = Ax + By + x + y trong đó A,B là những số chỉ phụ thuộc (x0, y0), còn ,  dần tới 0 khi M  M0,

tức là khi x  0, y  0, thì ta nói rằng hàm số z khả vi tại M0, còn biểu thức

Ax + By được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) tại M0 và được

ký hiệu là dz (x0, y0) hay df (x0, y0) Vậy: df (x0, y0 )= Ax + By

Định nghĩa 2.2.2.2 Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó

khả vi tại mọi điểm của miền D

Nhận xét Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì z = f(x, y) liên tục

tại điểm M0(x0, y0) Vấn đề đặt ra là A,B được xác định như thế nào

a Công thức tính vi phân toàn phần

1) Nếu hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0, y0) và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0(x0, y0) thì hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm

M0(x0, y0) và ta có 0 0 , 0

, 0(x y, ) x(x y, ) y( , )

dz  f  x f x y y

Ý nghĩa hình học của vi phân dz là biểu thị sự thay đổi theo chiều cao

của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong z f x y( , ) khi ( , )x y thay đổi từ

0 0

( , )x y đến (x0 x y, 0 y), trong khi z là biểu thị sự thay đổi theo chiều cao

của mặt cong z f x y( , )khi ( , )x y thay đổi từ (( , )x y0 0 ) đến (x0 x y, 0 y)

Hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính toán đơn giản hơn

b Công thức tính gần đúng Cho hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0)

Khi x và y có trị số tuyệt đối khá bé, ta có thể xem f  df, vì vậy ta có:

z(1 + 0,02; 1 - 0,05)  z(1, 2) +2.1 0,021 + 12.ln1.(-0,01) = 1,04

Tương tự ta có thể định nghĩa vi phân toàn phần và ứng dụng tính gần đúng cho hàm n biến số (n 3 )

Nếu hàm số z = f(x, y, z) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0, y0,

z0 ) và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì hàm số z = f(x, y, z) khả vi tại

điểm M0 và ta có ' ' '

dz f dx f dy f dz 

2.2.2.2 Vi phân toàn phần cấp cao

Định nghĩa 2.2.2.3 Cho hàm số z = f(x, y) Vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại,

được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của z và được kí hiệu d2z Vậy

d2z=d(dz) Tương tự như vậy ta định nghĩa vi phân cấp n:

dn(z)=d(dn-1z)

Công thức tính

Giả sử x, y là các biến số độc lập, khi ấy dx x dy,  y là những hằng

số không phụ thuộc x, y Giả sử f ’’ xy và f ’’

yx liên tục, khi đó chúng bằng nhau

Chú ý các công thức trên chỉ áp dụng nếu x,y là các biến độc lập Khi x, y không

là biến độc lập, công thức trên không còn đúng nữa

Ví dụ 3 Cho f(x; y)=xcos(xy.)

1) Tính df x y( , )

Để đơn giản, ta xét trường hợp n = m = 2 Đặt F = f, ta có

F(x,y) = f[(x,y)] = f[u(x,y), v(x,y)]

b.Đạo hàm của hàm hợp Nếu f có các đạo hàm riêng

v

f u

và nếu u, v có các đạo hàm riêng

y

v x

v y

u x

đạo hàm riêng

y

F x

f y

u u

f y

v v

f x

u u

f x F

.

.

u x

u

là ma trận Jacôbi của ánh xạ  hay ma trận Jacôbi của

u, v đối với x, y, định thức của ma trận ấy được gọi là định thức Jacôbi của u, v đối với x, y ,ký hiệu là  

 x y D

v u D

f y

u u

f y

v v

f x

u u

f x f

Khái quát ta có kết quả:

Giả sử f là hàm của n biến u u1, , ,2 u n, có các đạo hàm riêng ( 1, , )

c Công thức tính đạo hàm của hàm hợp trong một số trường hợp riêng

- Nếu F=f(u,v,w) với u =u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y) thì F là hàm hợp với x,y là biến độc lập và u,v là biến trung gian Khi đó:

w w

       

