Giáo trình toán cao cấp a3

ThS Hoàng Nguyên Lý ThS Phạm Văn Hiển ThS Lê Thị Thanh Hải ThS Nguyễn Hồng Nhung GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 3 LỜI NÓI ĐẦU Toán cao cấp A3 là[.]

TÍCH PHÂN BỘI

TÍCH PHÂN KÉP

1.1.1.1 Bài toán tính thể tích hình trụ cong

Hàm số z = f(x, y) không âm, liên tục trong miền D đóng và bị chặn, nằm trong mặt phẳng Oxy, và có biên là đường L Thể tích của hình trụ cong Ω được xác định giới hạn dưới bởi miền D và giới hạn trên bởi mặt cong S có phương trình z = f(x, y) Mặt trụ này có xung quanh bởi đường sinh song song trục Oz và đường chuẩn là đường L.

Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giao nhau

Các mảnh nhỏ có diện tích lần lượt là ΔS₁, ΔS₂, , ΔSₙ, được sử dụng làm đáy để xây dựng các hình trụ có giới hạn quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz Mỗi hình trụ Ωᵢ có mặt đáy là mảnh ΔSᵢ và đỉnh của hình trụ được giới hạn bởi mặt S, tạo thành các hình trụ nhỏ gắn kết với nhau theo chiều cao để hình thành toàn bộ khối lượng theo vùng miền tích.

Như vậy hình trụ cong được chia thành n hình trụ nhỏ

M x y Xem thể tích V i của hình trụ

 i gần bằng thể tích hình trụ có diện tích đáyS i và chiều cao

Vậy thể tích của hình trụ  được tính gần đúng bằng tổng sau

Phép tính gần đúng này trở nên chính xác hơn khi n càng lớn và các mảnh Si có đường kính di càng nhỏ, trong đó di là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc mảnh Khi n tiến tới vô cùng và di tiến tới không, phép tính này đạt độ chính xác tối đa, phản ánh rõ ràng mối liên hệ giữa độ phân lớp của các phần và độ chính xác của phép tính.

Giới hạn của tổng các phần tử không phụ thuộc vào cách chia miền D hay cách chọn điểm M_i, mà chính là thể tích của hình trụ cong Quá trình tiến đến giới hạn hữu hạn này cho thấy rằng thể tích của hình trụ cong được xác định rõ ràng, phản ánh sự chính xác trong phép tính tích phân Đây là khái niệm quan trọng trong xác định thể tích các hình dạng phức tạp bằng phương pháp tích phân trong toán học.

1.1.1.2 Định nghĩa tích phân kép

Hàm số \(f(x,y)\) được xác định trên miền \(D\), nơi đó là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng \(Oxy\) Để thực hiện tính tích phân, miền \(D\) được chia thành \(n\) mảnh nhỏ không giao nhau, có diện tích lần lượt là \(\Delta S_1, \Delta S_2, \ldots, \Delta S_n\) Việc chia miền thành các phần nhỏ này giúp dễ dàng tính toán và áp dụng các phương pháp tích phân gần đúng hoặc chính xác Điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán thực nghiệm hoặc khi sử dụng kỹ thuật số để tìm giá trị tích phân của hàm trên miền phức tạp.

Chon sao cho (d i là đường kính củaS i ) mà tổng

Trong giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm Mₖ ∈ ΔSₖ, giới hạn này chính là tích phân kép của hàm số f(x, y) trên miền D Hàm f(x, y) được gọi là khả tích trên miền D khi tích phân kép này tồn tại và có giá trị xác định rõ ràng.

Khi hàm số \(f(x,y)\) khả tích trên miền \(D\), giá trị của tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Điều này cho phép chia miền \(D\) thành các hình chữ nhật bằng lưới các đường thẳng song song với trục tọa độ, giúp tính tích phân dễ dàng hơn Mỗi phần tử diện tích \(\Delta S_i\) là hình chữ nhật, với \(\Delta = \Delta S_i = \Delta x_i \cdot \Delta y_i\), qua đó đảm bảo tính chính xác và thuận tiện trong quá trình tính toán tích phân.

Vì vậy, ta ký hiệu tích phân kép của hàm ( , )f x y trên miền D là

Nếu hàm ( , )f x y liên tục trên miền phẳng D đóng và bị chặn thì

Nếu hàm ( , )f x y bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên miền phẳng D đóng và bị chặn thì khả tích trên miền D

Giả thiết rằng các tích phân có mặt trong các tính chất sau đều tồn tại Khi đó:

5) Công thức tính diện tích miền phẳng D: ( )1 .

6) Nếu m, M là hai hằng số thỏa m  f x y ( , )  M ,    x y ,  D thì

D m S D f x y dxdy M S D với S(D) là diện tích miền D.(1.9)

8) Nếu miền D được chia thành hai miền D 1 , D 2 không giao nhau thì

9) Định lý về giá trị trung bình:

Nếu hàm ( , )f x y liên tục trong miền D đóng, bị chặn và liên thông thì  x y 0, 0 Dsao cho:  ( , )  ( , ) ( ) 0 0

S D gọi là giá trị trung bình của hàm

10) Nếu hàm ( , )f x y là hàm lẻ theo biến x và miền D đối xứng qua trục

11) Nếu hàm ( , )f x y là hàm lẻ theo biến y và miền D đối xứng qua trục

12) Nếu hàm ( , )f x y là hàm chẵn theo biến x; miền D chia thành hai miền D 1và D 2, trong đó D 1 đối xứng D 2 qua trục Oy thì

13) Nếu hàm ( , )f x y là hàm chẵn theo biến y; miền D chia thành hai miền D 1 và D 2, trong đó D 1 đối xứng D 2 qua trục Ox thì

1.1.3 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Decard

Thông thường, việc tính tích phân kép trực tiếp theo định nghĩa khá phức tạp, do đó, chúng ta thường dựa vào các định lý đã được chứng minh để tính tích phân kép một cách hiệu quả hơn Các kết quả này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và đảm bảo tính chính xác của kết quả Việc sử dụng các định lý đã chứng minh không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao độ tin cậy của các phép tính tích phân kép trong các bài toán phức tạp.

Xét hàm f x y( , ) khả tích trên miền D:  

D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx (1.17)

  b d   b d  b  d a c a c a c dx f x y dy dx g x h y dy g x dx h y dy (1.18)

Xét hàm f x y( , ) khả tích trên miền D xác định bởi

 a x b y x y y x trong đó ,a b R và các hàm y x 1 ( ), y x 2 ( ) liên tục trên đoạn  a b ;  (Hình 1.3).

Xét hàm f x y( , ) khả tích trên miền phẳng D xác định bởi

 c y d x y x x y trong đó ,c d R và các hàm x y 1 ( ), x y 2 ( ) liên tục trên đoạn  c d ;  (Hình 1.4)

Trong quá trình tính tích phân trong miền phức tạp hơn, cần chia miền D thành các phần nhỏ hơn để dễ dàng tính toán Các định lý 1.1, 1.2, và 1.3 cung cấp các công thức (1.17), (1.18), và (1.20) để chuyển đổi tích phân kép thành tích phân lặp, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán Ngoài ra, trong công thức (1.19), việc sử dụng các nguyên tắc này là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác của kết quả tích phân.

I f x y dxdy dx f x y dyta sẽ tính tích phân đơn

( , ) y x  y x f x y dy trước Khi tính tích phân

( , ) y x  y x f x y dy ta coi biến y là biến số còn coi x là hằng số Do vậy sau khi tính tích phân

( , ) y x  y x f x y dy thay vào tích phân

I dx f x y dy ta nhận được tích phân xác định với biến là x iv Ngược lại trong công thức (1.20)

I f x y dxdy dy f x y dx ta sẽ tính tích phân đơn

( , ) x y  x y f x y dxtrước Khi tính tích phân

( , ) x y  x y f x y dx ta coi biến x là biến số còn coi y là hằng số Do vậy sau khi tính tích phân đơn

( , ) x y  x y f x y dx thay vào tích phân

I dy f x y dx ta nhận được tích phân xác định với biến là y

Tính tích phân kép sau    3 2  2 x 

D x y chính là hình vuông(phần gạch chéo trong (Hình 1.5).

Sử dụng công thức (1.17) ta đưa tích phân kép cần tính về tích phân lặp

I x ye dxdy dx x ye dy

Trước hết ta sẽ tính tích phân đơn 2  2 2 

 x  ye x dy Khi lấy tích phân theo biến y ta coi x là hằng số

Sau khi thay giá trị cận trên và giá trị cận dưới cho biến y ta sẽ được tích phân xác định theo biến x

Tính tích phân kép sin 2

I ydxdy, trong đó miền D giới hạn bởi các đường thẳng ; 2 ;

Ta có miền phẳng D(Hình 1.6) xác định bởi

Sử dụng công thức (1.19) ta có:

Tính tích phân kép sau:    4 sin  2 

J x y x dxdy, trong đó miền phẳng D     x y ,  R y 2 : 2   x 1 

Miền phẳng D giới hạn bởi đường parabol x y 2 và đường thẳng

Giao điểm của đường parabol x y 2 và đường thẳng x1 là hai điểm M(1;1) và điểm (1; 1)N 

Sử dụng tính chất (1.5) ta có thể tính tích phân J bằng cách tính tổng của hai tích phân như sau:

Hơn nữa, theo tính chất (1.14)ta có: vì hàm

( , ) 4sin f x y x ylà hàm lẻ đối với y (nghĩa là f x y( ,  ) f x y( , )) và miền D đối xứng qua trục Ox

Xem Hình 1.7ta thấy rằng miền phẳng D xác định như sau 1 2 1

Theo công thức (1.20), ta được:

Ta biến đổi phương trình của parabol như sau:

Do vậy, ta thấy miền D cũng có thể biểu diễn theo thứ tự khác của các biến như sau D: 0 1

Theo công thức (1.19), ta được

Việc chuyển từ cách 1 sang cách 2 và ngược lại được gọi là đổi thứ tự lấy tích phân

Ví dụ 1.4: Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân kép sau

Vẽ đường paraboly 1  x 2 4và nửa đường tròn y 2  4x 2 trên miền x    2; 2  ta có miền phẳng D như Hình 1.9. Để đổi thứ tự lấy tích phân ta cần biến đổi

+ Phương trình của đường parabol yx 2  4 x 1,2   y4

+ Phương trình của nửa đường tròn y 4x 2 x 3,4   4y 2

Khi đó ta cần chia miền phẳng D thành 2 miền D 1 và D 2 , trong đó

Do vậy đổi thứ tự lấy tích phân ta được

I x y dxdy,biết miền phẳng D giới hạn bởi đường parabol y  x 2 2xvà đường thẳng x y 2

Phương trình hoành độ giao điểm của đường parabol y  x 2 2x và đường thẳng x y 2là:

Cách 1: Hình phẳng D xác định bởi 1 2 2

Cách 2: Ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân để tính theo cách sau:

Khi đó tích phân I có thể được tính như sau:

1.1.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân kép

Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân trực tiếp với các biến đã cho gặp phải những phức tạp Do đó, việc thực hiện các phép đổi biến phù hợp là cần thiết để giúp quá trình tính tích phân trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn.

1.1.4.1 Công thức đổi biến tổng quát

Giả sử miền D’ trong mặt phẳng O ’ uv được biến đổi thành miền D trong mặt phẳng Oxy nhờ công thức ( , )

  x x u v y y u v , trong đó các hàm ( , )x u v , ( , ) y u v là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục, thỏa điều kiện

,    u v ,  D ' (1.21) Định thức J trên được gọi là định thức Jacobi của các hàm x, y Khi đó ta có công thức đổi biến sau:

(1.23) ii Công thức (1.22) vẫn còn đúng khi định thức J 0 tại một số hữu hạn điểm trong D

Tính tích phân kép sau    2  

I x y dxdyvới D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 1,x y 2, 2x y 1, 2x y 3 (Hình 1.14)

Do vậy, theo công thức (1.22) ta được

1.1.4.2 Đổi biến sang hệ tọa độ cực

Ta nhận thấy rằng trường hợp đổi biến từ hệ tọa độ Decard (với các biến là x, y) sang hệ tọa độ cực (với các biến là

,  r ) là trường hợp riêng của công thức đổi biến tổng quát (1.22) trong tích phân kép, tương ứng với cách đặt cos sin

Trong đó bán kính cực  OM r ,

0 r và góc cực  là góc giữa tia Ox và

Tọa độ điểm M trong hệ tọa độ Decard làM x y( , ), còn M r( , ) là tọa độ cực của điểm M

Với cách đổi biến cos sin

Ta thay vai trò của các biến ,u v trong công thức (1.21) bởi ,r  ta sẽ có định thức Jacobi:

Thay vào công thức (1.22) ta có công thức đổi biến như sau:

Hình 1.15 minh họa cách áp dụng công thức (1.25) trong các trường hợp cụ thể của miền D’ trong hệ tọa độ cực Trong đó, trường hợp đầu tiên (trường hợp 1) đề cập đến miền D’ được xác định bằng điều kiện cụ thể trong hệ tọa độ cực Việc phân tích các trường hợp này giúp hiểu rõ hơn về cách sử dụng công thức trong các bài toán vật lý và toán học liên quan đến miền miền trong hệ tọa độ cực Điều này góp phần tối ưu hóa các phương pháp tính tích phân và giải quyết các vấn đề liên quan đến miền phức tạp trong không gian.

