Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 1 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Phần 1 của giáo trình Toán cao cấp 1 giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến. Phần này được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH

TS NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên) ThS NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths NGUYỄN DUY PHAN

GIÁO TRÌNH

TOÁN CAO CẤP 1 DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC

(Lưu hành nội bộ)

QUẢNG NINH, NĂM 2017

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Toán Cao Cấp 1, bậc Đại học được biên soạn dành cho đối tượng là sinh viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Giáo trình được biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết môn Toán Cao Cấp 1, bậc Đại học của nhà trường

Cuốn giáo trình được biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với

đề cương môn học, có nhiều dạng bài tập phong phú đáp ứng yêu cầu của các môn học chuyên ngành

Cấu trúc của giáo trình gồm 4 chương Mỗi chương đều trình bày các phần lý thuyết, bài tập, ví dụ phong phú và phần bài tập luyện tập cuối chương Phần lý thuyết được trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu về vấn đề để có thể áp dụng làm bài tập Phần bài tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Cuối mỗi chương đều có bài tập luyện tập

Chương 1 giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến Phần này được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi

Chương 2 trình bày kiến thức cơ bản về phép tính giải tích hàm nhiều biến như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân và cực trị tự do của hàm nhiều biến

Chương 3 trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính và ứng dụng của tích phân hai lớp và tích phân ba lớp

Chương 4 trình bày kiến thức cơ bản về tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2, bao gồm định nghĩa, các tính chất, cách tính tích phân và mối liên hệ giữa hai loại tích phân đường loại 1 và loại 2

Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất cả nội dung lý thuyết theo trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu các vấn đề được trình bày trong giáo trình một cách lôgic, đọc các bài tập, ví dụ minh họa và làm bài tập phần luyện tập cuối chương

Trong quá trình biên soạn, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ quý báu của nhiều đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ và Hợp tác Quốc tế cùng đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ bản của trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình được hoàn thiện

Mặc dù đã có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song cuốn giáo trình không tránh khỏi các hạn chế Nhóm tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn

Chủ biên và các tác giả

Như vậy để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, một quy luật xác định f ,

quy tắc này thỏa mãn điều kiện: ứng với mỗi x bất kỳ của E tồn tại duy nhất một y của F

sao cho y f x( )

Ví dụ E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’,

‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f

là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Rõ ràng quy luật này thỏa mãn tính tồn tại, duy nhất (mỗi hãng xe thuộc tập E có duy nhất một tên nước xuất xứ tương ứng của tập F) Khi đó ta có ánh xạ f từ E đến F, và ta có thể viết f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’

Tập hợp f(E)={ y F | x E, y = f(x)} gọi là ảnh của E qua ánh xạ f

Ánh xạ f E: F gọi là đơn ánh nếu f(x1) = f(x2) x1= x2 , tức là không tồn tại phần tử nào của F có 2 nghịch ảnh

Ánh xạ f E: F gọi là song ánh nếu f là toàn ánh và là đơn ánh Tức là mọi phần

tử của F đều có nghịch ảnh và nghịch ảnh là duy nhất

x2

F đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong E Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi

phần tử y trong F với một và chỉ một phần tử x trong E Phép tương ứng đó xác định một ánh xạ từ F sang E, ánh xạ này được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f

Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh là y, nghịch ảnh là x, vậy hàm số có thể viết g : FE

x yg x( )

Ánh xạ ngược g của ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1

Trở lại ví dụ thực tế trên, nếu E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’,

‘Hoa Kì’}, f là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Khi đó ta có một song ánh f từ E đến F Ta có thể viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’

Khi tập nguồn và tập đích là các tập số, ta có khái niệm hàm số Hàm số là trường hợp đặc biệt của ánh xạ

X gọi là tập xác định của f, ký hiệu D f

f(X)= f(x), xX gọi là tập giá trị của f ; ký hiệu R f

x gọi là đối số hoặc biến số độc lập, f(x) gọi là hàm số hoặc biến số phụ thuộc

Đôi khi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn là x f(x) hoặc y = f(x)

Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam : Nếu E,

F là tập con của tập số thực thì hàm số được gọi là hàm số thực, nếu E, F là tập con của

tập số phức thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức, nếu X là tập con của tập số tự

nhiên thì hàm số được gọi là hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler  n (phi hàm Euler) biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n

Trong chương trình, ta chỉ nghiên cứu sâu về khái niệm hàm số thực

Ví dụ

1) y=x là hàm đồng nhất thường ký hiệu id(x)

thường gặp các hàm số được biểu thị bằng công thức y=f(x) rồi từ đó xác định được đồ

thị của nó, trong đó đồ thị của hàm số được định nghĩa như sau:

nếu x là số vô tỉ nếu x là số hữu tỉ

Hình 1-6 Đồ thị hàm tuần hoàn y = sin3x trên [  ; ]

c Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi là hàm tăng trên X nếu với mọi x x1, 2 X , x1x2

thì f(x1)  f(x2)

Hàm y=f(x) gọi là tăng ngặt trên X nếu với mọi x x1, 2X , x1< x2 thì f(x1) < f(x2)

Hàm y=f(x) gọi là hàm giảm trên X nếu với mọi x x1, 2X , x1x2 thì f(x1)  f(x2)

Hàm y=f(x) gọi là giảm ngặt trên X nếu với mọi x x1, 2X , x1<x2 thì f(x1) > f(x2)

Hàm tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là hàm đơn điệu ngặt

d Hàm số bị chặn

Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn trªn trong X nÕu tån t¹i sè B sao cho víi mäi x X, f(x)B

Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn d-íi trong X nÕu tån t¹i sè A sao cho víi mäi x X, f(x)A

Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn trong X nÕu tån t¹i c¸c sè A, B sao cho víi mäi x X,

Vớ dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp g(f(x)), trong đú g(t) = sin(t),

f(x) = (x2 +1) Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của cỏc hàm khỏc, trong nhiều trường hợp cú thể khiến cỏc tớnh toỏn giải tớch (đạo hàm, vi phõn, tớch phõn) trở nờn đơn giản hơn

f Hàm ngược

Cho song ánh f : XY ; X, YR Ánh xạ ngược f-1 :YX

y x f1( )y gọi là hàm

ngược của f, ký hiệu y = f-1 (x)

Nếu f−1(x) tồn tại ta núi hàm số f(x) là khả nghịch Cú thể núi tớnh chất song ỏnh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ỏnh thỡ ta luụn tỡm

Đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = f-1(x) trên cùng mặt phẳng Oxy đối xứng nhau

qua đ-ờng phân giác của góc phần t- thứ I và thứ III

y x



  trờn cựng hệ tọa độ

1.1.2.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản

a Hàm lũy thừa y = x  với R ;

Miền xác định Df phụ thuộc vào  Đồ thị hàm lũy thừa trong một số trường hợp đặc biệt :

a >1 hàm đồng biến; 0<a<1 hàm nghịch biến

Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 0) và đối xứng với đồ thị hàm mũ qua đường thẳng

y = x

d Các hàm lượng giác

y = sinx, y = cosx, y = tanx (kí hiệu cũ là y=tgx), y = cotx (kí hiệu cũ là y=cotgx )

Trong đó, y = sinx, y = cosx là các hàm tuần hoàn chu kì 2, tập xác định R, tập giá trị là

đoạn [-1,1] ; y = tanx, y = cotanx là các hàm tuần hoàn chu kì 

Hình 1-9 Đồ thị hàm số y=sinx

Hình 1-10 Đồ thị hàm số y=cosx

Hình 1-11 Đồ thị hàm số y=tanx

Hình 1-12 Đồ thị hàm số y=cotx

e Các hàm lượng giác ngược

sin

x y x

Hình 1-17 Đồ thị y= arccotx Nhận xét Từ định nghĩa ta có:

sin (arcsinx)= x, cos(arccosx)= x, với mọi x1;1

tan(arctanx)= x, cot(arccotx)= x, với mọi x R

arcsin(sinx) = x, với mọi x ;

arccos(cosx) = x, với mọi x 0;

arctan(tanx) = x, với mọi x ,

1) Đặt t= arccosx, x1;1 Khi đó t thuộc đoạn  0; và cost=x

Do t thuộc đoạn  0; nên sint= 1 (cost)  2  1 x 2

Tương tự ta chứng minh cos(arcsinx) = 1 x 2 , với mọi x1;1

2) Đặt t= arcsinx, x1;1 Khi đó t thuộc đoạn ;