Để dễ hình dung ta có xem trên mô hình trên Qua đó ta cũng thấy được quy tăc

để tính đạo hàm riêng đối với các biến độc lập ta phải tính đạo hàm riêng của tất

cả các biến trung gian Tương tự như vậy ta có công thức tính F

Tất cả các quy tắc tính đạo hàm trong các công thức và sự mở rộng của nó đối với bất kì số các biến trung gian và độc lập –gọi chung là quy tăc dây chuyền (hoặc quy tắc dây xích)

Ví dụ 1 Cho z = eu.lnv với u = xy; v = x2+y2 Tính các đạo hàm riêng của z theo

Ví dụ 2 Tính các đạo hàm riêng của các hàm hợp sau:

1) z = e2x.lny với y = 1+x2 2) z = x2y với 2

hàm số của x, y khả vi và ta có

dy y

f dx x

f dz

f du u f

dy y

v dx x

v v

f dy y

u dx x

u u f

dy y

v v

f y

u u

f dx x

v v

f x

u u

f dz

Vì vậy, vi phân toàn phần của hàm số z = f(u, v) có cùng một dạng dù

cho u,v là các biến số độc lập hay là các hàm số của những biến số độc lập khác

Ta nói vi phân cấp 1 có dạng bất biến

2.2.3.2 Hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

a Định nghĩa hàm ẩn

Cho phương trình F(x,y) = 0 (2.1)

Trong đó F: U  R là một hàm xác định trên tập hợp U  R2 Nếu với mỗi giá

trị x = x0 trong một khoảng I nào đó, có một hay nhiều giá trị y0 sao cho:

Phương trình đó xác định hai hàm số ẩn trong khoảng [-a, a] Trong trường hợp

này ta đã tìm được biểu thức tường minh của y theo x Điều này không phải lúc

nào cũng làm được, chẳng hạn, từ hệ thức x  y y x (x > 0, y > 0) không thể tính được tường minh y theo x

Tương tự như vậy, phương trình F(x,y,z) = 0

trong đó F : UR là một hàm số xác định trên tập hợp mở UR3, có thể xác

định một hay nhiều hàm số ẩn z của các biến số x,y một cách tường minh hoặc

không tường minh

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta chỉ cần xác định xem có tồn tại hàm ẩn hay không

Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để tồn tại hàm ẩn và cách tính đạo hàm hàm

ẩn

b Đạo hàm hàm số ẩn

1) Cho phương trình F(x, y) = 0 trong đó F : U  R là một hàm số liên

tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên tập hợp mở U R2 và F y' 0 Khi đó

phương trình xác định một hàm số ẩn y = f(x), liên tục và có đạo hàm liên tục trên

một khoảng nào đó và

' '

y

x F

F dx

b

2 ' 

2) Cho phương trình F(x, y, z) = 0 trong đó F: U  R là một hàm số có

các đạo hàm riêng liên tục trên tập hợp mở U  R3 và F z' 0 Khi đó phương

trình xác định một hàm số ẩn z = f(x, y), liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên

'

' '

z

y y

z

x x

F

F z

F

F z

Ví dụ 5 Cho phương trình e z + xy + x2 + z3 = 1 Tính z z x', y'

Giải Đặt F x y( ; ) e z xy x 2 z3 1 Ta có hệ thức F x y ( ; ) 0

2 '

' ' y 2x, F x, F e 3z

z y

Vì F z' 0 z, nên phương trình xác định một hàm số ẩn z = f(x,y) liên tục và có

2

'

3

, 3

2

z e

x z

z e

y x

Ví dụ 6 Sử dụng đạo hàm hàm ẩn để chỉ ra rằng phương trình mặt phẳng tiếp

xúc với mặt cầu x2y2z2 a2 tại điểm P( , , )x y z0 0 0 thuộc mặt cầu là

y z

Nếu f (M) - f( M0) < 0, ta nói M0là điểm cực đại của hàm số, f( M0) gọi là giá trị cực đại của hàm số, điểm có tọa độ ( ; ; ( ; ))x y f x y0 0 0 0 gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

Hình 2-25 mô tả các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Ta có thể định nghĩa tương đương về cực trị như sau:

Điểm M x y( , )0 0 là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số z f x y( ; )khi và chỉ khi tồn tại  0 sao cho f x y( , )0 0  f x( 0 x y, 0  y) f x y( , ) 00 0  (>0),

