Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số nhiều biến số; Phương trình vi phân; Không gian vectơ; Ma trận và định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 5 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 5.1 Các khái niệm cơ bản

5.1.1 Hàm số hai biến số

5.1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số

Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị của biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Ví dụ: sản lượng, tức là số lượng sản phẩm của một nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào như lao động, vốn, …

Khái niệm hàm số n biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến

số vào n biến số khác Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n = 2

Cho một cặp biến số có thứ tự (x; y), ta có thể đồng nhất mỗi cặp số với một điểm M(x; y) của mặt phẳng Mặt phẳng tọa độ được gọi là không gian hai

chiều và ký hiệu là  Theo quan điểm này, một cặp biến số (x; y) được xem 2như một biến điểm M(x; y) với miền biến thiên là một tập hợp D của không gian

2



Định nghĩa 1 Một hàm số f của biến điểm M(x; y), với miền biến thiênD   , 2

là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x; y) D với một và chỉ một số thực z

Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm M(x; y) được gọi là giá trị của hàm f tại M(x; y) và được ký hiệu là f(M) hoặc f(x; y) Hàm f được xác định như trên được gọi là hàm số hai biến số x và y x, y được gọi là các biến số độc lập; z là biến số phụ thuộc hàm số vào các biến x, y

Khi cho một hàm hai biến, các cách diễn đạt sau là như nhau:

Miền xác định của hàm hai biến z = f(x; y) là miền biến thiên của biến điểm M Nếu biểu diễn hình học thì miền biến thiên là một tập hợp trong mặt

phẳng tọa độ

Thông thường một hàm của hai biến x, y được cho dưới dạng một biểu thức f(x; y) Mỗi biểu thức có một miền xác định tự nhiên của nó Miền xác định

tự nhiên của một biểu thức tập hợp tất cả các cặp số thực (x; y) mà biểu thức đó

có nghĩa khi ta gán các giá trị x, y Nói chung miền xác định của một hàm hai biến cho dưới dạng biểu thức có thể là tập con D bất kỳ của miền xác định tự

nhiên của biểu thức đó Ta quy ước, nếu không nói gì thêm về miền xác định của một biểu thức thì miền xác định của nó được hiểu là miền xác định tự nhiên

Ví dụ 5.1: Miền xác định của hàm số z = x + y là toàn bộ mặt phẳng x0y

Ví dụ 5.2: Miền xác định của hàm số  2 2

ln 4

z  x y là tập tất cả các điểm

M(x; y) thỏa mãn điều kiện x2 + y2 < 4 Như vậy miền xác định là hình tròn có

tâm ở gốc tọa độ có bán kính r = 2, không kể các điểm trên đường tròn

5.1.1.3 Đồ thị hàm hai biến

Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) trong không gian ba chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y và trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z

Miền xác định D của hàm số z = f(x; y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (0xy) Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng một giá trị của hàm số z, theo đó

ta có tương ứng một điểm P(x; y; z) trong không gian

Định nghĩa 2 Đồ thị của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm P(x; y; z) trong không gian, trong đó M(x; y) là điểm bất kỳ thuộc miền xác định D và z là

giá trị của hàm số tại điểm đó

Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z = 4 x2y2 là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và

Thông thường đường mức của một hàm hai biến là một đường trên mặt

phẳng Mỗi giá trị z0 cố định tương ứng với một đường mức

Ví dụ 5.4: Các đường mức của hàm số z2x3y là các đường thẳng có phương trình 2x3yz0, với z0 là hằng số trên hình 5.1 là các đường mức của hàm số này ứng với các giá trị z06; z00;z0 6

2x + 3y = -6 2x + 3y = 0 2x + 3y = 6 -3

5.1.2.1 Không gian điểm n chiều

Theo phương pháp tọa độ, mỗi điểm trên mặt phẳng được đồng nhất với

một bộ hai số thực có thứ tự (x; y) và mỗi điểm trong không gian ba chiều được đồng nhất với bộ ba số có thứ tự (x; y; z)

Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách giữa hai

điểm M(x; y) và M’(x’; y’) được xác định theo công thức:

Định nghĩa 5 Không gian điểm n chiều (gọi tắt là không gian n chiều) là tập

hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa hai điểm

( ; ; ; )n

X x x  x và X x'( ' ; ' ; 1 x 2 ; ' )x n được xác định theo công thức:

d X X( ; ') (x1'x1)2 (x2'x2)2  (x n' x n) 2 (5.1.1)

