Giáo trình toán cao cấp a1

NGUYỄN QUANG HUY LÊ THỊ MAI TRANG HOÀNG THỊ MINH THẢO GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 3 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình Toán cao cấp A1 là một trong nhiều[.]

NGUYỄN QUANG HUY

LÊ THỊ MAI TRANG HOÀNG THỊ MINH THẢO

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Toán cao cấp A1 là một trong nhiều giáo trình của Bộ môn Toán, Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật

TP HCM được biên soạn nhằm chuẩn hóa giáo trình đại học, đặc biệt là đối với các môn học thuộc giai đoạn đào tạo đại cương trong chương trình đào tạo 150 tín chỉ

Giáo trình này gồm bốn chương và bốn phụ lục, được chúng tôi biên soạn dựa trên đề cương môn “Toán cao cấp A1”, có tham khảo nhiều tài liệu khác, góp phần vào việc giảng dạy, học tập môn “Toán cao cấp A1” cũng như các môn học khác tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô đã và đang công tác trong Bộ môn Toán đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong quá trình biên soạn giáo trình này Chúng tôi cũng cảm ơn TS Nguyễn Văn Toản

và TS Lê Xuân Trường về những ý kiến đóng góp cho bản thảo

Dù chúng tôi đã rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng cuốn giáo trình không tránh khỏi các thiếu sót Vì thế, chúng tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và các bạn sinh viên để giáo trình được hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về hộp thư: huynq@hcmute.edu.vn

MỤC LỤC

Lời nói đầu 3

Chương 1: Giới hạn và liên tục 7

1.1 Tập hợp 7

1.2 Ánh xạ 16

1.3 Hàm số 19

1.4 Giới hạn 32

1.5 Hàm số liên tục 51

Bài tập chương 1 57

Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến 62

2.1 Đạo hàm 62

2.2 Vi phân 76

2.3 Các định lý về hàm khả vi 80

2.4 Công thức Taylor và công thức Maclaurin 84

2.5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 92

Bài tập chương 2 118

Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến 124

3.1 Tích phân bất định 124

3.2 Tích phân xác định 144

3.3 Tích phân suy rộng 165

Bài tập chương 3 185

Chương 4: Chuỗi 190

4.1 Chuỗi số 190

4.2 Chuỗi hàm 205

4.3 Chuỗi lũy thừa 209

4.4 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 215

4.5 Chuỗi Fourier 220

Bài tập chương 4 231

Phụ lục 1: Giải gần đúng nghiệm của phương trình 235

Phụ lục 2: Tính gần đúng tích phân xác định 239

Phụ lục 3: Một số đề thi mẫu 246

Phụ lục 4: Một số câu hỏi trắc nghiệm 253

Tài liệu tham khảo 260

Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

dụ như tập hợp các số, tập hợp các điểm của đường thẳng, tập hợp các sinh viên trong một lớp,

Người ta thường ký hiệu tập hợp bởi các chữ in hoa A B, , , , Y Z

Các đối tượng tạo nên tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp và được ký hiệu bởi các chữ in thường a b, , , , y z Nếu a là phần tử của tập hợp A

thì ta viết a A  (đọc là: a thuộc A) Nếu a không là phần tử của tập hợp A thì ta viết a A (đọc là: a không thuộc A) Ví dụ, với tập hợp số

     được thúc đẩy bởi sự phát triển của thực tế sản xuất

và toán học Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc đó cần các số tự nhiên

Số âm xuất hiện khi bắt đầu xảy ra chuyện nợ nần, hoặc xuất hiện tình huống phải trừ số nhỏ cho số lớn Số hữu tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các phép chia không hết Còn số vô tỷ xuất hiện khi người ta thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh bằng 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực Việc giải phương trình x2 1 0 trên tập số thực thì không thực hiện được, vì vậy số phức xuất hiện để giải quyết bài toán này

1.1.4.1 Định nghĩa

Số phức có dạng z a bi  , ( ,a b )

a gọi là phần thực Ký hiệu: Re( )z a

b gọi là phần ảo Ký hiệu: Im( )z b

i gọi là đơn vị ảo của số phức Quy ước: i2  1

1.1.4.3 Các dạng biểu diễn của số phức

Đặt r =OM = a2 +b2 ³0, r được gọi là môđun của z và ký

hiệu là | |z Đặt Ox OM , ,  được gọi là argument của z và ký

O

f(x)=x f(x)=-x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

( , )

M a b

hiệu là arg z Các giá trị của arg z sẽ sai khác nhau k 2  Vì vậy, ta quy ước [0,2 ) hoặc  ( , ]  gọi là giá trị chính của argument

Suy ra z a bi  ( cos )r  i r( sin ) r.(cosisin )