2.3.2 Điều kiện cần của cực trị

Định lý 2.3.2.1 Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0mà tại đó các đạo hàm riêng p /

y

f M tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không

Chứng minh

Vì f đạt cực trị tại M x y0( , )0 0 , cố định y y0ta có hàm số x f x y( , )0 là hàm một biến đạt cực trị tại x x 0 Dop f x y x( , )0 0 tồn tại nên có giá trị bằng 0 (Theo định lý Fermat)

Điểm mà tại đó p, q xác định và p = q = 0 gọi là điểm dừng Ta gọi điểm dừng hoặc điểm mà tại đó hoặc p, hoặc q, hoặc cả p và q không xác định là điểm tới hạn của hàm số

Định lý 2.3.2.1 giúp ta thu hẹp vùng tìm kiếm các điểm có khả năng đạt cực trị, đó là các điểm tới hạn Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, tức là hàm

số có thể không đạt cực trị tại điểm tới hạn

Với  x 0( tức M thuộc đường thẳng x x 0 trong lân cận điểm M0(0;0)

Với  y 0( tức M thuộc đường thẳng y y0trong lân cận điểmM0(0;0)

Hình 2-27 mô tả hình tròn tâmM0(0;0), bán kính  > 0 tùy ý, trên đó, dấu của z(0, 0) thay đổi khi M chạy trong hình tròn đó

Vậy hàm số không đạt cực trị tạiM0(0;0)

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại một điểm dừng

2.3.3 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý 2.3.2.2

Giả sử hàm z f x y( ; )có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận nào

đó của M0 Giả sử tại M0 ta có p = 0, q = 0 Khi đó, tại M x y0( ; )0 0

1) Nếu  B2 AC 0 thì f x y( ; )đạt cực trị tại M0, cụ thể đạt cực đại nếu A <0, đạt cực tiểu nếu A > 0

Từ định lý ta có các bước tìm cực trị của hàm số z f x y( ; ) như sau

0

' '

y

x f

+0 : hàm số đạt cực đại tại M0nếu A<0, đạt cực tiểu tại M0nếu A >0

+0: trường hợp nghi ngờ, hàm số có thể đạt cực trị tại M0hoặc không

+0: hàm số không đạt cực trị tạiM0

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số z x 3  2xy 4x 2y2  1

Giải

Ta có: p z 'x 3x22y4; q z 'y   2x 4y Cho p 0, q 0 ta có hệ

2 2

112

4

323

x y

x  và mặt cong z x 3  2xy 4x 2y2  1 có hình chiếu trên mặt phẳng yOz là

parabol có phương trình z  2y2  2y 2, hàm số này có điểm cực đại là 1

2

y

Hình 2-28 Hình 2-28

P 2

1

P

Giao tuyến của mặt phẳng 1

2

y

và z x 3  2xy 4x 2y2  1 có hình chiếu trên mặt phẳng xOz là đường cong có phương trình 3 1

3 2

z x  x , hàm số này đạt cực tiểu tạix 1

Vậy M1 là điểm cực đại của đường cong z  2y2  2y 2 trên mặt phẳng 1

x  nhưng là điểm cực tiểu của đường cong 3 1

3 2

toàn phần của hình hộp đạt giá trị nhỏ nhất nếu nó là hình lập phương

Giải Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là x y z x y z , , ( , , 0) Giả sử hình hộp có thể tích cố định V, ta có V xyz

Diện tích toàn phần của hình hộp là f x y z( , , ) 2(  xy xz yz  )

V

   , hàm số đạt cực tiểu tại M o, khi x = y = 3V Suy ra z=3V , tức là diện tích toàn phần của hình hộp đạt giá trị nhỏ nhất nếu nó là hình lập phương

Mở rộng

Điều kiện cần của cực trị hàm n biến

Nếu hàm số z f x x( , , , )1 2 x n đạt cực trị tại M0 và tồn tại

Giả sử M0là điểm dừng của hàm số z f x x( , , , )1 2 x n , khi đó df M ( 0) 0

Áp dụng công thức Taylor cho hàm nhiều biến, người ta chứng minh được rằng

n n

d f <0 Khi đó ta cũng có  f 0, vậy hàm số đạt cực đại tại điểm đang xét

Trường hợp 2: Nếu det(H1) > 0, det(H2) >0 , det(H3)>0, , det(Hn) > 0 thì

2

d f >0 Khi đó ta cũng có  f 0, hàm số đạt cực tiểu tại điểm đang xét

Áp dụng với hàm 2 biến Giả sử M o là điểm dừng của hàm số z f x y( ; )

số không đạt cực trị tại M0 Thông thường, ta thường xét một số trường hợp đặc biệt như cho các trường hợp x 0, y 0, hay   x y… Ví dụ 3 minh họa cho trường hợp đó