Hình 1.16 ii Trường hợp 2: Nếu miền D’ chứa điểm O và biên của miền D’ là đường cong r  r    bao quanh gốc tọa độ O(Hình 1.17), thì ta có

Gốc cực O trong hệ tọa độ cực có phương trình làr0với  tùy ý

Tính tích phân kép sau 2 2

Giải: Đổi biến sang hệ tọa độ cực Định thức Jacobi J r

Khi đó phương trình đường tròn x 2 y 2 1 chuyển sang hệ tọa độ cực là  r cos    2  r cos   2    1 r 1

Theo công thức (1.26) ta có:

N y dxdy với D là hình phẳng giới hạn bởi đường cardioid cho trong hệ tọa độ cực r  3 1 cos     cos sin x r y r

Theo công thức (1.27) ta được

Thông thường, việc đổi biến theo công thức (1.24) phù hợp khi miền phẳng D được giới hạn bằng các đường tròn có tâm tại (0, 0)O Tuy nhiên, nếu miền D được giới hạn bởi đường ellipse, thì cần sử dụng các phương pháp biến đổi phù hợp để thuận tiện cho quá trình tính toán.

2  2 1 x y a b với ,a blà các hằng số, ,a b0 thì ta nên đặt cos sin

Khi đó định thức Jacobi:

 abr a ar b br iii Nếu miền D giới hạn bởi đường tròn tâm I x y  0, 0  thì ta nên đặt

Khi đó định thức Jacobi: cos sin sin cos

I dxdy a b với miền D là một phần tư hình ellipse trong góc phần tư thứ nhất

Giải: Đổi biến sang hệ tọa độ cực cos sin ,

Khi đó phương trình của đường ellipse được biến đổi như sau

I d abr r dr ab d r r dr ab  r ab

Tính với D là hình tròn có tâm I   3, 2 và bán kính

Phương trình đường tròn có tâm I   3, 2 và bán kính R1 là

 x  3   2  y  2  2  1 Đổi biến sang hệ tọa độ cực 3 cos

Khi đó phương trình đường tròn  x  3   2  y  2  2  1 trở thành r1

Tính tích phân kép    2  2  x sin 

I x y e y dxdy, trong đó D là hình tròn x 2 y 2 4x

D e ydxdy theo công thức (1.14), vì hàm là hàm lẻ theo biến y, miền D đối xứng qua trục Ox

Cách 1: Đổi biến cos sin ,

Phương trình đường tròn x 2 y 2 4x ứng với cách đổi biến trên trở thành r4 cos

Ta biến đổi phương trình x 2 y 2 4xvề dạng  x  2  2  y 2  4 chính là phương trình đường tròn có tâm '(2,0)O và bán kính R2

Do vậy ta có thể đổi biến theo cách sau 2 cos sin ,

Phương trình đường tròn x 2 y 2 4x với cách đổi biến trên trở thành r2

Vì vậy miền D’ xác định bởi

I x dxdy trong đó miền phẳng D giới hạn bởi hai đường tròn x 2 y 2 2x và x 2 y 2 2y

Giải: Đổi biến sang hệ tọa độ cực cos sin

Khi đó phương trình của các đường tròn biến đổi từ hệ tọa độ Decard sang hệ tọa độ cực:

+ Phương trình x 2 y 2 2x trở thành r2 cos,

+ Phương trình x 2 y 2 2y trở thành r2sin

Hơn nữa ta có các giao điểm của hai đường tròn trên là (0, 0)O và (1,1)

M nên phương trình đường thẳng OM trong hệ tọa độ Decard là y x và trong hệ tọa độ cực là sin cos

Miền phẳng D D 1 D 2 vớiD 1 xác định bởi 0

8 8 sin cos 2sin cos cos 2cos

Tính tích phân kép  cos 3  

I r d dr với D là nửa hình tròn cho trong hệ tọa độ cực

Ta có miền D xác định bởi

1.1.5 Ứng dụng của tích phân kép

1.1.5.1 Tính diện tích hình phẳng

Diện tích S(D) của hình phẳng D được tính theo công thức (1.5)

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x y 1,

Diện tích miền phẳng cần tìm ( )1.

Do x0 nên ta có thể đặt

Khi đó định thức Jacobi được xác định bởi:

Theo công thức (1.5), (1.22) ta có diện tích miền phẳng D cần tìm là

Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi các đường tròn

Giải: Đổi biến sang hệ tọa độ cực cos sin

Diện tích của miền phẳng D cần tìm

Vậy diện tích miền phẳng D cần tìm 3 3

1.1.5.2 Tính diện tích mặt cong

Diện tích S của mặt cong cho bởi phương trìnhzz x y( , ), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D, được tính theo công thức

Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm bên trong hình trụ x 2 y 2 1

Theo công thức (1.28) ta có diện tích của phần mặt paraboloid cần tìm là:

Phương trình mặt paraboloid z x 2 y 2 nên ' 2

Mặt khác ta có hình chiếu D của phần mặt paraboloid z x 2 y 2 nằm trong hình trụ x 2 y 2 1 là hình tròn x 2 y 2 1trong mặt phẳng Oxy

Khi đó diện tích của phần mặt paraboloid cần tìm là

S z z dxdy x y dxdy Đổi biến sang hệ tọa độ cực cos sin

1.1.5.3 Tính thể tích hình trụ cong

Thể tích V của hình trụ cong được giới hạn dưới bởi mặt phẳng z = 0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz, có đường chuẩn là biên của miền D trong mặt phẳng Oxy Phần trên của hình trụ được giới hạn bởi mặt z = f(x, y), với f(x, y) ≥ 0 cho mọi (x, y) thuộc miền D Công thức tính thể tích V dựa trên tích phân đôi của hàm f(x, y) trên miền D để xác định thể tích chính xác của hình trụ cong.

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng z0, z4, y1 và mặt trụy x 2

Vật thể được giới hạn bởi mặt đáy tại z = 0 và mặt trên tại z = 4, trong khi các mặt xung quanh là mặt trụ của miền D Miền D được xác định bởi các đường y = 1 và y = 2, x = 2, tạo thành một vùng giới hạn rõ ràng trong không gian.

Do vậy miền D xác định bởi 2 1 1

Theo công thức (1.29) ta có thể tích của vật thể cần tìm là

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt paraboloid z 4 x 2 y 2 và 2z 2 x 2 y 2

Ta có thể tích vật thể V cần tìm V V V  1 2 , trong đó

Vật thể V1 được định nghĩa bởi thể tích giới hạn dưới bởi mặt phẳng z = 0 và giới hạn trên bởi mặt z = -4x² - y², đồng thời bị giới hạn xung quanh bởi mặt trụ x² + y² = 2 Trong khi đó, vật thể V2 có thể tích giới hạn dưới bởi mặt phẳng z = 0 và giới hạn trên bởi mặt hình tròn hoặc mặt phẳng phù hợp (cần rõ hơn trong nội dung gốc) Các thể tích này cần được tính dựa trên các bề mặt và giới hạn cụ thể để thực hiện các phép tính tích phân phù hợp.

 x y z và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ x 2 y 2 2

Thể tích của vật thể cần tìm là V V V  1 2

Theo công thức (1.29) ta có

    x y x y dxdy Đổi biến sang hệ tọa độ cực cos sin

Do vậy thể tích vật thể cần tìm:

TÍCH PHÂN BỘI BA

1.2.1.1 Bài toán tính khối lượng vật thể

Cho vật thể V là một khối đặc không đồng chất, biết khối lượng riêng tại mỗi điểm M x y z  , ,   V là ( )  M   ( , , ) x y z Hãy tính khối lượng của vật thể V

Chia vật thể V thành n khối nhỏ không giao nhau có thể tích và gọi tên lần lượt là V 1 ,V 2 , ,V n V 1 ,V 2 , , V n Trong mỗi khối nhỏ

Ta xem như trong mỗi khối nhỏ V i khối lượng riêng là không đổi và bằng khối lượng riêng tại điểm M i đã chọn

Khi đó khối lượng m i của mỗi khối nhỏ V i được tính gần đúng như sau m i ( , , ).x y z i i i V i Vậy khối lượng của cả khối V được tính bằng tổng sau

Dễ thấy phép tính trên càng chính xác nếu n càng lớn và các khối

  i  d V càng nhỏ (trong đó d   V i  là đường kính của khối V i , là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm thuộc V i )

Cho n  sao cho nếuI n tiến tới một giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia vật thể V và cách chọn các điểm

M i thì giới hạn đó chính là khối lượng của vật thể V

1.2.1.2 Định nghĩa tích phân bội ba

Hàm số \(f(x, y, z)\) được xác định trên miền đóng và bị chặn \(V\) trong không gian Oxyz Để phân tích hàm, ta chia miền \(V\) thành \(n\) phần nhỏ, không giao nhau, gọi là các phần tử \(\Delta V_1, \Delta V_2, \ldots, \Delta V_n\) Các phần tử này giúp ta dễ dàng thực hiện tích phân trong miền phức tạp, đảm bảo tính chính xác và thuận tiện trong quá trình tính toán Việc chia miền thành các phần nhỏ là bước quan trọng trong phương pháp tính tích phân trên miền đóng và bị chặn trong không gian Euclid.

Ta chọn một điểm tùy ý M x y z i ( , , ) i i i V i

Tích phân bội ba của hàm số được định nghĩa là giới hạn hữu hạn của tổng rời rạc khi I tiến tới một giới hạn cố định I không phụ thuộc vào cách chia miền V và điểm M_i  ΔV_i Điều này đảm bảo rằng giá trị của tích phân bội ba không phụ thuộc vào phương pháp phân chia miền, phản ánh tính chất tổng quát và chính xác của phép tính tích phân đa chiều Do đó, tích phân bội ba là một công cụ quan trọng trong toán học để tính toán tích lũy của hàm số trong các miền đa chiều, góp phần vào các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và các lĩnh vực khoa học khác.

( , , ) f x y z trên miền V, và ta nói hàm ( , , )f x y z khả tích trên miền V

Nếu hàm \(f(x, y, z)\) khả tích trên miền \(V\), thì giá trị của tích phân \(I\) không phụ thuộc vào cách chia miền \(V\) Do đó, ta có thể chia miền \(V\) thành các hình hộp chữ nhật bằng các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ Thể tích của mỗi hình hộp chữ nhật là \(\Delta V_i = \Delta x_i \cdot \Delta y_i \cdot \Delta z_i\), giúp tính toán chính xác và thuận tiện trong quá trình tích phân.

Ta ký hiệu tích phân bội ba của hàm ( , , )f x y z trên miền V là

Nếu hàm f x y z( , , ) liên tục trên miền V đóng và bị chặn thì ( , , ) f x y z khả tích trên miền V

Nếu hàm ( , , )f x y z bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên miền V đóng và bị chặn thì khả tích trên miền V

1.2.2 Tính chất của tích phân bội ba

Giả thiết rằng các tích phân có mặt trong các tính chất sau đều tồn tại:

4) Nếu miền V được chia thành 2 miền V V 1 , 2 không giao nhau thì

6) Nếu m, M là hai hằng số thỏa m f x y z( , , )M ,   x y z , ,   V thì

V mV f x y z dxdydz MV , với V là thể tích miền V (1.38)

8) Định lý về giá trị trung bình: Nếu hàm ( , , )f x y z liên tục trong miền

V đóng, bị chặn và liên thông thì sao cho:

 V f x y z dxdydz f x y z V (1.40) với V là thể tích của vật thể V Đại lượng

V gọi là giá trị trung bình của hàm ( , , ) f x y z trên miền V

9) Nếu hàm ( , , )f x y z là hàm lẻ theo biến x (hoặc biến y, hoặc biến z) và miền V đối xứng qua mặt x0(hoặc mặt y0, hoặc mặt z0) thì

10) Nếu hàm ( , , )f x y z là hàm chẵn theo biến x (hoặc biến y, hoặc biến z) và miềnV V V  1 2 trong đóV 1 đối xứngV 2 qua mặt x0 (hoặc mặt

Tính tích phân bội ba    3  3  3 

I x y z dxdydz với V là hình cầu tâm O(0, 0, 0) bán kính R

Ta có phương trình hình cầu tâm O bán kính R là

Tích phân bội ba I được tính như sau:

Mặt khác theo tính chất (1.41) ta có I 1 0 vì là hàm lẻ đối với x và khối cầu V đối xứng qua mặt phẳng

1.2.3 Cách tính tích phân bội ba trong tọa độ Decard

Thông thường, việc tính tích phân bội ba trực tiếp theo định nghĩa khá phức tạp Do đó, để thuận tiện hơn trong việc tính toán, người ta thường chuyển đổi tích phân bội ba thành tích phân lặp Phương pháp này giúp đơn giản hóa quá trình tính tích phân, tiết kiệm thời gian và công sức hơn so với cách làm trực tiếp Việc sử dụng tích phân lặp là kỹ thuật phổ biến trong toán học để xử lý các tích phân phức tạp, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến tích phân nhiều biến.