-t thuộc đoạn  0; Vậy

f Hàm số sơ cấp

Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo bởi một số hữu hạn các phép toán số học(

Cộng, trừ, nhân, chia) đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số

x

nhưng biểu thức 1 x   2 x3 x n không phải hàm sơ cấp (là một chuỗi hàm)

1.1.3 Giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân hàm một biến (Sinh viên tự đọc)

1.1.3.1 Giới hạn của dãy số

a Định nghĩa dãy, dãy con

Định nghĩa 1.1.3.1 Ánh xạ x N: * R, n x n x n( ) gọi là một dãy số thực vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: x 1 , x 2 ,,x n ,…trong đó x n =x(n) hoặc

viết là x n

x 1 gọi là số hạng đầu

x n gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy

Định nghĩa 1.1.3.2 Cho dãy số  x n : x 1 , x 2 …,x n ,… Từ dãy này ta tách ra dãy  x n k :

1

n

x ,x n2,…,x n k ,…chỉ gồm các phần tử của dãy  x n , với các chỉ số n 1 , n 2 ,…, n k ,… là các số

tự nhiên thỏa mãn n 1 < n 2 <…<n k <… Khi đó dãy  x n k gọi là dãy con được trích ra từ

Dãy số  x n gọi là phân kỳ nếu nó không hội tụ

Ta nói  x n là dương vô cùng (khi n tăng vô hạn) và viết lim n

 Khi đó,  n n0 thì

1) Dãy số  x n hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

2) Dãy số  x n hội tụ thì nó giới nội (bị chặn)

 =  Bất đẳng thức đúng với mọi  >0 |a1 - a2| = 0 hay a1 = a2

Định lý 1.1.3.2 Cho 2 dãy số hội tụ (x n ) và (y n) với lim n

n x x

  ; lim n

n y y

  Khi đó:

 Suy ra 0u n <1

1

n n



do đó limun= 0

Định lý 1.1.3.4 Cho (x n ) là dãy đơn điệu tăng Khi đó, nếu (x n) bị chặn trên thì nó hội tụ,

nếu (x n) không bị chặn trên thì lim n

Cho một dãy các đoạn thắt  a b n; n khi đó tồn tại duy nhất một điểm c chung cho

mọi đoạn, nghĩa là tồn tại một số thực duy nhất ca b n; n,n

Định lý 1.1.1.6 (Bolzano-Veiestrass)

Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ

Định lý 1.1.3.7 Dãy số (x n) hội tụ nếu và chỉ nếu mọi dãy con của nó đều hội tụ và có

tới các giới hạn khác nhau

Định nghĩa 1.1.3.5 Dãy số (x n) được gọi là dãy cơ bản (dãy Côsi) nếu

*

0, n N ; n m n, : x n x m

Bổ đề Dãy Côsi là một dãy giới nội

Định lý 1.1.3.8 (Tiên đề hội tụ Côsi)

Dãy số thực (x n) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản

Một vài giới hạn đặc biệt

Định nghĩa 1.1.3.6 Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn (a;b) và điểm x0( ; )a b (f(x) cú thể khụng xỏc định tại điểm x0) Ta núi rằng f(x) cú giới hạn là A khi x dần x0 nếu với mọi dóy  x n x0 thỡ f x n A

Ký hiệu: lim ( )

o

x x f x A

  ( hoặc f x A x,  x0 )

Cú thể định nghĩa theo ngụn ngữ (ε;δ) nh- sau:

Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn (a;b) và điểm x0( ; )a b (f (x) cú thể khụng xỏc định tại điểm x0) Ta núi rằng f(x) cú giới hạn là A khi x dần đên x0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho khi 0 x x0 < δ thỡ f x( )A < ε