Ta gọi z r (cosisin ) là dạng lượng giác của số phức

Ví dụ 1.4 Chuyển các số phức sang dạng lượng giác

a/ z 1 3i

Giải:

Ta có r a2b2  1 3 2  và

1cos

2

33

sin

2

a r b r

2

sin

a r b

i i

ii) Tổng, hiệu hai số phức dạng lượng giác

1 2 ( cos1 1 2cos 2) ( sin1 1 2sin 2)

vi) Khai căn bậc n của số phức

Cho số phức z  r(cos isin) 0 và n,n2

Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z  wn = z

Các căn bậc n của số phức z được xác định như sau:

61

4



34

 Y được gọi là tập đích,

 x được gọi là tạo ảnh, y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

và ta viết y f x( )

Hình 1.9

Ta có thể phát biểu như sau:

f đơn ánh  phương trình f x( )=ycó nhiều nhất một nghiệm

f cũng không là toàn ánh vì tồn tại y = - 1 mà không tồn tại x

thuộc  thỏa x = -2 1 Do đó, f không là song ánh

1.3 HÀM SỐ

1.3.1 Định nghĩa

Ánh xạ f X: Y với X Y Ì,  được gọi là hàm số một biến số (thực) Nghĩa là mỗi phần tử x X xác định được duy nhất một phần tử

y Y Khi ấy, ta gọi X là miền xác định của hàm số f, được ký hiệu là D f;

y là ảnh của x hay giá trị của f tại x và ta viết y f x( ) Miền giá trị của hàm

f là tập tất cả các ảnh của các phần tử thuộc X, được ký hiệu là R f hay T

Chú ý: Khi cho hàm số mà không nói rõ đến miền xác định thì ta

qui ước miền xác định của hàm số y f x( ) là tập hợp các giá trị của x

làm cho biểu thức f x( ) có nghĩa

Đồ thị của hàm sốy f x( )còn được gọi là đường cong y f x( )

1.3.2 Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu, bị chặn

a/ y =x2 là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy

b/ y = sinx là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc O

1.3.2.2 Hàm số tuần hoàn

Hàm số y f x( ) gọi là tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại số thực

 

chất trên được gọi là chu kỳ của hàm số Đồ thị của hàm tuần hoàn lặp lại sau mỗi chu kỳ

Ví dụ 1.16

a/ Hàm sin , cosx x là các hàm tuần hoàn có chu kỳ là 2

b/ Hàm tan , cotx x là các hàm tuần hoàn có chu kì là 

Hàm số tăng hay giảm trên D được gọi là đơn điệu trên D Hàm số

chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trong một miền được gọi là hàm đơn điệu trong miền đó

Ví dụ 1.20

1

/ :

3 1:

13

a f

f

y y

/ :

( ) 4 3:

3( )

   : Miền xác định phụ thuộc p,q

 là số vô tỉ: Hàm số y x  xác định tại mọi x0 nếu  0 và tại mọi x0nếu  0

Đồ thị của hàm số yx luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc O nếu  0, không đi qua gốc O nếu  0

Ví dụ 1.22 Mô hình tăng trưởng theo hàm mũ

Một quần thể sinh học tăng trưởng theo một cách mà tại thời điểm t

(tính bằng phút) thì số cá thể của quần thể là ( ) 0 kt

P t P e với P0 là số cá thể lúc đầu và k là một hằng số dương Giả sử quần thể bắt đầu với 3000

cá thể và sau 30 phút thì số cá thể là 6000 Tìm k và tính số cá thể (làm

tròn đến hàng trăm) sau 60 phút

Ta có

(30) 30

(30) 3000

6000 3000

1

ln 230

k k

e k

0 x 1 thì loga x0, nếu x1 thì loga x0

Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0,1) do log 1 0a 

Hình 1.13

1.3.5.5 Các hàm số lượng giác ngược

d Hàm số y= arccotx

Là hàm ngược của hàm ycotx Hàm y= arccotx có D   ,

miền giá trị là T  0, và là hàm giảm

1.3.5.6 Các hàm hyperbolic và hàm ngược của chúng

a) Hàm sin hyperbolic: sinh

b) Hàm cos hyperbolic: cosh

x



Hình 1.25

e) Các hàm hyperbolic ngược

Hàm sin hyperbolic ngược: sinh1xlnx 1x2, x Hàm cos hyperbolic ngược: cosh1xlnx x2 1 ,   x 1.Hàm tan hyperbolic ngược: 1 1 1

Những hàm số không được xây dựng theo cách vừa nêu thì không

là hàm số sơ cấp, ví dụ hàm số xác định từng khoảng hay hàm rẽ nhánh

Ví dụ 1.26 (nguồn tham khảo: internet)

Một dãy số rất nổi tiếng là dãy Fibonacci được đặt theo tên của nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci, người đã công bố nó vào khoảng năm 1202: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

Dãy Fibonacci cho bởi công thức truy hồi

x  x  x n x n1x n2  n 3

Liên quan đến dãy Fibonacci, ta có bài toán con thỏ đẻ con sau đây:

Giả sử một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng

đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái) Một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn Nếu vào tháng thứ nhất (tháng Giêng) có

một đôi thỏ sơ sinh thì số thỏ sau n tháng là bao nhiêu?

Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:

Tháng Giêng và tháng Hai: chỉ có 1 đôi thỏ

Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ

Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này

Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi x n là số đôi thỏ có ở

a Dãy  x gọi là dãy tăng nếu n x n x n1 ;  n

b Dãy  x gọi là dãy giảm nếu n x n x n1 ;  n

c Dãy  x gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M   sao cho n

3 Định nghĩa dãy con Cho dãy  x Từ dãy này ta trích ra một dãy n

 x n k với n1n2 n k n k1, ta gọi  x n k là dãy con của dãy  x n

1.4.1.2 Định nghĩa và tính chất của giới hạn dãy số

1 Định nghĩa giới hạn dãy số

Số thực a được gọi là giới hạn của dãy  x nếu n

Dãy có giới hạn hữu hạn a được gọi là dãy hội tụ Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ

2 Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cùng

Dãy x n có giới hạn dương vô cùng nếu  A ,  N 0 sao cho

3 Tính chất của dãy hội tụ

4 Tính chất của giới hạn dãy số

Nếu lim n , lim n

Ví dụ 1.33 Tính

2

3lim 1

n n

Cho D là tập số thực Số thực x0 gọi là điểm tụ của D nếu và chỉ

nếu tồn tại dãy số x nD x\{ }o hội tụ đến x0

Cho   Ta gọi 0 - lân cận của x0 là tập x: x x 0 

Vậy x - lân cận của  x0  x (x0, x0)

Người ta cũng gọi x0 ,x0,x x0, 0 lần lượt là các  -lân

cận trái, phải của điểm x0

1.4.2.3 Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ   ,

Cho hàm số y f x( ) có miền xác định D và x0 là điểm tụ của D

Ta nói số a là giới hạn của f x( ) tại x0 (hay a là giới hạn của

1.4.2.4 Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ dãy số

Cho hàm số y f x( ) có miền xác định D và x0 là điểm tụ của D

Số thực a gọi là giới hạn của f x( ) tại x0 nếu và chỉ nếu

Số thực A gọi là giới hạn của f x( ) khi x tiến về dương vô cùng

nếu với mọi   bé tùy ý, tồn tại số dương M đủ lớn sao cho khi 0

x M thì ( )f x   Ký hiệu:A  lim ( )f x  A

Số thực B gọi là giới hạn của f x( ) khi x tiến về âm vô cùng nếu

với mọi   bé tùy ý, tồn tại số dương M đủ lớn sao cho khi x0  M

d) (Định lý giới hạn kẹp) Nếu f x( )g x( )h x( ) trong một lân cận của x0 (tức là x(x0, x0)) và

f) Giả sử hàm số f x( ) xác định tại mọi x dương lớn tùy ý, khi

đó nếu hàm f x( ) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f x( ) có giới hạn khi x .Giả sử hàm số f x( ) xác định tại mọi x âm lớn tùy

ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f x( ) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f x( ) có giới hạn khi x  

Mà theo tính chất a) thì giới hạn phải duy nhất, do đó không tồn tại lim sin

 Tương tự, ta chứng minh được rằng các hàm lượng giác sin , cos , tg , cotgx x x x đều không có giới hạn khi x 

1.4.4 Giới hạn một phía

1.4.4.1 Định nghĩa giới hạn trái

Cho hàm số y f x( ) xác định trên D Số a được gọi là giới hạn

trái của hàm số y f x( ) tại điểm x0 nếu và chỉ nếu:

1.4.4.2 Định nghĩa giới hạn phải

Cho hàm số y f x( ) xác định trên D Số a được gọi là giới hạn

phải của hàm số y f x( ) tại điểm x0 nếu và chỉ nếu:

e x

a

a x

1lim(1 ) ; lim 1

x x

c/  2 2

2

1 3 3

1 khi 0

x x x

khi 0

1 khi 0sin

x x

x x

a/ Cho r (t)= 50023500e0,2382t (đơn vị tính là $1) là giá trị bán

lại của một cái máy sau t năm tính từ lúc mua Tính lim r(t)

t  và ước tính

giá trị của cái máy sau khoảng thời gian t đủ lớn

b/ Giả sử dân số của một quốc gia sau t năm tính từ năm 2010 là p (t)(đơn vị tính là 10 triệu người), được xấp xỉ bởi hàm số p (t) 180,003

dân số quốc gia này sau khoảng thời gian t đủ lớn

c/ Xét mạch điện RL như hình vẽ dưới đây:

Hình 1.29

Một suất điện động (thường là pin hay máy phát điện) sinh ra một điện áp E t( ) và một dòng điện i (t) tại thời điểm t Dòng điện chứa một điện trở với trở kháng R và một cuộn cảm với độ tự cảm L trong đó

E

t

i( ) o 1 Tính lim t i( )

t  và ước tính giá trị của i (t)sau

khoảng thời gian t đủ lớn

b) Nếu ( )x là VCB khi xx0 và ( )x bị chặn trong một lân cận của x0 thì ( ) ( )x  x là VCB khi xx0

x x

x c x

x và ta ký hiệu a ( )x ( ),x xa

b) Nếu c thì ta nói 0 ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x và ta ký hiệu là( )x O( ( )) x khi xx0.

c) Nếu c  thì ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( )x và ta ký hiệu là ( )x O( ( )) x khi xx0

d) Tồn tại r0 sao cho ( )x cùng cấp với ( )x r thì ta nói ( )x

  nên sin x x khi x0



nên 1 cos x là VCB bậc 2 đối với x

4 Tính chất của vô cùng bé tương đương

ïïïî



v) Cho ( )x là VCB cấp cao hơn VCB ( )x Khi đó:

( )x ( )x ( )x

   

vi) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Cho ( )x là VCB cấp cao hơn VCB 1( )x và ( )x là VCB cấp cao hơn VCB 1( )x Khi đó:

2

g) ln(1x)x

) arcsin

Ví dụ 1.47

a/ Khi x thì 0

3 2

1 1, , cotgx





i) Nếu 0 K   thì ta gọi ( ), ( )x  x là các vô cùng lớn cùng cấp

khi x Đặc biệt, khi a K  , ta gọi 1 ( ), ( )x  x là các vô cùng lớn

tương đương khi x và ta kí hiệu a ( )x ( ),x xa

ii) Nếu K  thì ta gọi 0 ( )x là vô cùng lớn cấp thấp hơn ( )x

khi x a

iii) Nếu K   thì ta gọi ( )x là vô cùng lớn cấp cao hơn ( )x

khi x a

iv) Nếu tồn tại r sao cho 0 ( )x là cùng cấp với [ ( )]b x r khi

x thì ta gọi a ( )x là vô cùng lớn bậc r so với ( )x

Hệ quả (quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp): Giả sử ( )x là vô cùng lớn cấp cao hơn 1( )x và ( )x là vô cùng lớn cấp cao hơn 1( )x khi

x Ta có: a

1 1

1.5.2 Tính chất

i) Hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó

ii) Hàm số k f x ( ), ( )f x g x( ), ( ) ( ) (f x g x k ) liên tục tại x0

nếu các hàm số f x( ) và g x( ) liên tục tại x0. Nếu g x( ) 00  thì hàm số ( )

Giải Tại x : hàm số xác định khi 0 (1 ) 0 1

1.5.3 Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn

1.5.3.1 Định nghĩa điểm gián đoạn

Cho hàm số f x  có miền xác định D và x0 

0

x gọi là điểm gián đoạn của hàm số f x  

 f x  không liên tục tại x0

1.5.3.2 Phân loại điểm gián đoạn

a) Điểm gián đoạn loại một

Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn

chia làm hai loại:

+x0 gọi là điểm khử được (bỏ được) nếu f x( 0) f x( 0) f x( 0 )+x0 gọi là điểm nhảy nếu f x( 0) f x( 0) h f x( 0) f x( 0)được gọi là bước nhảy của f x( ) tại x0

b) Điểm gián đoạn loại hai

0

x gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không là điểm gián đoạn

loại một Khi đó, không tồn tại ít nhất một giới hạn (hữu hạn) một phía

tồn tại hoặc bằng -, do đó x0 là điểm gián đoạn loại 2 của g x  

1.5.4 Hàm số liên tục trên đoạn

1.5.4.1 Định nghĩa

Hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b nếu nó liên tục tại mọi điểm trên ( , )a b và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b

1.5.4.2 Tính chất

a) Hàm số liên tục trên một đoạn thì bị chặn trên đoạn đó

b) Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất trên đoạn đó

c) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ , ]a b và f a f b( ) ( ) 0 thì tồn tại c( , )a b sao cho f c( ) 0.

1.5.4.3 Định lý giá trị trung gian

Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ , ]a b thì với mọi d nằm giữa

( )

f a và f b( ), tồn tại c[ , ]a b sao cho f c( )d.