Xét tích phân bội ba  ( , , )

Trong đó miền V có hình chiếu lên mặt phẳng Oxy là miền phẳng

D, giới hạn dưới bởi mặt z x y 1 ( , ), giới hạn trên bởi mặt z x y 2 ( , ), giới hạn xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song trục Oz, có đường chuẩn là biên của miền D (Hình 1.32)

D z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dxdy f x y z dz

Trong công thức (1.43) khi đưa tích phân bội ba về tích phân lặp, trước hết ta phải thực hiện việc lấy tích phân theo biến z

(khi đó x,y được xem là các hằng số) Sau đó ta được tích phân kép của hàm theo hai biến ,x y trên miền D

I dxdy f x y z dz Để tính tích phân kép này ta cần đưa tích phân kép về tích phân lặp đơn như trong mục 1.1.3

Tính tích phân bội ba trong đó miền V là hình hộp chữ nhật xác định như sau 1  x 3, 0 y 2, 0

Ta thấy hình hộp chữ nhật V giới dưới bởi mặt phẳng z 1 0, giới hạn trên bởi mặt phẳng 2

 z , giới hạn xung quanh bởi các mặt phẳng

Hình hộp chữ nhật V được giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của miền phẳng D Miền phẳng D nằm trong mặt phẳng Oxy, giới hạn bởi các đường thẳng x = -1, x = 3, y = 0 và y = 2 Đây là tập hợp các điểm trong mặt phẳng nằm trong biên giới xác định bởi các đường thẳng này.

Sử dụng công thức (1.32) ta có

I dxdy xy zdz dxdy xy z cos cos 0 2

Mà miền phẳng D xác định bởi 1 3

 x y nên theo công thức (1.17) ta có

Tính tích phân bội ba     2 

J x z dxdydz trong đó miền V giới hạn bởi các mặt phẳng x0, y2, y2x, z0 và y z 2

Ta thấy miền V giới hạn dưới bởi mặtz0, giới hạn trên bởi mặt

2  2 z y, giới hạn xung quanh bởi các mặt phẳng x0, y2, y2x

Ta lại có miền D là hình tam giác xác định bởi 0 1

J x y y dxdy dx x y y dy Đặt u  2 y du dy

Nếu miền V có hình chiếu lên mặt phẳng Oyz là miền phẳng D yz, giới hạn dưới là mặt x y z 1 và giới hạn trên là mặt x y z 2, thì miền V được xác định bởi các mặt x y z 1 và x y z 2 cùng với mặt trụ có đường sinh song song trục Ox, trong đó biên của miền D yz là đường chuẩn của miền.

Trong bài viết này, chúng tôi trình bày cách tính tích phân thể tích của hàm số theo biến x, y, z trên miền V Nếu miền V có hình chiếu lên mặt phẳng Oxz là miền phẳng D_xz, giới hạn dưới của miền là mặt y = x, z = 1, trong khi giới hạn trên là mặt y = x, z = 2 Phần xung quanh miền V là mặt trụ có đường sinh song song trục Oy, với đường chuẩn của miền là biên của miền D_xz.

Tính tích phân bội ba sau    3 2000  

M z x y dxdydzvới V là vật thể giới hạn bởi mặt phẳng y 1, y3, x1 và mặt trụ x z 2

Miền V được giới hạn bởi mặt phẳng y = -1 ở phía dưới và mặt phẳng y = 3 ở phía trên, tạo thành phạm vi bên trong theo chiều dọc Phía xung quanh miền V là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, đảm bảo tính đối xứng và liên tục của không gian Đường chuẩn của miền chính là biên của miền D, góp phần xác định rõ giới hạn hình học của vùng không gian này.

Miền phẳng D xác định bởi 2 1 1

Ta thấy rằng miền V là miền đối xứng qua mặt phẳng Oxy (mặt

0 z ), và hàm  z x 3 2000  là hàm lẻ theo biến z, nên theo tính chất (1.41) thì  3 2000 0

Do vậy theo công thức (1.45) ta được:

M ydxdydz dxdz ydy dxdz y dxdz

1.2.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba

Trong việc tính tích phân bội ba, việc xử lý các biến phức tạp tương tự như tính tích phân trong tích phân kép, đòi hỏi phải thực hiện các phép đổi biến phù hợp để đơn giản hóa quá trình tính toán Việc đổi biến giúp giảm độ phức tạp của tích phân, làm cho việc xác định giới hạn và tính tích phân trở nên thuận tiện hơn Do đó, áp dụng các phép chuyển đổi biến hợp lý đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các tích phân bội ba phức tạp.

1.2.4.1 Công thức đổi biến tổng quát

Giả sử miền V’ trong không gian O’uvw được biến đổi thành miền

V trong không gian Oxy nhờ công thức

 x x u v w , y y u v w( , , ), z z u v w ( , , ) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục, thỏa điều kiện: Định thức Jacobi

Khi đó ta có công thức đổi biến

Tính tích phân bội ba   

I dxdydz x y z với V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng x y z  1, x y z  3,

Ta thấy rằng việc tính tích phân

I dxdydz x y z theo các biến x, y, z tương đối phức tạp, do vậy ta thực hiện phép đổi biến nhờ công thức sau

Khi đó định thức Jacobi có thể tính bằng cách

Theo công thức (1.47) ta được:

17 17 17 du dv u vdw du dv u v w du u v dv

1.2.4.2 Đổi biến sang tọa độ trụ

Xét điểm M x y z( , , ) trong không gian Oxyz, M x y'( , ,0) là hình chiếu của M lên mặt phẳng

Gọi  r ,   là tọa độ cực của điểm M' trong mặt phẳng Oxy

Khi đó điểm M hoàn toàn xác định bởi bộ ba số  r , ,  z 

Bộ ba số  r , ,  z  được gọi là tọa độ trụ của điểm M

Công thức liên hệ giữa tọa độ

Decard và tọa độ trụ

Theo công thức (1.46) ta có định thức Jacobi

Góc  là góc giữa tia Ox và tia '

Khi đó chuyển tích phân bội ba sang hệ tọa độ trụ ta được

Khu vực miền V được xác định giới hạn dưới bởi mặt z = r₁ (cos φ, sin φ) và giới hạn trên bởi mặt z = r₂ (cos φ, sin φ), tạo thành một khoang chứa hình trụ Phần giới hạn xung quanh của miền là đường sinh song song với trục z, còn đường chuẩn là biên giới của miền D Điều này giúp định hình rõ ràng các mặt giới hạn và thuộc tính của miền trong không gian trụ trong phân tích toán học và hình học không gian.

Trong đó miền D xác định bởi

(1.51) ii Nếu V giới hạn dưới bởi mặt x y z 1 ( , ), giới hạn trên bởi mặt

2( , ) x y z , giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox, đường chuẩn là biên của miền Dyz

Thực hiện phép đổi biến cos sin

(1.52) iii Nếu V giới hạn dưới bởi mặt y z x 1 ( , ), giới hạn trên bởi mặt

2( , ) y z x , giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, đường chuẩn là biên của miềnD z x

Thực hiện phép đổi biến sin cos

Tính tích phân bội ba sau 2 2  2

I z x y dxdydz trong đó vật thể

Ta có vật thể V giới hạn dưới bởi mặt paraboloid z x 2  y 2 , giới hạn trên bởi mặt paraboloid z10x 2 y 2 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ x 2 y 2 4(Hình 1.37)

Giao tuyến của mặt paraboloid z x 2 y 2 và mặt trụ x 2 y 2 4 là

Giao tuyến của mặt paraboloid z10x 2 y 2 và mặt trụ

Hình chiếu của vật thể V lên mặt phẳng Oxy là hình tròn

D x y Đổi biến sang hệ tọa độ trụ cos sin ,

Khi đó trong hệ tọa độ trụ:

+ Phương trình của mặt paraboloid z x 2 y 2 là z r 2

+ Phương trình của mặt paraboloid z10x 2 y 2 là z10r 2 + Phương trình mặt trụ x 2 y 2 4là r 2   4 r 2

Do vậy V V'xác định bởi

Theo công thức (1.51) ta có tích phân

I f x y z dx dy dz trong hệ tọa độ Decard và hệ tọa độ trụ với miền V giới hạn bởi mặt paraboloid z 1 x 2 y 2 và mặt nón z 3 x 2  y 2

Hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy là hình tròn x 2 y 2 1 + Trong hệ tọa độ Decard miền V xác định bởi

Do vậy trong hệ tọa độ Decard ta có tích phân

+ Trong hệ tọa độ trụ, tương ứng với cách đổi biến trong công thức (1.49):

Phương trình của mặt paraboloidz 1 x 2 y 2 là z 1 r 2

Phương trình của mặt nón z 3 x 2 y 2 là z 3 r

Phương trình của đường tròn x 2 y 2 1 là r1

Trong hệ tọa độ trụ miền V V'xác định bởi

Theo công thức (1.51) trong hệ tọa độ trụ tích phân

Phương trình y x 2 z 2 đổi sang hệ tọa độ trụ là

Hệ phương trình giao tuyến

Hình chiếu của vật thể V lên mặt phẳng Oxz là hình tròn x 2 z 2 1

Do vậy theo công thức (1.53) ta có

1.2.4.3 Đổi biến sang tọa độ cầu

Xét điểm M x y z( , , ) trong không gian Oxyz, M x y'( , ,0) là hình chiếu của M lên mặt phẳng

Oxy (Hình 1.40) Điểm M trong không gian hoàn toàn được xác định bởi ba đại lượng  r , , , trong đó r là độ dài đoạn OM, r0

là góc giữa Ox và 0'

 là góc hợp giữa tia Oz và 0

Khi đó  r , ,    gọi là tọa độ cầu của điểm M

Công thức liên hệ giữa tọa độ Decard và tọa độ cầu

2 2 sin cos sin sin cos tan

Thay vào công thức (1.47) ta có công thức tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu là

, ,  sin cos , sin sin , cos sin       

Cho tọa độ Decard của điểm M   1,1, 6  Hãy xác định tọa độ trụ và tọa độ cầu của điểm M

Giải: a) Theo công thức đổi biến sang hệ tọa độ trụ (1.49) cos sin

, r0, 0  2 thay tọa độ điểm M vào ta được:

Vậy tọa độ trụ của điểm 3

M b) Theo công thức đổi biến sang hệ tọa độ cầu (1.54) sin cos sin sin cos

, r0, 0  2, 0   thay tọa độ điểm M vào ta được:

Vậy tọa độ cầu của điểm 3

I zdxdydzvới miền lấy tích phân

Cách 1: Đổi biến sang tọa độ trụ cos sin

Ta có miền lấy tích phân V giới hạn dưới bởi mặt phẳng

10 z , giới hạn trên bởi nửa mặt cầu z 2  1 x 2 y 2 và hình chiếu của miền V lên mặt phẳng

Phương trình nửa mặt cầu

2  1  z x y trong hệ tọa độ trụ là z 2  1r 2

Do vậy miền V V' xác định bởi 0  2 , 0  r 1, 0 z 1r 2 (Hình 1.41)

Cách 2: Đổi biến sang tọa độ cầu Đặt sin cos sin sin cos

Phương trình của nửa mặt cầu

Phương trình x 2 y 2 z 2 1 biến đổi sang hệ tọa độ cầu là

Tâm O(0, 0, 0) trong hệ tọa độ cầu tương ứng với phương trình r 0

Hình chiếu của vật thể V lên mặt phẳng Oxy là hình tròn

Do vậy miền lấy tích phân

Tính tích phân bội ba 

L zdxdydz với miền V giới hạn bởi nửa mặt cầu z 2x 2 y 2 và mặt nónz x 2 y 2

Cách 1: Đổi biến sang tọa độ trụ Đặt cos sin

Giao tuyến của mặt nón và nửa mặt cầu

Hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy là hình tròn

Trong hệ tọa độ trụ:

+ Phương trình của mặt nón z x 2 y 2 là z r 2 r

+ Phương trình của nửa mặt cầu z 2x 2 y 2 là z 2r 2

Miền V giới hạn dưới bởi mặt z 1 r, giới hạn trên bởi mặt z 2  2r 2

Do vậy miền V V' xác định bởi

L d dr z r dz d rdr z dz d rdr z

Cách 2: Đổi biến sang tọa độ cầu Đặt sin cos sin sin cos

Ta có phương trình của nửa mặt cầu

Trong hệ tọa độ cầu:

+ Phương trình của mặt nón

   2  2 cos sin cos sin sin sin

+ Phương trình của mặt cầu x 2 y 2 z 2 2 biến đổi thành

Do vậy miền lấy tích phân V V' trong hệ tọa độ cầu xác định bởi

I dx dy f x y z dztrong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Ta có miền lấy tích phân V xác định bởi 2

 x y x x y z a) Trong hệ tọa độ trụ:

+ Miền lấy tích phân V V' xác định bởi

Do vậy theo công thức (1.51) ta viết được tích phân trong hệ tọa độ trụ

I d rdr f r z dz b) Trong hệ tọa độ cầu:

+ Miền lấy tích phân V V'xác định bởi

Do vậy theo công thức (1.55)ta viết được tích phân trong hệ tọa độ cầu là

1.2.5 Ứng dụng của tích phân bội ba

Tính thể tích vật thể

Thể tích V của miền trong không gian Oxyz được tính bởi công thức

Tính thể tích vật thể  giới hạn bởi mặt phẳng z0 và mặt paraboloid z 1 4x 2 y 2

Hệ phương trình giao tuyến

Hình chiếu của vật thể  lên mặt phẳng Oxy là hình ellipse

4x y 1 Đổi biến sang tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ:

+ Phương trình mặt paraboloid z 1 4x 2 y 2 trở thành z 1 r 2

+ Hình chiếu D của vật thể  lên mặt phẳng Oxy trở thành miền

Khi đó vật thể  xác định bởi

Thể tích của vật thể

Theo công thức tính tích phân trong hệ tọa độ trụ (1.51) ta được thể tích của vật thể cần tìm

V dxdydz dxdy dz d dr r dz

Tính thể tích miền  xác định bởi

Giải: Đặt sin cos sin sin cos

Trong hệ tọa độ cầu

+ Phương trình của mặt nón z x 2 y 2 là z r

+ Phương trình của nửa mặt cầu

Miền lấy tích phân   ' trong hệ tọa độ cầu xác định bởi

(Xem lại ví dụ 1.29) Hình 1.48

Sử dụng công thức (1.55) và (1.56) ta có thể tích của miền  là

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳngy z 1,

Ta có hình chiếu của vật thể  xuống mặt phẳng 0xy là miền phẳng D xác định bởi 2 1 1

   x x y Vật thể  giới hạn dưới bởi mặt z 1 0 và giới hạn trên bởi mặt

Do vậy thể tích của vật thể cần tìm là

V dxdydz dxdy dz dx dy dz

Tính thể tích của vật thể  giới hạn bởi mặt trụ x 2 y 2 2y, mặt nón z x 2 y 2 và mặt phẳng z0.

Ta có hình chiếu của vật thể  xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn

2 2 2 x y y Đổi biến sang tọa độ trụ cos sin

Trong hệ tọa độ cầu:

+ Phương trình x 2 y 2 2y trở thành r2sin

Khi đó vật thể   ' xác định bởi

Thể tích của vật thể cần tìm

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.3.1 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép sau:

1.3.2 Tính các tích phân kép sau:

1) với D là miền giới hạn bởi các đường

1.3.3 Tính các tích phân kép sau với các đường cong cho trong hệ tọa độ cực:

1) với D là miền giới hạn bởi các đường tròn

2) với D là miền giới hạn bởi đường

4) với D là miền xác định bởi trong đó

1.3.4 Dùng phép đổi biến tính các tích phân kép sau:

1) với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 1, x y 3, x y 1 và x y  1

I x y dxdyvới D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 0, x y 1, y 1, y1

3) với D là miền giới hạn bởi hai đường hyperbole

1 xy , xy2 và hai đường thẳng y x , y3x với

5) với D là miền giới hạn bởi các đường tròn r 2 dr d

6) với miền D là hình tròn x 2 y 2 ay, a0

D x y dxdy, với D là miền giới hạn bởi elip

D x y dxdy, với D là miền xác định bởi 2x x 2 y 2 ,

9) trong đó miền D giới hạn bởi nửa đường tròn và đường parabol

1.3.5 Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi các đường:

1.3.6 Tính giá trị trung bình của các hàm số sau:

1) Hàm f x y ( , ) sin   x y   trên miền phẳng

2) Hàm ( , )f x y xy trên miền D là một phần tư hình tròn

1.3.7 Vẽ hình các mặt bậc hai sau:

1.3.8 Tính các tích phân bội 3 sau:

V x dxdydzvới miền V giới hạn bởi các mặt

V ycox x z dxdydzvới miền V giới hạn bởi mặt trụ y x và các mặt phẳng 0, 0,

V ydxdydztrong đó miền V giới hạn bởi mặt nón

V x y dxdydzvới miền V là nửa khối cầu

V xyzdxdydzvới miền V xác định bởi

 z x  y dxdydz với miền giới hạn bởi các mặtz0,

V xyz dxdydzvới V là hình ellipsoid x 2 2  y 2 2  z 2 2 1 a b c

 x  z dxdydz với miền giới hạn bởi các mặt

  x y dxdydz với miền  giới hạn bởi các mặt

V z dxdydz với miền V giới hạn bởi các mặt

1.3.9 Dùng tích phân bội 3 để tính thể tích V của vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

Cho cung phẳng L đi từ điểm A đến điểm B và hàm f x y  ,  xác định trên

L Chia cung L thành n phần nhỏ bởi các điểm A ≡

A0, A1, A2,…,An ≡ B Go ̣i đô ̣ dài cung A A i 1 i là li

Trên cung A A i 1 i lấy điểm M ( , ) i x h i i bất kỳ và lâ ̣p tổng

Khi n tiến tới vô cùng và max(Δli) xấp xỉ 0, giới hạn này dẫn đến một giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chọn A_i và điểm M_i Điều này chính là dấu hiệu của việc tích phân đường liên một của hàm f(x, y), theo ký hiệu L, đã hội tụ đến một giá trị xác định.

Khi đó ta nói rằng hàm f x y  ,  khả tı́ch trên L

2.1.2 Đi ̣nh lý tồn ta ̣i

Nếu hàm f x y  , liên tu ̣c trên đường cong L trơn (tức là có tiếp tuyến biến thiên liên tu ̣c) hoặc trơn từng khúc thı̀ f x y  ,  khả tích trên L

1) Cho điểm M thuộc đường cong L và giả sử f M  có giá trị là mật độ dài điện tích tại M Khi đó   ,

 chính là tổng điện tích trên L

2) Gọi  là độ dài đường L thì 

3) Trong hệ Oxyz, gọi S là mặt trụ có các đường sinh song song trục Oz, đường chuẩn là

L thuộc Oxy và giới hạn bởi

(Hình 2.2) Khi đó diện tích

S của nó được tính là

4) Cho đoạn cong phẳng có chiều độ dài trong hệ Oxy Khi đó, trọng tâm của nó được xác định theo công thức:

2.1.4 Tı́nh chất (Giả sử các tích phân là tồn tại)

1) Nếu  và  là các hằng số thı̀

2) Nếu L được chia thành hai đoạn không giao nhau L1, L2 thı̀

3) Nếu m  f x y  ,   M với mọi (x, y) trên L và L có độ dài  thı̀

4) (Đi ̣nh lý về giá tri ̣ trung bı̀nh) Gọi  là độ dài đường L, khi ấy tồn ta ̣i mô ̣t điểm M trên L sao cho  ( , )   

L f x y dl f M  (2.7) nếu f x y  ,  liên tục trên L

5) Tı́ch phân đường loa ̣i mô ̣t không phu ̣ thuô ̣c vào hướng của L

 Giả sử cung L cho bởi phương trı̀nh tham số ( )

Gọi tham số tương ứng Ai trên L là ti

Theo công thức độ dài đường cong và định lý trung bình của tích phân xác định, ta có:

Bằng cách chọn Mi tương ứng t i , suy ra

Theo định nghĩa tích phân xác định, chúng ta có công thức

 Nếu cung L cho bởi phương trı̀nh y = y(x), x  [a,b]

Khi đó, áp dụng công thức (2.8) với  

 Trường hợp phương trình L có dạng x=x(t) thì thực hiện tương tự (hoán đổi vai trò x, y)

 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cực, cho L có phương trình

  rr  , với   [,] Khi đó, coi  là tham số, ta áp dụng công thức

I  y dl, trong đó L là mô ̣t nhi ̣p xiclôit

Dùng công thức (2.8) ta có

I xydl, trong đó L là biên miền giới hạn bởi các đường cong có phương trình yx 2 và y 6 x (Hình 2.4) x(t)=2*(t-sin(t)) , y(t)=2*(1-cos(t)) x f(x)

Ta cóL L 1 L 2 trong đó L1 có phương trình yx 2 và L2 có phương trình y 6 x

Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong, chúng ta xác định được miền giới hạn của L1 và L2 là: -3 ≤ x ≤ 2

Dùng công thức (2.9) với L1 ta có

(trong phép tính trên ta đổi biến t 1 4 x 2 )

I  x y dl, với L là đường tròn x 2 y 2 2x

Cách 1: Chuyển hệ tọa độ sang to ̣a đô ̣ cực Chúng ta có phương trình L trên hệ tọa độ cực là r2cos (thế xrcos ; yrsin vào phương trình L)

Suy ra r 2 + (r’) 2 = 4, x 2 +y 2 = 4cos 2  Áp dụng (2.10) chúng ta có kết quả:

Cách 2: Phương trình L chuyển thành

 x  1  2  y 2  1 nên có dạng tham số

Sau đó dùng công thức (2.8), ta cũng có kết quả tương tự r(t)=2*cos(t)

2.1.6 Đường cong trong không gian

Tích phân đường loại 1 trên đường cong L trong không gian của hàm số f(x, y, z) được định nghĩa theo cách tương tự như các tích phân đường khác, cung cấp công cụ quan trọng để tính toán diện tích và lượng của hàm số dọc theo một đường cong Sinh viên có thể tìm hiểu thêm về khái niệm này trong các giáo trình chuyên sâu về toán cao cấp hoặc phân tích vector, nơi trình bày chi tiết phương pháp và ứng dụng của tích phân đường loại 1 trong phân tích toán học Tích phân này thường ký hiệu là ∫_L f(x, y, z) ds, với L là đường cong trong không gian, giúp mô tả chính xác lượng của hàm số theo từng đoạn đường cong Việc hiểu rõ cách xác định và tính toán tích phân đường loại 1 là nền tảng quan trọng trong các lĩnh vực kỹ thuật, vật lý và toán học ứng dụng.

 Cách tính: Nếu L cho bởi phương trı̀nh tham số

I  x y z dl, với L là đường đinh ốc cos

I x y dl, trong đó L là giao tuyến giữa mặt phẳng (P): 2y z 3 và parabolid zx 2 y 2 (Hình 2.7)

Chúng ta tìm phương trình L bằng cách các mặt đã cho:

Từ đó chúng ta có phương trình tham số L:

 Để áp dụng (2.11) chúng ta tính

4sin cos 2 3 2 cos 2 3 2 cos 2 3 2 cos 2 0

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) xác định trên đường cong phẳng L có hướng đi từ điểm A đến điểm B, chúng ta chia cung AB theo hướng từ A đến B thành n phần nhỏ bằng các điểm phân cách A = A₀, A₁, A₂, , Aₙ = B Quá trình này giúp phân tích chuyển dịch trên cung một cách chính xác và dễ dàng, phù hợp với các phương pháp tính tích phân đường, nhằm xác định các giá trị phụ thuộc vào tham số và nâng cao hiệu quả tính toán Việc phân đoạn cung AB thành nhiều phần nhỏ như vậy là bước quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm số định nghĩa trên đường cong, góp phần vào việc tính toán các đại lượng liên quan trong hình học và giải tích.