Định nghĩa 1.1.3.7 Ta núi f(x) cú giới hạn là  khi x dần đến x0 và viết lim ( )

o

x x f x

nếu với mọi M > 0, tồn tại δ > 0 sao cho 0 x x0 < δ thỡ f(x) > M

Ta núi f(x) cú giới hạn là  khi x dần đến x0 và viết

0

lim ( )

x x f x

M > 0 tồn tại δ > 0 sao cho 0 x x0 < δ thỡ f(x) < - M

Định nghĩa 1.1.3.8 Ta núi rằng f(x) cú giới hạn là A khi x dần đến +∞ và viết là

lim ( )

x f x A

  nếu với mọi ε > 0 tồn tại N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thỡ f x( )A < ε

Ta núi rằng f(x) cú giới hạn là A khi x dần đến -∞ và viết là lim ( )

x f x A

mọi ε > 0 tồn tại N> 0 đủ lớn sao cho khi x < -N thỡ f x( )A< ε

Định nghĩa 1.1.3.9 Cho y = f(x) xỏc định trờn khoảng (a,b) và x0  [a,b] Số L gọi là giới hạn trỏi của f(x) tại x0 nếu với mọi ε > 0; tồn tại δ > 0 sao cho 0<x0 - x < δ thỡ f x( )L < ε

Nếu L c thỡ với mọi x trong lõn cận đủ bộ của a, f x c

Nếu L c thỡ với mọi x trong lõn cận đủ bộ của a, f x c

Định lý 1.1.3.13 Gi¶ sö f x g x , x  a b x; , 0 a b; vµ tån t¹i c¸c giíi h¹n

xx g x = 1

2 2

L L

x xkhông tồn tại Các giới hạn dạng  

 gọi là giới hạn dạng vô định 

nếu lim ( )x a f x ,lim ( )x a g x

Định lý 1.1.3.16 (Giới hạn của hàm đơn điệu)

Cho f R: R là hàm đơn điệu tăng Khi đó nếu f(x) bị chặn trên thì lim ( )

Định nghĩa 1.1.3.11 (Hàm liên tục một phía )

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X chứa x0 Ta nói f(x) liên tục trái (phải) tại

Hàm y = f(x) gọi là gián đoạn tại x = x0 nếu nó không liên tục tại x0

Ta có ba tình huống gián đoạn:

phải gián đoạn loại một gọi là điểm gián đoạn loại hai

Định nghĩa 1.1.3.13 (Liên tục trên khoảng và trên đoạn)

Hàm y = f(x) xác định trên (a;b) gọi là liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x(a; b)

Hàm y = f(x) xác định trên  a b; gọi là liên tục trên  a b; nếu nó liên tục trên (a;b)

và liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

Định nghĩa 1.1.3.14 (Liên tục đều)

Hàm y = f(x) xác định trên (a; b) gọi là liên tục đều trên (a; b) nếu mọi ε > 0 tồn

tại δ >0 sao cho: x x1; 2( ; ),a b x1x2 < δ thì f x( )1  f x( )2 < ε

g x , với g(x)0 đều là những hàm liên tục trên (a; b)

Nếu hàm số f X: Y liên tục tại x0X và g Y : R liên tục tại y0= f x 0 thì hàm hợp g f X: R liên tục tại x0

Tính chất 2 (Định lí về giá trị trung gian)

Cho f(x) xác định và liên tục trên (; β) nếu có hai điểm a<b; a,b(;β) sao cho

f(a)f(b)< 0 Khi đó c(a;b) sao cho f(c) = 0

Hệ quả Nếu f(x) xác định và liên tục trên (a ;b), khi đó hàm f(x) lấy tất cả các giá trị từ

f(a) đến f(b)

Tính chất 3 (Định lí Veierstrass)

Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng  a b; Khi đó f(x) giới nội (bị chặn)

trên  a b; và đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn  a b;

Tính chất 4 (Định lí Heine)

Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng, giới nội  a b; Khi đó f(x) liên tục