Không gian n chiều được ký hiệu là  n

Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách trong không gian  , xác nđịnh theo công thức (5.1.1), thỏa mãn các tính chất đã biết của khoảng cách trong không gian hai chiều và không gian ba chiều:

Với bất kỳ ba điểm X, X’, X” thuộc không gian  ta có: n

(i) d(X; X’)  0, d(X; X’) = 0  X = X’(x i = x i ’ với mọi i = 1, 2,…, n)

(ii) d(X ; X’) = d(X’ ; X)

(iii) d(X; X’) + d(X’; X’’)  d(X; X’’)

5.1.2.2 Khái niệm hàm số n biến số

Định nghĩa 6 Một hàm số f của biến điểm X x x( ;1 2; ; )x n , với miền biến

thiên D   , là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm n X x x( ;1 2; ; )x n  D với một và chỉ một số thực z

Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm

Các khái niệm khác của hàm số n biến số được định nghĩa tương tự như

đã định nghĩa ở hàm hai biến số

5.1.3 Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế

Để tiếp cận với các phương pháp phân tích định lượng trong kinh tế học,

ta hãy làm quen với một số hàm số mà các nhà kinh tế hay sử dụng khi phân tích các hoạt động kinh tế Các ký hiệu biến số kinh tế đưa ra ở đây là các ký hiệu thông dụng trong các tài liệu về kinh tế học, thường là lấy các chữ cái đầu của từ tiếng Anh tương ứng

5.1.3.1 Hàm sản xuất

Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng tiềm năng của một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố sản xuất Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản xuất quan

trọng nhất là tư bản (capital và lao động (labor) Gọi K là lượng tư bản (vốn) và

L là lượng lao động được sử dụng Với trình độ công nghệ của mình, khi sử dụng K đơn vị tư bản và L đơn vị lao động, doanh nghiệp có khả năng sản xuất một lượng sản phẩm tối đa, ký hiệu là Q (gọi là sản lượng tiềm năng) Hàm sản

xuất có dạng:

Q f K L ;  (5.1.2)

Hàm số (5.1.2) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả năng sản xuất được ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động Khi phân tích sản xuất, người ta giả thiết rằng các doanh nghiệp khai thác hết khả năng công nghệ,

tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng, do đó hàm sản xuất f là do công nghệ

xác định

Dạng hàm sản xuất mà các nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm Cobb – Douglas:

QaK L  ,trong đó , ,a   là các hằng số dương

Đường mức của hàm sản xuất có phương trình:

f K L Q Q const Q Trong kinh tế học, thuật ngữ “ đường mức ” của hàm sản xuất có tên gọi

là đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant) Đường đồng lượng là tập hợp các yếu tố sản xuất (K; L) cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định

5.1.3.2 Hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Như ta đã biết, tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng

trong đó w K là giá thuê một đơn vị tư bản (chẳng hạn như một giờ sử dụng xưởng máy), w L là giá thuê một đơn vị lao động (chẳng hạn như một giờ làm

việc của một công nhân); C0 là chi phí cố định

Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q f K L( ; )và giá thị

trường của sản phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của hai biến số K và L:

Trên thực tế, có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm Với trình độ công nghệ nhất định, để sản xuất một bộ sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, ,

Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí TC Như vậy

TC là hàm số của n biến số:

TCTC Q Q( 1; 2; ;Q n) (5.1.3) Hàm số (5.1.3)được gọi là hàm chi phí kết hợp

5.1.3.4 Hàm đầu tư

Lượng đầu tư I (Investment) của nền kinh tế phụ thuộc vào tổng thu nhập

Y và lãi suất r Hàm đầu tư là hàm số biểu diễn quan hệ này:

nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích của

người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng Ta gọi mỗi

tổ hợp hàng hóa là một túi hàng Giả sử cơ cấu tiêu dùng gồm có n mặt hàng

Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X x x( ;1 2; ; )x n , trong đó x i 0 (i 1; )n

là lượng hàng hóa Hàm lợi ích là hàm số dặt tương ứng mối túi hàng

( ; ; ; )n

X x x  x với một giá trị lợi ích U nhất định theo quy tắc: Túi hàng nào

được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lớn hơn Hàm lợi ích có dạng tổng quát như sau:

( ; ; ; )n ( )