      (i=1,…,n) Trên cung A A i  1 i lấy điểm Mi bất kỳ và lâ ̣p tổng:    

Khi cho n   sao cho max{xi, yj}  0 mà I n dần tới mô ̣t giới ha ̣n hữu ha ̣n, không phu ̣ thuô ̣c vào cách chia cung AB và cách cho ̣n điểm

Mi thı̀ giới ha ̣n đó go ̣i là tı́ch phân đường loa ̣i hai và ký hiê ̣u

2.2.2 Đi ̣nh lý tồn tại

Nếu các hàm P(x,y), Q(x,y) liên tu ̣c trên cung L trơn từng khúc thı̀ tı́ch phân đường loa ̣i hai  

Xét một chất điểm chạy trên L dưới tác động của lực F thay đổi (hướng của L cũng là hướng dịch chuyển của vật) Giả sử tại M trên L, ta có ( )F M P M i Q M j( ) ( )

Pdx Qdy có giá trị là công của

 trong quá trình chất điểm chạy trên L

Trong hình học, nếu đường cong kín L là cong phẳng, ta quy ước chiều dương theo hướng sao cho một người đi theo chiều này sẽ nhìn thấy miền giới hạn của L phía bên trái của họ Điều này giúp xác định ký hiệu tách phân đường theo chiều dương của đường cong kín L một cách rõ ràng và dễ hiểu.

Hình 2.9 2.2.4 Tı́nh chất (Giả sử các tích phân tồn tại)

1) Nếu  và  là các hằng số thı̀

2) Nếu L được chia thành hai cung không giao nhau L1, L2 thı̀

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy (2.13)

3) Nếu L đổi hướng đi thı̀ tı́ch phân đường loa ̣i hai đổi dấu, tức là:

 Giả sử cung L cho bởi phương trı̀nh tham số 

A đến B và gọi ti là tham số tương ứng Ai (tức là x Ai x t( ); i y Ai  y t( ) i )

Sử dụng định lý trung bình Lagrange, suy ra tồn tại t i giữa ti-1 và ti sao cho   x i x t ( ) i  x t ( i  1 )  x t    i  t i

Chọn Mi trên L tương ứng t i ta có:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét việc ứng dụng định nghĩa tích phân xác định để phân tích hàm số Giả sử điểm A tương ứng với thời điểm tA, tức là xA = x(tA) và yA = y(tA), còn điểm B tương ứng với thời điểm tB Áp dụng quy tắc tích phân xác định, ta có thể tính được diện tích hoặc giá trị tích phân từ điểm A đến điểm B một cách chính xác Phương pháp này giúp hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các biến số trong quá trình tính toán và đảm bảo độ chính xác của kết quả trong các ứng dụng thực tế.

Lập luận tương tự cho thành phần thứ hai

Kết quả, ta có công thức:

 Nếu cung L cho bởi phương trı̀nh y  y x   hướng từ A đến B, chúng ta xem như

 Trường hợp phương trình L có dạng x = x(y) thì tương tự (hoán đổi vai trò x, y):

Vı́ du ̣ 2.6: Tı́nh tı́ch phân  2 

I x dx xydy từ O(0,0) đến A(1,1) được nối theo hai đường (hình 2.10) a) Đoa ̣n thẳng OA b) Theo đường Parabol y = x 2

Hình 2.10 Giải: a) Đoa ̣n thẳng OA có phương trı̀nhy x , với x O 0;x A 1 Áp dụng (2.16), ta có 2   1 2  2 

L 3 x dx xydy x x dx b) Parabol có phương trı̀nh y x 2 , cũng áp dụng (2.16)

Vı́ du ̣ 2.7: Tı́nh tı́ch phân 2 2

I   y dx x dy , với L là đường tròn tâm O, bán kı́nh r 1 có chiều ngược kim đồng hồ (Hình 2.11) f(x)=x f(x)=x^2 f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x f(x)=x^2

Giải: Đường L có phương trı̀nh tham số      cos : 0 2 sin x t y t t (chiều ngược kim đồng hồ cho thấy t tăng dần) Áp dụng (2.15) suy ra

Vı́ du ̣ 2.8:Tı́nh tı́ch phân   

I arctg dy dxy x , với L là biên miền phẳng giới hạn bởi y = x và y = x 2 và theo chiều kim đồng hồ (Hình 2.12)

Hoành độ giao điểm hai đường cong : x=0 và x=1

Ta có L L L 1  2 trong đó L1 là phần parabol y = x 2 (x:10) và

L2 là phần đường thẳng y = x (x: 01) f(x)=x^2 f(x)=x Shade 1

 Trên cung L1 : y = x 2 , hướng từ A(1, 1) đến O nên

I arctg ydy dx arctgx x dx x arctgx x arctgx x

 Trên L2: y=x, hướng từ O đến A(1,1) nên

I arctg dy dxy arctg dx x

2.2.6 Tı́ch phân đường loa ̣i hai trong không gian

Trong không gian Oxyz, nếu đường cong L đi từ điểm A đến điểm B, thì tích phân đường của các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trên đường L được ký hiệu rõ ràng, giúp thể hiện các giá trị và tính chất của đường cong một cách chính xác.

 Cách tính: Nếu cung L cho bởi phương trı̀nh tham số

  có hướng từ A (tương ứng với t A ) đến B (tương ứng với t B ), thı̀ ta có công thức tı́nh

Vı́ du ̣ 2.9: Tı́nh tı́ch phân

I   zdx xdy ydz  , với cung AB cho bởi phương trı̀nh

  cos sin 3 x t y t z t hướng từ A(1,0,0) đến B(1,0,6) (Hình 2.13)

Hình 2.13 Giải: Điểm A tương ứng tA=0 và B tương ứng tB=2 Theo công thức

3 ( sin ) cos cos sin 3 3 sin cos 3sin 7

2.2.7 Liên hê ̣ giữa hai loa ̣i tı́ch phân đường

Go ̣i  là góc giữa tru ̣c Ox với vectơ tiếp tuyến MT

(hướng theo chiều tăng của cung MT

),  là góc giữa tru ̣c Oy vớiMT

Ta có công thức liên hê ̣ giữa hai loa ̣i tı́ch phân đường

2.2.8 Công thức Green Đi ̣nh lý: Cho đường cong kín L có chiều dương và D là miền đóng giới hạn bởi L (hình 2.15) Nếu các hàm P(x,y),

Q(x,y) và các đa ̣o hàm riêng cấp mô ̣t của chúng liên tu ̣c trên mô ̣t miền mở chứa D thı̀ ta có công thức

Pdx Qdy dxdy x y (2.20) Chúng ta không chứng minh công thức này

 Chu ́ y ́ : Nếu trong công thức Green lấy P= - y và Q = x thı̀

D L L dxdy  xdy ydx  S  xdy ydx

Tương tự, diện tích miền D còn có thể tính bởi:

Vı́ du ̣ 2.10: Tı́nh tı́ch phân    

I   xy x y dx   xy x y dy  với L là đường elip x 2 2  y 2 2 1;  a 0,b 0 a b , lấy theo ngược chiều kim đồng hồ (Hình 2.16)

Hình 2.16 x(t)=3*cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3*cos(t) , y(t)=sin(t)

Theo công thức (2.20) ta có ( )

Chúng ta tính tích phân bội bằng cách đổi biến : Đă ̣t 

  cos sin x ar y br suy ra J = abr; D D’: 0 2

I d br ar abrdr ab b a d r dr

Vı́ du ̣ 2.11: Tı́nh diê ̣n tı́ch của miền giới ha ̣n bởi đường axtrôit:

Giải: Áp dụng công thức (2.21) và (2.15)

1 cos 3 cos sin sin 3 cos sin

I x y dx x dy trong đó C có phương trình y 1 2xx 2 hướng từ A(0,1) đến B(2,1) (Hình 2.18)

Gọi L là đoạn thẳng y = 1 hướng từ B đến A (Hình 2.18)

Nối liên tiếp C và L ta được đường cong kín chiều dương Áp dụng tính chất (2.13) suy ra

         Áp dụng các tính tích phân bội, ta có

2.2.9 Điều kiê ̣n để tı́ch phân đường không phu ̣ thuô ̣c đường lấy tı́ch phân

Qua các vı́ du ̣ trên, ta thấy rằng tı́ch phân đường loa ̣i hai

Trong phân tích toán học, một điểm không chỉ thuộc vào hai điểm A và B mà còn có thể thuộc về phương trình đường cong nối giữa chúng Nếu một điểm nằm trên đường cong AB, ta cần xác định xem điểm đó có thuộc vào các điểm cố định A, B hay không, cũng như có nằm trên đường nối của hai điểm này hay không Khi nào thì phân tích chỉ tập trung vào việc xác định các điểm thuộc vào A và B mà không liên quan đến đường cong nối giữa chúng? Đây là câu hỏi quan trọng trong việc hiểu mối quan hệ giữa các điểm và đường cong trong không gian toán học.

Ta có các đi ̣nh lý sau (chúng ta không chứng minh) f(x)=1+2*x-x^2 f(x)=1+2*x-x^2 f(x)=1 Shade 1

Theo định lý 2.2.1, giả sử hai hàm P(x,y) và Q(x,y) cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền mở đơn D, thì bốn mệnh đề liên quan đến tính khả vi của các hàm này là tương đương nhau Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của điều kiện liên tục các đạo hàm riêng cấp một trong việc xác định khả vi của hàm trong miền mở Các mệnh đề này cung cấp nền tảng cho việc phân tích và chứng minh tính khả vi của các tổ hợp hàm đa biến trong lĩnh vực phân tích toán học.

 , trong đó L là đường cong kı́n bất kỳ nằm trong D

 (Cung AB nằm trong D) không phu ̣ thuô ̣c vào đường lấy tı́ch phân mà chı̉ phu ̣ thuô ̣c vào điểm đầu A và điểm cuối B

Khi đó ta còn có một ký hiệu khác

4 Biểu thức Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của mô ̣t hàm u(x,y) nào đó trong miền D, tức là du=Pdx+Qdy Khi đó ta có cách tính  B   ( ) ( )

Giả sử các hàm P(x,y), Q(x,y) thỏa mãn mệnh đề 1 của đi ̣nh lý trên, khi đó ta có các cách tı́nh tı́ch phân đường loa ̣i hai

 Ca ́ ch 1: Giả sử A(x 0 ,y0), B(x1,y1) Cho ̣n C(x1,y0), ta thấy rằng

 Ca ́ ch 2: Tı̀m hàm u(x,y) xác định trên D sao cho du=Pdx+Qdy

 Từ phương trình (1), lấy nguyên hàm theo x hai vế chúng ta suy ra phương trình dạng u  f x y  ,   g y   Để tìm

  g y , chúng ta lấy đạo hàm phương trình này theo y và so sánh (2)

Sau khi có hàm u(x,y), chúng ta dùng (2.23) để tính tích phân đường

   theo đường cong không cắt tru ̣c Oy (Hình 2.20)

Ca ́ ch 1: Theo (2.24) ta có

Ca ́ ch 2: Tìm hàm u(x,y) sao cho du ydx xdy 2 x hay

  x Tính đạo hàm theo y từ biểu thức vừa tìm được và so sánh (2) ta có g    y  0 nên g y   là hằng số nào đó Chọn hằng số đó là 0

I x y trong đó C là nửa đường tròn

Phương trình tham số của C là

  (tương ứng từ A đến B thì t đi từ 0 đến )

Do đó theo (2.15) ta có

 Mặc dù tích phân trên thỏa mãn điều kiện  

Trong quá trình giả thiết định lý, chúng ta nhận thấy rằng nó không thỏa mãn tại gốc O, điều này khiến chúng ta không thể thay thế điểm C bằng đoạn thẳng AB như dự kiến Thay vào đó, sinh viên nên thử nghiệm bằng cách thay thế đoạn thẳng bằng đường gấp khúc A → (0,2) → B để kiểm tra tính đúng đắn của định lý Việc này giúp hiểu rõ hơn về giới hạn và ứng dụng của định lý trong các trường hợp phức tạp hơn, từ đó nâng cao kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán hình học.

 Chúng ta có thể dùng cách làm thứ 2 giống với ví dụ 2.13 Khi đó hàm u có thể là u  1 2 ln  x 2  y 2 

Trong không gian Oxyz, định lý tương tự như Định lý 2.2.2 nói rằng, nếu các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền đơn liên V, thì các mệnh đề sau đây là tương đương:

 , trong đó L là đường cong kı́n bất kỳ nằm trong V

 không phu ̣ thuô ̣c vào đường lấy tı́ch phân mà chı̉ phu ̣ thuô ̣c vào điểm đầu A và điểm cuối B (Cung AB nằm trong V)

Ta còn có ký hiệu khi đó là:

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

4 Biểu thức Pdx+Qdy+Rdz là vi phân toàn phần của mô ̣t hàm u(x,y,z) nào đó trong miền V, tức là du Pdx Qdy Rdz  

Khi đó ta có cách tính  B    ( ) ( )

Trong hệ thống Oxy, dựa vào định lý đã đề cập, ta có thể áp dụng hai phương pháp tính tích phân đường loại hai trong không gian khi mệnh đề đầu tiên của định lý này được thỏa mãn Ví dụ cụ thể sẽ minh họa rõ hơn về cách thực hiện các phương pháp này trong thực tế.