 = loga e (0<a1) Đặc biệt

x

x

a x

x

x

e x

1lim

1

x

x

x x

1 0

lim(1 sin )x

sinx lim x

x

e e

3 2

1

1

x x

x x

 =A (A hữu hạn) Số A được gọi là đạo hàm của

hàm số y = f(x) tại điểm x  x0 và ký hiệu f x( )0

 =, ta nói tại x 0 hàm số y= f(x) có đạo hàm vô cùng, tiếp

tuyến tại điểm x f x0;  0  của đồ thị hàm số y=f(x) song song với trục tung

Nhận xét:

+) Nếu đặt x x 0  x thì biểu thức định nghĩa trở thành

0 0

lim

x

f x x f x

f x x

Tương tự như khái niệm về giới hạn phải, trái tại điểm x 0, ta xây dựng các khái

niệm về đạo hàm phải, đạo hàm trái tại điểm x0

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

f x  f x , x0 gọi là điểm góc của f x 

Ví dụ 4 Cho f x = x 2 Tính đạo hàm hàm số tại điểm x 0 =1

Giải

Theo công thức trên ta có (lny)/ = 1 / 1 1

( )e x e x  y Vậy (lny)/ = 1

y hay (lnx)/ = 1

x;

Ví dụ 8 Cho (sinx)/ = cosx Tính (arcsinx)/

Giải x= arcsiny là hàm ngược của y = sinx; x  [ ;

Ta nói f(x) khả vi cấp n trên tập X khi và chỉ khi tồn tại f( )n ( )x trên tập X

Định lý Cho f, g là hàm khả vi cấp n trên tập X Khi đó f g, f fg, , f

Cho y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm tại điểm x Ta gọi f x x ( )  là vi phân

của hàm f(x) tại x, ký hiệu df Vậy df  f x ( ) x

Mặt khác dx ( )x   x x nên công thức trên có dạng df  f x dx ( ) , hoặc

1) d u v(   ) du dv

2) d uv( ) udv vdu3) d u 1du u2 dv v( 0)

 

 4) Vi phân của hàm hợp

Cho hàm hợp y f u u u x( );  ( ) Khi đó ta có df  f du u

Mặt khác du= u x'  nên f du u /

f u x u x dx f dx

đúng khi x là biến độc lập hay phụ thuộc Ta gọi đây là tính chất bất biến của vi phân cấp

1

b Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân

Cho hàm số y theo biến x qua tham số trung gian t : ( )

a t

Tương tự ta định nghĩa vi phân cấp n của f(x) : d( )n ( )f d d( (n 1)f)

Vi phân cấp n của f(x) được xác định theo công thức sau

y dx (*)

Nếu x là biến phụ thuộc thì d x 2 0 (** )

Từ (*) và (** ) ta suy ra vi phân cấp 2 không bất biến

Ví dụ 12 Cho hàm số y x 2

Nếu x độc lập thì dy2xdxd y2 2( )dx 2

Nếu x là biến phụ thuộc, giả sử 2

x t Khi đó y t 4 dy4t dt3  d y2 12 ( )t dt2 2

Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x tiến tới a (hay

nói f(x) là đại lượng VCB tại a) nếu lim ( ) 0

Khi hai đại lượng f(x), g(x) đều là các VCB khi x → a, tốc độ tiến về 0 của hai đại

lượng có thể tương đương hoặc khác nhau Đê so sánh tốc độ tiến về 0 của hai đại lượng,

ta có các khái niệm vô cùng bé cùng bậc, vô cùng bé bậc cao hơn, bậc thấp hơn…

g x

Nếu k = ∞ thì ta nói f x( ) là vô cùng bé bậc thấp hơn g x( ) khi x → a

Nếu k=0 thì ta nói f x( ) là VCB bậc cao hơn g x( ) khi x → a, ký hiệu

Dễ thấy nếu f x( ) là vô cùng bé bậc thấp hơn g x( ) khi x → a thì g x( )là VCB bậc

cao hơn f(x) khi x → a, nên khi so sánh hai VCB, ta thường sử dụng khái niệm VCB bậc