Tương tự M 2( 1;1) cũng là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu tại

2( 1;1)

M  cũng bằng -1

Tại M3(0;0) có A  2; B 2; C    2,  0 (M3(0;0) là điểm nghi ngờ)

Để kiểm tra M3(0;0) có là điểm cực trị của hàm số hay không, ta xét dấu của số gia của z tại M3(0;0)

Cho    y 0 z(0;0) ( ) [( ) x 2 x 21]<0,  x (-1;1)

z

 đổi dấu khiM chạy trong lân cận điểm M3(0;0), do đó M3(0;0)không là

điểm cực trị

Đồ thị hàm số z x 4y4x22xy y 21 được mô tả trên hình 2-29

Chú ý rằng việc xét dấu của d f2 còn có thể dựa vào một số phương pháp xét dấu của dạng toàn phương khác (khái niệm về dạng toàn phương và các phương pháp xét dấu của nó không trình bày ở đây) Còn trường hợp kiểm tra điểm dừng bằng phương pháp xét dấu của f đôi khi không đơn giản Tuy nhiên, hiện nay có khá nhiều phần mềm toán học hỗ trợ việc tìm điểm cực trị cũng như vẽ đồ thị như Geogebra, AutoGraph,Maple do đó việc tìm điểm cực trị không còn quá phức tạp

2.4 Cực trị có điều kiện (đọc thêm)

M ) nằm trên đường cong g(x;y) = 0 có dấu bất đẳng thức f (M)- f( M0) >0,

Tương tự ta có khái niệm điểm cực đại với của hàm f (x;y) với điều kiện

Người ta gọi bài toán tìm cực trị của hàm số f (x, y) với điều kiện là cực trị

có điều kiện

2.4.2 Điều kiện cần của cực trị có điều kiện

Cho các hàm f x y g x y( ; ), ( ; )có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm M x y0( ; )0 0 , giả sử '

g M không đồng thời bằng 0 Khi

đó nếu hàm f x y( ; )có cực trị với điều kiện g x y ( ; ) 0 tại điểm M x y0( ; )0 0

thì tồn tại số  sao cho:

2.4.3 Các bước tìm cực trị có điều kiện

Bước 1 Lập hàm Lagrange L(x,y,  )=f(x,y)-  g(x,y)

Giả sử M0(x0,y0, 0) là một nghiệm của hệ

Chú ý Ta có trực tiếp xét dấu của

với điều kiện g x y( ;0 0) = 0 và g x( 0 x y; 0  y) 0

(Do M x( 0 x y; 0 y M x y), 0( ; )0 0 thuộc đường cong g x y ( ; ) 0)

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm f x y( ; ) 6 4   x 3y với điều kiện x2 y2 1

Hàm số đạt cực tiểu tại M x y1( ; )1 1 , giá trị cực tiểu là f x y ( ; ) 11 1

(Chú ý lời giải trên làm mẫu cho các lời giải tương tự, thực tế ta có thể dễ dàng

M x y Tương tựchứngminh hàm số đạt cực đại tại M x y2( ; )2 2

Phương pháp Lagrange có thể được áp dụng cho hàm có số biến bất kì Ví

dụ tìm cực trị của hàm u f x y z( ; ; )với điều kiện ( ; ; ) 0x y z  Ta đặt hàm Lagrange là L x y z( ; ; ; )  f x y z( ; ; ) ( ; ; ).x y z Khi đó nếu hàm f x y z( ; ; ) có cực trị với điều kiện ( ; ; ) 0x y z  tại điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 thì tồn tại số  sao cho các

số x y z0, , ,0 0  là nghiệm của hệ tuyến tính gồm 4 phương trình:

,,(

0),,()

,,(

0),,()

,,(

/ /

/ /

/ /

z y x

z y x z

y x f

z y x z

y x f

z y x z

y x f

z z

y y

x x

) lim

x y

x y b

0

) lim

x y