I e y yz dx xz e y dy xy z dz

Qua cách ký hiệu tích phân, chúng ta kiểm tra mệnh đề 1 trong định lý thì thấy thỏa mãn Chúng ta đặt

( , , ) x cos x sin du x y z e y yz dx xz e y dy xy z dz Tức là u x e x cosy yz u ;  y xz e x sin ;y u z xy z

Từ phương trình thứ nhất   u e x cos y xyz f y z     , Đạo hàm theo y biểu thức u vừa tìm được và so sánh phương trình u y Suy ra f y   0 f y z  ,  g z( ) (hàm g không chứa y và x)

Lúc này chúng ta có u e  x cos y xyz g z     Tiếp tục đạo hàm u tìm được theo z và so sánh phương trình u z suy rag z( )z

2.3.1 Áp dụng tích phân đường loại 1, tính

1) Độ dài cung C có phương trình ,   0;1

2) Chu vi hình tròn bán kính R>0

2.3.2 Áp dụng tích phân đường loại 2, tính

1) Diện tính hình tròn bán kính R>0

2) Diện tích hình phẳng tạo bởi đường cong

 , L có phương trình ysinxtừ O đến A(, 0)

 , L có phương trình y = x 3 + 2 từ A(1, 3) đến B(-1, 1)

 , L có phương trình x – y = 1 – y 2 từ A(1, 0) đến B(-1, -1)

 , L là giao tuyến của paraboloit z = x 2 + y 2 với mặt phẳng z = 5

 , L có phương trình x – y = 1 – y 2 từ A(1, 0) đến B(-1, -1)

 trong đó L khúc đường cong khép kín có phương trình

2 4 2 4 x  y  theo chiều kim đồng hồ

 , L là biên chiều âm vật thể giới hạn bởi các đường cong y=-x 2 và y = x-2

I  xy  dy y x  x dx, C có phương trình

 , C là giao tuyến theo chiều dương

(ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ hướng dương của trục Ox) giữa paraboloit z = x 2 + y 2 với mặt phẳng x – y – z = 1

A yz xz dx xz y dy x z xy dz

I  e yk y dx e k y dy Tìm hằng số k để I không phụ thuộc phương trình của C mà chỉ phụ thuộc hai đầu của nó

Tính I trong trường hợp k = -1 và C đi từ 0; 0;

F x y P x y Q x y khi vật di chuyển trên đường cong L được tính là

 F x y ( , )   e x 2  3 ; y x 2  y 2  khi vật di chuyển theo đường cong có phương trình x=y 2 -2y từ O đến A(0, 2).

TÍCH PHÂN MẶT

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Cho mặt phẳng S và hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt S Chia mặt S thành n phần nhỏ không chồng chéo nhau theo cách tùy ý để tạo thành các mảnh nhỏ gọi là ΔS₁, ΔS₂, , ΔSₙ Trên mỗi mảnh nhỏ này, ta có thể tính các giá trị của hàm f để thực hiện các phép tính tích phân hoặc nghiên cứu biến đổi của hàm số trên mặt S.

 cho ̣n tùy ý mô ̣t điểm M x y z i ( , , ) i i i  i1, 2, n  và lâ ̣p tổng

Go ̣i d i là đường kı́nh của mảnh S i Khi n  sao cho

Giới hạn của tích phân mặt liên quan đến việc xác định diện tích của một mặt S trong không gian ba chiều Tích phân mặt là phép tính toán diện tích của hàm \(f(x, y, z)\) trên mặt S, không liên quan đến cách chia mặt S hay lấy điểm M i Đây là khái niệm cơ bản của tích phân mặt trong giải tích, giúp đo lường diện tích của các bề mặt phức tạp trong không gian.

Hàm số \(f(x, y, z)\) được gọi là khả tích trên mặt cong \(S\) Theo định lý 3.1.1, nếu mặt \(S\) trơn (có đạo hàm tuyến tính khác 0 và biến thiên liên tục trên \(S\)) và hàm \(f(x, y, z)\) liên tục trên mặt \(S\), thì tích phân (3.1) tồn tại.

 dS chính là diê ̣n tı́ch của mă ̣t cong S

1) Nếu f x y z( , , ), ( , , )g x y z khả tı́ch trên mă ̣t S, còn a, b là các hằng số thì

2) Nếu mặt cong S được chia thành 2 mặt S1 và S2 không giao nhau thı̀

Phương pháp chung là đưa tích phân mặt loại một ( , , )

I  f x y z dS về tích phân kép như sau

Giả sử mă ̣t cong S có phương trı̀nh dạng z  z x y( , )và hàm ( , , ) f x y z liên tu ̣c trên mă ̣t cong S

Gọi Dxy là hı̀nh chiếu vuông góc của mă ̣t cong S lên mă ̣t phẳng Oxy Giả sử z x y( , ) và các đa ̣o hàm riêng z x y z x y / x ( , ), ( , ) / y liên tu ̣c trong miền Dxy

Xét điểm M x y z x y  , , ( , )  bất kỳ trên mặt cong S có yếu tố diện tích mặt dS như Hình 3.1

Gọi , ,  i j k lần lượt là các Vectơ đơn vị trên các tia Ox, Oy, Oz

Vectơ pháp tuyến của mặt cong S tại M là

Gọi  là góc giữa Vectơ n(M)và Vectơ k

Hình chiếu của dS lên mặt phẳng Oxy tương ứng với yếu tố diện tích của Dxy, giúp xác định diện tích nhỏ bé của dS Do dS vô cùng nhỏ, ta có thể xem nó như một diện tích phẳng để dễ dàng tính toán Đây là bước quan trọng trong việc liên hệ diện tích trên mặt phẳng với diện tích trong không gian, đảm bảo sự chính xác trong các phép tính tích phân xác định.

Suy ra cos dS dxdy

Từ (3.4) và (3.5) ta được dS  1      z ' x  z ' y 2 dxdy (3.6)

1) Nếu phương trình của mặt S có dạng y y x z( , )thì ta có

  (3.8) với Dxz là hı̀nh chiếu vuông góc của mă ̣t cong S lên mă ̣t phẳng Oxz

2) Nếu phương trình của mặt S có dạng x x y z( , )thì ta có

Dyx là hình chiếu vuông góc của mặt cong S lên mặt phẳng Oyz Khi các đường thẳng song song với các trục tọa độ cắt mặt S nhiều hơn một điểm, ta sẽ chia mặt S thành các mảnh nhỏ hữu hạn Mỗi đường thẳng song song với các trục tọa độ sẽ cắt từng mảnh nhỏ sao cho không vượt quá một điểm, giúp phân chia mặt S thành các phần nhỏ hơn một cách hợp lý.

I  x y dS với S là mô ̣t phần tám mă ̣t cầu

2 2 2 2 x y z R nằm trong góc phần tám thứ nhất x0,y0,z0

Ta có phương trı̀nh mă ̣t S là z R 2 x 2 y 2

  Áp dụng công thức (3.7) ta có

Chuyển sang tọa độ cực cos sin x r y r

I  xyyzzx dS, với S là phần mă ̣t nón

2 2 z x y nằm trong mă ̣t trụ x 2 y 2 2 ,ax a0

Ta có phương trı̀nh mă ̣t S là z x 2 y 2

  Áp dụng công thức (3.7) ta có

Chuyển sang tọa độ cực cos sin x r y r

I  x y dS , với S là biên của vâ ̣t thể được xác định: V   ( , , ) x y z x 2  y 2   z 1 

Gọi Sxq là phần mặt nón z x 2 y 2 nằm dưới mặt phẳng z1,

Sd là phần của S trong mặt phẳng z1

Khi đó S = Sd + Sxq nên theo (3.3) ta có:

Ta có z / x z y / 0 Áp dụng công thức (3.7) ta có:

Chuyển sang hê ̣ to ̣a đô ̣ cực với cos sin , x r

 ta thu được kết quả

+ Trên S xq : z x 2 y 2 Ta có 1z x / 2 z / 2 y 2 Áp dụng công thức (3.7) ta có:

Chuyển sang hê ̣ to ̣a đô ̣ cực cos sin , x r

Vı́ du ̣ 3.4: Tı́nh diện tích phần mặt paraboloit 4x y 2 z 2 nằm dưới mặt phẳng x1

Từ phương trình mặt paraboloit ta có / , /

Do đó 1  x / 2 y  x z / 2   1 1 4  y 2  z 2  Áp dụng công thức (3.9) ta có diện tích cần tìm là

Chuyển sang tọa độ cực cos sin y r z r

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Mặt cong S được xác định là mặt có định hướng hay không, dựa trên vectơ pháp tuyến đơn vị n tại mọi điểm M trên mặt, và vectơ này phải biến thiên liên tục khi M di chuyển trên S Điều này đảm bảo rằng mặt cong S có tính chất liên tục và có thể xác định rõ ràng hướng của mặt tại mọi điểm, phù hợp với các tiêu chuẩn về mặt cong trong hình học vi phân.

Và ta gọi hướng dương hay phía d ươ ng của mặt cong là hướng mà khi ta đứng theo hướng đó thì pháp Vectơ ( )n M đi từ “ chân đế n đầ u”

Phía ngược lại gọi là phía âm hay hướng âm của mặt S n 

Hình 3.8 Để nói đến hướng của mặt cong người ta diễn tả bằng các cụm từ phía trên, phía dưới, phía trong, phía ngoài

Trong Hình 3.9 thì n định hướng phía trên và 'n định hướng phía dưới Còn trong Hình 3.10 thì n định hướng phía ngoài và 'n định hướng phía trong

Nếu xác định được hướng của mặt S, bạn cũng biết được hướng dương của các đường cong biên của S, chính là hướng mà khi đứng theo hướng dương của mặt S, người ta sẽ luôn nhìn thấy mặt S ở phía tay trái khi di chuyển trên các đường biên Hướng đi trên biên được thể hiện trong Hình 3.9 chính là hướng dương, tương ứng với pháp tuyến dương nρ, giúp xác định rõ vị trí và hướng tiếp cận trong không gian không gian ba chiều.

Trong các mặt cong không định hướng, ví dụ như lá Mobius trong Hình 3.11, ta gọi đó là mặt một phía vì khi lấy một vectơ pháp tuyến tại điểm M bất kỳ trên mặt và di chuyển nó quanh mặt không cắt đường biên, ta sẽ thấy hướng của vectơ pháp tuyến biến đổi ngược lại so với hướng ban đầu sau khi hoàn thành một vòng quay.

Cho các hàm ( , , ); ( , , ); ( , , )P x y z Q x y z R x y z xác đi ̣nh trên mô ̣t mă ̣t đi ̣nh hướng Scó vectơ pháp tuyến đơn vị là n    a b c , , 

   lần lượt là các vectơ đơn vị trên các tia Ox, Oy, Oz

  , , lần lượt là góc giữa vectơ n và các vectơ , ,  i j k

      nên suy ra n cos , cos , cos  

Khi đó tích phân mặt loại 1

 (3.10) được gọi là tích phân mặt loại 2 của các hàm P, Q, R trên mặt định hướng

S và được ký hiệu là

 (3.11) Định lý 3.2.1: Nếu S là mô ̣t mă ̣t cong trơn đã đi ̣nh hướng, các hàm P x y z Q x y z R x y z( , , ); ( , , ); ( , , ) liên tu ̣c trên mă ̣t S thı̀ tı́ch phân mă ̣t loa ̣i hai (3.10) tồn ta ̣i

Phương pháp chung là đưa về tích phân kép thông qua tích phân mặt loại một như sau

Giả sử mặt cong S có phương trı̀nh dạng z z x y( , )và mỗi đường thẳng song song với tru ̣c Oz cắt mă ̣t S ở không quá mô ̣t điểm

  (3.12) trong đó Dxy là hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng Oxy.

 Nếu pháp tuyến dương ( )n M của mă ̣t S ta ̣o với tia Oz mô ̣t góc nho ̣n thı̀ (3.12) trở thành

 Nếu pháp tuyến dương ( )n M của mă ̣t S ta ̣o với tia Oz mô ̣t góc tù thı̀ (3.12) trở thành

Tương tự ta cũng tı́nh được các tı́ch phân

1) Nếu những đường thẳng song song với các trục tọa độ cắt mă ̣t

S nhiều hơn mô ̣t điểm thı̀ ta sẽ chia mă ̣t S thành các mặt nhỏ

2) Nếu S là mă ̣t tru ̣ có đường sinh song song với tru ̣c Oz thı̀

 vì cos   0 Tương tự, nếu các đường sinh song song với trục Ox thì ( , , ) 0 cos  0 

 và song song với trục Oy thì ( , , ) 0 cos  0 

3) Nếu đổi hướng mặt cong S thì n  cos , cos , cos    

Do đó tích phân mặt loại hai sẽ đổi dấu

I  x y dxdy , với S là mă ̣t phía dưới của hı̀nh tròn x 2 y 2 R 2 ,R0 trong mặt phẳng Oxy

Hình chiếu của S xuống mặt Oxy là hình tròn D: x 2 y 2 R 2

Ta thấy   n k   ,   nên áp dụng công thức (3.14) ta có

Chuyển sang hê ̣ to ̣a đô ̣ cực cos sin x r y r

I  yz dxdy với S là mặt phı́a ngoài của vâ ̣t thể giới ha ̣n bởi x 2 y 2 R 2 , x0, y0, 0 z h.