cao hơn

Do x là VCB khi x 0 có biểu thức đơn giản , nên nếu f x( )là VCB khi x 0,

ta thường so sánh VCB f(x) với VCB x khi x 0

Nếu f(x)= o( )x , 0, ta nói f x( ) là VCB có bậc cao hơn  so với VCB x khi

x x x

x x

= 0 nên (1- cosx ) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi

x → 0

Nếu f x( )= O x( ) , 0, ta nói f x( ) là VCB có bậc  so với VCB x khi x 0

Nếu f x( ) ( )x , 0, ta nói f x( ) là VCB tương đương với VCB xkhi x 0

Định lý 1.1.4.1 Giả sử f x g x( ), ( ) là các VCB khi xa Khi đó,

x x 

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh 3) dựa vào tính chất kẹp giữa

b Vô cùng bé bậc cao hơn

Để dễ hình dung về VCB bậc cao hơn, ta có thể xem ví dụ về hai VCB

c.Vô cùng bé tương đương

Để dễ hình dung hai đại lượng là vô cùng bé tương đương, ta có thể quan sát bảng dưới đây qua ví dụ sin x x, x 0

Dễ thấy, khi x càng gần 0 thì f(x) và g(x) cùng tiến về 0 và sai khác giữa giá trị của f(x)

và g(x) càng nhỏ Vì vậy, nếu x đủ nhỏ và biểu thức g(x) đơn giản hơn thì ta thường dùng g(x) thay cho f(x)

Chú ý 1 Nếu f(x) f x( ), xa và g(x) g x( ), xa thì không suy ra được

sin3xln(1x (3x x x ), 0 hay sin3xln(1x 2 ,x x0

4xsinx (4x x x ), 0 hay 4xsinx 5 ,x x0

g x Nếu f x( )là VCB cùng bậc với VCB g x( ) thì f x( ) là VCB bậc cao hơn VCB ( )







1 1

m

i i

n

i i

Dễ thấy x3 là VCB bậc cao hơn VCB 3x nên cũng là VCB bậc cao hơn VCB

s inx ln(1 2 )   x khi x 0, vậy f x( ) sinx  x3 ln(1 2 ) 3 , x x x0

Tương tự xsin 4x ( 3 ), x x 0 g x( ) x sin 4x x 2 ( 3 ), x x0

1 osx+ar tan arcsin 5

2

x x x

Tại x = c hàm f x( ) đạt cực tiểu ta chứng minh tương tự

Định lý Fermat cho ta điều kiện cần của cực trị

Nếu f   tồn tại và f   =0 thì  gọi là điểm dừng của f x 

Hình 1-18

Ý nghĩa hình học của định lý là nếu c là điểm cực trị của hàm số thì tiếp tuyến của

đồ thị hàm số qua điểm có hoành độ c song song với trục hoành

Định lý 1.1.5.2 (Định lý Rolle)

Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục trên  a b; , khả vi trên  a b; và f a( ) = f b( ),

khi đó tồn tại c   a b; sao cho f c  =0

Chứng minh Do hàm f(x) xác định, liên tục trên  a b; nên nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên  a b;

Nếu f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên  a b; chỉ tại hai đầu mút a,b của đoạn  a b; thì f x( )=const trên  a b; Khi đó, c a b; ta có f c =0

Nếu trái lại, f(x) đạt giá trị lớn nhất hoặc và nhỏ nhất trên  a b; tại điểm c a b; , khi

Ví dụ 2 Cho các số thực a a1, , ,2 a n Chứng minh rằng phương trình

1sinx 2sin2x+ +a sinn 0

Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên  a b; , khả vi trên  a b; Khi đó tồn tại

c a b; sao cho f b( )- f a( )= (b-a) f c ( ) (1.1)

song song với đường thẳng AB

Hình 1-20

Ví dụ 3 Chứng minh bất đẳng thức cosx-cosy  x y

Giải Hàm số f x( ) cosxxác định, liên tục và khả vi trên R và f x  '( ) sinx Vậy với mọi x,y tồn tại c ( , )x y sao cho:

osx osy ( sin )( )