Mă ̣t S đươ ̣c chia thành 5 mă ̣t: hai đáy S S 1, 2, hai mă ̣t bên S 3 , S 4 và phần mă ̣t tru ̣ S 5

Các mă ̣t S S 3, 4 và mă ̣t tru ̣ S 5 có đường sinh song song với tru ̣c Oz nên theo chú ý 2 thì tı́ch phân I trên các mă ̣t đó bằng 0

Trên mă ̣t S 1 có phương trình z0 nên

Trên mă ̣t S 2 có phương trình zh và   n k   ,  0 nên áp dụng công thức (3.13) ta có

I  yz dxdyh  ydxdy với D xy : x 2  y 2  R 2 , x  0, y  0

I  x dydzy dzdxz dxdy , với S là phía ngoài của nửa mă ̣t cầu x 2 y 2 z 2 R 2 , z0

I  x dydzy dzdxz dxdy x dydz y dzdx z dxdy

Ta thấy rằng S S 1 S 2 với S 1là phần mặt S ứng với x0 và

  n i   ,   2 ; S 2 là phần mặt S ứng với x0 và   n i   ,   2

Hı̀nh chiếu của S S 1, 2 lên mă ̣t Oyz là nửa hı̀nh tròn D yz z

Hình 3.14 Áp dụng công thức (3.16) ta có

I  x dydz x dydz x dydz x dydz x dydz

 Tương tự áp dụng công thức (3.15) ta có 2 2 0

Ta có phương trình mặt S là z 2 R 2 x 2 y 2 và   n k   ,   2

Hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là hình tròn D xy :x 2 y 2 R 2 Áp dụng (3.13) ta có 3 2  2 2 2 

Công thức này mô tả mối liên hệ giữa tích phân bội ba và tích phân mặt loại hai Định lý 3.2.2 cho biết rằng nếu các hàm \( P(x,y,z) \), \( Q(x,y,z) \), và \( R(x,y,z) \) cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong một miền mở chứa vùng V và biên của V, thì có thể áp dụng công thức tích phân này để liên kết các tích phân Đây là một công cụ quan trọng trong giải tích vector, giúp tính toán các tích phân phức tạp một cách chính xác hơn.

Trong đó S là biên của miền V, tı́ch phân mặt lấy theo phía ngoài của mặt S

Công thức (3.17) được gọi là công thức Gauss - Ostrogratski

1) Nếu P  x Q,  y R,  z thì từ công thức (3.17) ta có được công thức tı́nh thể tı́ch vật thể giới hạn bởi mặt kín S như sau

Trong đó tích phân lấy theo phía ngoài mặt cong S

2) Công thức Gauss là chính là công thức mở rộng của công thức Green từ không gian 2 chiều lên không gian 3 chiều

I  x dydzy dzdxz dxdy với S là mă ̣t ngoài của mă ̣t cầu x 2 y 2 z 2 R 2

Giải: Áp dụng công thức (3.17) ta có:

I  x dydzy dzdxz dxdy  x y z dxdydz với V x: 2 y 2 z 2 R 2

Chuyển sang hê ̣ to ̣a đô ̣ cầu sin cos sin sin cos x r y r z r

S là mă ̣t ngoài của mă ̣t nón z 2 x 2 y 2 , 0 z 1

Vì mặt cong S không kín nên ta ghép thêm mặt phẳng Sd để mặt

S  S S trở thành một mặt kín chính là mặt ngoài của biên hình nón

I y z dydz z x dzdx x y dxdy y z dydz z x dzdx x y dxdy y z dydz z x dzdx x y dxdy

      Áp dụng công thức (3.17) cho tích phân trên mặt S1 ta có

Mặt phẳng Sd có phương trình z1 và pháp tuyến vuông góc với trục Ox, Oy nên theo chú ý 2 ta có     0 d d

Vì  n   Sd , k   0 nên áp dụng công thức (3.13) ta có

I  xdydzydzdxzdxdy với S là phần mặt phẳng x  y z 1 pháp tuyến hướng về gốc tọa độ

Vì mặt S không kín nên ta ghép thêm 3 mặt phẳng tọa độ để tạo thành mặt S ’ là biên phía trong của hình chóp

I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy

   Áp dụng công thức (3.17) cho tích phân trên mặt S’ ta có

Mặt S1 có phương trình x0 và pháp tuyến vuông góc với các trục Oy, Oz nên suy ra I 1 0

Tương tự ta cũng có I 2 0,I 3 0

Công thức Stokes giúp xác định mối liên hệ giữa tích phân đường của trường vectơ và tích phân mặt của curl của trường qua mặt phân biệt hai Giả sử mặt cong S gồm nhiều mặt liên tiếp và có khả năng biến thiên liên tục, ta có định lý quan trọng trong lý thuyết trường vectơ Cụ thể, nếu các hàm P, Q, R liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trên mặt S, thì tích phân đường của vectơ trường quanh biên của S bằng tích phân mặt của curl của trường qua mặt S Đây chính là nội dung của Định lý 3.2.3, một trong những nền tảng cơ bản trong toán học và vật lý để kết nối giữa các tích phân đường và tích phân mặt của các trường vectơ.

Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y

(3.19) Trong đó L là biên của mă ̣t S, chiều lấy tı́ch phân trên L và S là chiều dương

Công thức (3.19) được gọi là công thức Stokes n

1) Nếu S là mô ̣t mặt phẳng vuông góc với tru ̣c Oz thı̀ từ phương trình zz 0 suy ra dz0 ta có công thức Green

2) Ta thường sử dụng công thức Stokes khi tính tích phân đường loại 2 với đường cong L là biên của một mặt cong nào đó vì việc tham số đường cong trong không gian thường khá phức tạp

Dòng vector của vectơ trường được xác định là \( \vec{F} = y\,dx + z\,dy + x\,dz \) Đường cong lề của mặt phẳng \( x + y + z = 0 \) và mặt cầu \( x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \) là các đối tượng hình học quan trọng trong phân tích vector Hướng của đường tròn giao tuyến giữa hai mặt này được xác định theo chiều ngược kim đồng hồ, bắt đầu từ hướng dương của trục Ox Phân tích này giúp hiểu rõ hơn về tính chất và tính chất trường vector trong không gian ba chiều.

Ta gọi S là hı̀nh tròn với biên là đường tròn L nằm trong mă ̣t phẳng x  y z 0, có pháp tuyến n    1,1,1  Áp dụng công thức (3.19) ta có:

I   ydxzdyxdz  dydzdxdzdxdy

Từ (3.10), (3.11) ta có  cos cos cos 

I       dS với 1 1 1 cos , cos , cos

      là các cosin chı̉ hướng của pháp Vectơ n

TRƯỜNG VECTOR

Ta nói rằng trong miền V R 3 có mô ̣t trường vô hướng u nếu ta ̣i mỗi điểm MV xác đi ̣nh một đa ̣i lượng vô hướng u M( )

Như vâ ̣y cho mô ̣t trường vô hướng trong miền V là cho mô ̣t hàm vô hướng u x y z( , , ) xác đi ̣nh trong miền ấy

Tương tự ta cũng có trường vô hướng u x y( , ) trong không gian R 2

1) Trong bản đồ độ cao các điểm sẽ ta ̣o nên mô ̣t trường vô hướng vı̀ độ cao của mỗi điểm được biểu thi ̣ bằng mô ̣t số

2) Trong bản đồ nhiệt độ cũng xác định một trường vô hướng

Trong bài viết này, chúng ta tập trung nghiên cứu các trường vô hướng mà hàm u không phù thuộc vào thời gian t Những trường vô hướng này còn được gọi là các trường dừng, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết về các hệ thống vật lý và toán học Việc nhận biết và phân tích các trường vô hướng giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm của hệ thống mà không bị ảnh hưởng bởi yếu tố thời gian.

Trong miền V, trường vô hướng u(x, y, z) xác định và liên tục trong điểm M₀ = (x₀, y₀, z₀) Từ điểm M₀, ta vẽ một đường thẳng định hướng theo vector a⃗ có các cosin chỉ hướng là cos α, cos β, cos γ, như minh họa trong Hình 3.21.

Giả sử M 1  x 0 x y, 0 y z, 0  z  V là mô ̣t điểm nằm trên đường thẳng đi ̣nh hướng a

Đă ̣tM M 0 1 Ta có đi ̣nh nghı̃a sau: Nếu khi 0 (tức M 1 dần tới M 0 theo hướng vectơ a

  tồn tại hữu hạn thı̀ giới ha ̣n ấy go ̣i là đa ̣o hàm của hàm u theo hướng a ta ̣i điểm

 không những phu ̣ thuô ̣c vào điểm M 0  x y z 0, ,0 0  mà còn phu ̣ thuô ̣c vào hướng a

Đă ̣c biê ̣t nếu a trùng với hướng dương của tru ̣c Ox thı̀ ta có

  Điều này chứng tỏ đa ̣o hàm riêng u x

 chı́nh là đa ̣o hàm của u x y z  , ,  theo hướng của tia Ox

Tương tự, các đa ̣o hàm riêng u, u y z

  chı́nh là các đa ̣o hàm của hàm

 , ,  u x y z theo hướng của các tia Oy Oz, Đa ̣o hàm theo hướng a biểu thi ̣ vâ ̣n tốc biến thiên của hàm

Đi ̣nh lý 3.3.1: Nếu hàm u  u x y z  , ,  khả vi ta ̣i điểm M x y z  , ,  thı̀ ta ̣i điểm đó nó có đa ̣o hàm theo hướng a bất kỳ và cos cos cos u u u u x y z a   

Vı́ du ̣ 3.13: Cho hàm uxyyz 2 1 và hai điểm M 0 1,1, 2 vàM 1 0, 2, 2 Hãy tı́nh đa ̣o hàm của hàm u theo hướng vectơ

       Áp dụng công thức (3.21) ta có

 Đi ̣nh nghĩa: Cho trường vô hướng uu x y z( , , ) Ta go ̣i vectơ gradient của trường u ta ̣i điểm M x y z( , , ), ký hiệu gradu M ( ) hay ( )

 Đi ̣nh lý 3.3.2: Cho trường vô hướng uu x y z( , , ) và vectơ a

Khi đó ta có: u cos u a 

Với φ là góc giữa vectơ u và a

Từ công thức (3.23) ta thấy rằng đạo hàm của hàm ( , , )u x y z theo hướng Vectơ a đạt giá trị lớn nhất khi vectơ a cùng hướng với Vectơ u

Thật vậy, giả sử a ( , , )a a a 1 2 3 và có các côsin chı̉ hướng là cos , cos , cos  

Ta có 1 2 3 cos a i a , cos a j a , cos a k a a a a a a a

Nếu a 0 (cos , cos , cos )   thì a a  0 , cùng hướng và a 0 1

Mặt khác u ucos ucos ucos 0 cos u a u x y z a    

Vı́ du ̣ 3.14: Tìm hướng mà hàm ux 2 y 2 2z 2 zlnx biến đổi nhiều nhất tại điểm M 0 1,1,1

Giải: Áp dụng công thức (3.22) ta có

 khi vectơ a cùng hướng với vectơ (3, 2, 4) 

Vậy hướng cần tìm là ak(3, 2, 4), k 0.

 Tı́nh chất của vectơ gradient

Cho các trường vô hướng u, u1, u2 và C là hằng số bất kỳ Khi đó

Ta nói rằng trong miền V R 3 có mô ̣t trường vectơ F

, nếu ta ̣i mỗi điểm MV xác định một đại lượng vectơ hay một hàm vectơ ( ) ( , , )

Như vâ ̣y cho mô ̣t trường vectơ F trong miền V là cho mô ̣t hàm vectơ F M   F x y z  , , P x y z i Q x y z j  , ,   , , R x y z k  , ,  xác đi ̣nh trong miền ấy

Trường vectơ F được go ̣i là liên tu ̣c trong V nếu P Q R, , là các hàm liên tu ̣c trên V

Trường vectơ F được go ̣i là khả vi trong V nếu P Q R, , là các hàm khả vi trên V

Tương tự ta cũng có trường vectơ trên R 2

Sau đây ta chỉ xét các trường vectơ trong R 3

1) Trường vectơ vâ ̣n tốc của mô ̣t dòng chảy có hướng tiếp tuyến đối với dòng chảy ấy là 1 trường vectơ

2) Trường lực, trường gradient của một mặt cong nào đó cũng là các trường vectơ

3) Từ trường cũng là một trường vectơ

3.3.3 Thông lượng và độ phân kỳ

    và mô ̣t mă ̣t đi ̣nh hướng S có pháp tuyến dương đơn vị n

Giả sử cos , cos , cos   là các côsin chı̉ hướng của n

W  P Q R  dS  PdydzQdzdxRdxdy (3.28) được gọi là thông lượng của trường Vectơ F qua mặt cong S

Nếu ta đă ̣t F n Ch F n   là hình chiếu vuông góc của F lên Vectơ n thì F n  F n P cos Q cos R cos , n cos , cos , cos   z x y

Khi đó thông lượng có thể viết dưới da ̣ng n

Trong đó, W = ∫∫ F · dS = ∫∫ F · n · dS thể hiện rằng nếu F là trường tốc độ của dòng chất lỏng thì lưu lượng của trường F qua mặt cong S chính là lượng chất lỏng chảy qua diện tích S theo hướng pháp tuyến n trong một đơn vị thời gian Đây là khái niệm quan trọng trong thủy động lực học, giúp xác định lượng dòng chảy qua một mặt phẳng trong hệ thống chất lỏng.

Vı́ du ̣ 3.16: Tı́nh thông lượng của trường vectơ

    qua phı́a ngoài mă ̣t xung quanh của khối nón tròn xoay có tru ̣c là Oz, đáy thuô ̣c mă ̣t phẳng Oxy, bán kı́nh R2, đô ̣ cao h1

Giải: Áp dụng công thức (3.28) ta có thông lượng của trường F

Vì mặt cong S kín nên áp dụng (3.17) ta có

Khi đó đa ̣i lượng P Q R divF x y z

 (3.30) được go ̣i là đô ̣ phân kỳ hay divergence của trường vectơ F

3.3.3.3 Ý nghĩa và mối quan hệ giữa thông lượng và độ phân kỳ

Trong đó, P, Q, R là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền kín V, có biên là mặt S Công thức Gauss - Ostrogradski mô tả mối liên hệ giữa tích phân trên miền và tích phân trên biên, giúp hiểu rõ hơn về các tính chất của trường vector trong miền.

Như vâ ̣y thông lượng của trường vectơ F qua mă ̣t kı́n S bằng tổng độ phân kỳ của trường Vectơ đó trong miền V giới ha ̣n bởi mă ̣t S

Trong miền V, nếu giả sử dòng chảy phân phối liên tục và divergence của nó là dương, thì thông lượng W qua mặt S từ trong ra ngoài luôn mang ý nghĩa dương, cho thấy có điểm nguồn trong vùng Ngược lại, khi divergence của F vượt quá 0, điều này phản ánh sự xuất hiện của điểm nguồn trong miền, giúp xác định đặc điểm của dòng chảy hoặc trường vector trong không gian nghiên cứu.

  0 divF M  thì ta nói trong V có điểm rò

Nếu xét tại điểm M 0 V, có lân cận là quả cầu B0 có mặt cầu biên là

S0 thì áp dụng (3.31) và định lý giá trị trung bình của tích phân bội 3 ta có

    V   là mật độ thông lượng của trường F tại

3.3.4 Hoàn lưu và Vectơ xoáy

    liên tục trong miền V và L là mô ̣t đường cong kı́n nằm trong V

Khi đó đa ̣i lượng

= (dx, dy, dz), hoàn lưu có thể viết dưới dạng tích phân đường để xác định lượng dòng chảy tổng thể của trường vectơ qua đường cong này.

Nếu F là trường lực thì hoàn lưu của F dọc theo đường cong L chính là công sinh ra bởi lực F tác động lên chất điểm chạy dọc theo hướng của L

Vı́ du ̣ 3.17: Tı́nh hoàn lưu của trường vectơ

    do ̣c theo đường tròn L:

 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz

Giải: Áp dụng công thức (3.32) ta có hoàn lưu của trường F là:

Phương trı̀nh tham số của đường tròn L là:

(3.34) được go ̣i là vectơ xoáy hay Vectơ rôta của trường vectơ F

3.3.4.3 Ý nghĩa và mối quan hệ của hoàn lưu và Vectơ xoáy

Trong bài viết, các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trên mặt S có biên L Dạng vectơ của công thức Stokes dựa trên các hàm này giúp xác định lưu lượng của dòng chảy hoặc dòng điện qua mặt phẳng giới hạn Việc phân tích các hàm liên tục và đạo hàm riêng này là cốt lõi để áp dụng công thức Stokes trong Toán học và Vật lý.

Hoàn lưu của trường vectơ \( \mathbf{F} \) theo đường cong kín \( L \) được xác định bằng thông lượng của vectơ xoáy qua mặt cong \( S \) có biên là đường \( L \) Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa dòng chảy của trường vectơ và các đặc tính hình học của đường cong, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của trường vectơ trong không gian Đây là nguyên lý cơ bản trong lý thuyết trường vectơ, ứng dụng rộng rãi trong vật lý và kỹ thuật.

Trong miền V, đặt một vòng tròn nhỏ L gắn các cánh mỏng để đo tác động của trường tốc độ dòng chảy Khi có lực F tác động lên các cánh mỏng này, chúng sẽ xoay quanh trục theo đường cong L như minh họa trong Hình 3.25 Hiệu quả của sự xoay này phản ánh công sinh ra bởi lực F tác dụng lên các cánh mỏng, giúp đánh giá chính xác đặc tính của dòng chảy.

) tạo ra “xoáy” cho trường F

Nói một cách khác, hoàn lưu đặc trưng cho tính xoáy của trường Vectơ

3.3.5 Toán tử Hamilton – Toán tử Laplace

Ta go ̣i toán tử Hamiltơn (hay nabla) là mô ̣t vectơ tượng trưng như sau: i j k x y z

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm vô hướng u(x, y, z) và trường vectơ \(\vec{F} = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k}\) Các phép tính nhân vectơ được áp dụng một cách chính xác để xác định các kết quả như đạo hàm riêng, gradient, và các phép biến đổi vectơ khác Qua đó, việc tính toán các biểu thức liên quan đến đạo hàm và gradient giúp hiểu rõ hơn về các đặc tính của hàm và trường vectơ trong không gian ba chiều.

Hàm u x y z  , ,  được go ̣i là hàm điều hòa trong miền V nếu nó thỏa mãn phương trı̀nh Laplace

Ví dụ 3.18: Tính rot gradu ( )

Từ công thức (3.37) ta có rot gradu ( )rot (u)

Áp dụng (3.39) suy ra rot (  u)  u

Áp dụng (3.41) ta được kết quả rot gradu ( )   u 0

3.3.6 Một số trường Vectơ thông dụng

Trường vectơ  F x y z  , ,  được go ̣i là trường thế trong miền V R 3 nếu tồn ta ̣i mô ̣t trường vô hướng u x y z( , , ) sao cho

Khi ấy hàm ( , , )u x y z được go ̣i là hàm thế vi ̣ của trường vectơ F

Như vậy, trường vectơ

    là trường thế khi và chı̉ khi tồn tại hàm thế u x y z( , , ) thỏa mãn

Từ đó ta có được kết luận: trường vectơ F là mô ̣t trường thế trong miền V R 3 khi và chỉ khi

Nhận xét: Từ ví dụ 3.18 ta thấy rot grad u  0

Do đó mo ̣i trường vectơ grad u đều là trường thế với mo ̣i hàm u x y z  , ,  có đa ̣o hàm cấp hai liên tu ̣c

Trường vectơ F x y z   , ,  được go ̣i là trường ống trong miền

V R 3 nếu ta ̣i mo ̣i điểm M V ta đều có divF M     0

Như vậy, trong trường ống không có điểm nguồn cũng không có điểm rò

Trường vectơ F x y z   , ,  được go ̣i là trường điều hòa nếu nó vừa là trường thế, vừa là trường ống

Vì F là trường thế nên tồn tại hàm thế vị u x y z  , ,  sao cho

Mặt khác, F là trường ống nên divF0

Từ (3.40) và (3.38) ta có       u   u .F divF0.

Từ đó ta có hàm thế vị của một trường điều hòa là một hàm điều hòa.

Vı́ du ̣ 3.19: Xét trường lực hấp dẫn ta ̣o bởi mô ̣t chất điểm có khối lượng m đă ̣t ta ̣i gốc to ̣a đô ̣, được xác đi ̣nh theo công thức

Trường vectơ đã cho có phải là mô ̣t trường điều hòa không?

Theo giả thiết ta có 3

Từ đây ta suy ra m 3 ; m 3 ; m 3

Từ đây ta suy ra P Q y x

Tương tự ta cũng chứng minh được Q R z y

Vâ ̣y F là trường thế (*)

       Tương tự ta thu được các kết quả Q m 5 3 2 2  y r y r

Vâ ̣y F là trường ống (**)

Từ (*) và (**) suy ra F là trường điều hòa.

I  x y z dS với S là biên của hình lập phương  0  x y z , ,  1 

I z x ydS với S là phần mặt phẳng

   nằm trong góc phần tám thứ nhất

I  x z z y dS với S là mặt cầu

I  z y dS với S là phần mặt paraboloit

5 Tính diện tích phần mặt paraboloit y 9 x 2 z 2 nằm giữa hai mặt

6 Tính diện tích phần mặt cầu z 2x 2 y 2 cắt bởi mặt nón

7 Tı́nh diê ̣n tı́ch phần mă ̣t phẳng x2y  z 3 0 nằm trong ống tru ̣

8 Tính diện tích phần mặt paraboloit x 2 y 2  z 0 bị cắt bởi mặt phẳng z 4

I  xy zdxdy với S là mặt phía trong của nửa mặt cầu x 2 y 2 z 2 a 2 ,z0.

I  z dydz xz dxdzzdxdy với S là mặt phía trong của phần mặt trụ z 4 y 2 giới hạn bởi các mặt phẳng

I  zxdxdyxydydz yzdxdz với S là mặt ngoài của biên hình chóp giới hạn bởi các mặt phẳng

I  xzdydz yzdxdzdxdy với S là phía ngoài của phần mặt cầu x 2 y 2 z 2 25, 3 z 5

I  ydydzxydxdzzdxdy với S là mặt ngoài của biên vật thể xác định bởi x 2 y 2 9, 0 z x 2 y 2

I  x  x y dydz z  xy dxdzzdxdy qua phı́a ngoài phần mă ̣t nón z x 2 y 2 nằm trong hı̀nh tru ̣

I  x z dxdy với S là mặt phía ngoài của mặt elipxoit

I  xzdydz y dxdzz dxdy với S là mặt phía ngoài của mặt cầu x 2 y 2 z 2 1

I  yx dydz z y dxdz xz dxdy trong đó S là mặt phía ngoài của biên hình lập phương

I  xz dydzx ydxdzy zdxdy với S là mặt phía ngoài của biên vật thể giới hạn bởi các mặt

I  x  xy dydz yx zdxdz x y dxdy với S là biên ngoài của miền được giới hạn bởi

I  xdydzydxdzzdxdy với S là biên trong của miền giới hạn bởi 1x 2 y 2 z 2 4

21 Tính thông lượng của trường vectơ F   3 xi   4 y j     2 z k   qua mặt phía ngoài của phần mặt elipxoit 2 2 2 1, 0

22 Tính thông lượng của trường vectơ

    qua phı́a ngoài mặt cầu

23 Tính thông lượng của trường vectơ F2xiy j qua mặt phía ngoài của phần mặt trụ x 2 y 2 4, x0, y0, 0 z 8

24 Tính thông lượng của trường vectơ F2xiy j 2 zk qua phần mặt paraboloit y 2 z 2 2x bị cắt bởi mặt x2 hướng về phía âm của trục Ox

26 Tính thông lượng của trường vectơ F    xi  y j    z 2  3  k  qua phı́a ngoài phần mặt paraboloit z 1 x 2 y 2 , 0 z 10

27 Tính thông lượng của trường vectơ F3x i 3 y j 3 xzk qua phía trong của phần mă ̣t nón z 1 x 2 y 2 ,   3 z 1

28 Tính hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong C (ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ gốc tọa độ) trong các trường hợp sau: a) F zi x jyk với C là biên tam giác có 3 đỉnh (1,0,0); (0, 2,0); (0,0,3) b) F 3yi3x jzk với C là đường tròn giao tuyến của mặt trụ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Định dạng
Số trang	196
Dung lượng	5,66 MB