U x x  x U U const

Trong kinh tế học, tập mức của hàm lợi ích được gọi là tập bàng quan

(Indifferent set) Tập bàng quan là tập hợp tất cả các túi hàng đem lại cùng một mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp các túi hàng được ưa chuộng như

nhau) Trường hợp n = 2, tập bàng quan được gọi là đường bàng quan

(Indifferent curve) Phương trình của đường bàng quan là phương trình hai biến số:

Hàm cung ( hàm cầu ) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng

bán (người mua bằng lòng mua) ở mỗi mức giá Lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa trên thị trường không những phụ thuộc vào giá của hàng hóa đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và thu nhập của

người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàng hoá và hàm cầu hàng hóa i có dạng ( với giả thiết thu nhập không thay đổi ):

Trong đó Q si là lượng cung hàng hóa i; Q di là lượng cầu đối với hàng hóa

i, p i i ( 1; )n là giá hàng hóa i Mô hình cân bằng của thị trường n hàng hóa

liên quan có dạng

( ; ; ; )( ; ; ; )1;2; ;

5.2.1 Giới hạn của hàm số hai biến số

5.2.1.1 Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng

Định nghĩa 7 Dãy điểm M n (x n ; y n ) gọi là dần tới điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) khi n  +,

Định nghĩa 8 Hàm số f(M) được gọi là giới hạn L khi điểm M(x; y) dần tới điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu với mọi dãy điểm M n (x n ; y n ) thuộc lân cận V, dần tới điểm

x y x y f x y L

Định nghĩa 9 Hàm số f(M) được gọi là có giới hạn L khi M(x; y) dần đến

M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu với mọi  > 0, tồn tại  > 0 sao cho:

x y

Ví dụ 5.6: Chứng minh không tồn tại giới hạn 2 2

1lim ( ; )

Chú ý: Các định lý về giới hạn của tổng, thương, tích đối với hàm số một biến

số cũng đúng cho hàm số hai biến số và được chứng minh tương tự

5.2.1.3 Giới hạn lặp

Giới hạn được định nghĩa ở trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn

kép tại điểm (x 0 ; y 0 ) (các quá trình x  x0 , y  y0 diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau) Ngoài giới hạn kép ta còn xét giới hạn lặp như sau:

Chú ý: Nói chung giới hạn lặp và giới hạn kép là khác nhau, thậm chí các giới

hạn lặp với thứ tự khác nhau cũng khác nhau

lim(lim ( ; )) lim(lim ( ; )) 0

trong khi đó

0 0

lim ( ; )

x y

lim ( ; )

x y

đều hội tụ tới điểm (0, 0) khi n  , còn các dãy tương ứng các giá trị của hàm

lại hội tụ những giá trị khác nhau

Vậy giới hạn kép tại điểm ( 0; 0) là không tồn tại

Các giới hạn lặp trong trường hợp này cũng khác nhau:

5.2.2 Giới hạn của hàm n biến

5.2.2.1 Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều

Khái niệm giới hạn của dãy điểm trong không gian n chiều được định nghĩa

hoàn toàn tương tự như trên mặt phẳng

Xét dãy điểm n chiều

1; 2; ; k;

trong đó X x k( k1;x k2; ;x kn) (k 1,2,3 ) là các điểm trong không gian n, ta

gọi tắt là dãy điểm X k

Định nghĩa 10 Ta nói dãy điểm X k hội tụ đến điểm A a a( ;1 2; ;a n) hay điểm A là điểm giới hạn của dãy điểm X k ( khi k   ) nếu và chỉ nếu:

Khái niệm giới hạn của hàm số 2 biến số mà ta định nghĩa trên đây được

chuyển tổng quát cho trường hợp hàm số n biến số bằng cách thay biến điểm hai chiều M(x; y) bằng biến điểm n chiều X x x( ;1 2; ;x n) và thay điểm M0(x0; y0) bằng điểm A a a( ;1 2; ;a n)

5.23 Hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm số một biến số

Định nghĩa 11 Hàm số f X( ) f x x( ;1 2; ;x n) được gọi là hàm liên tục tại điểm X x x( ;1 2; ;x n) nếu và chỉ nếu l imf ( ) ( )

Nếu hàm số f(X) liên tục tại mọi điểm thuộc miền D   n thì ta nói rằng

nó liên tục trong miền đó Một hàm số không liên tục được gọi là hàm gián đoạn

Các định lý về hàm số liên tục một biến có thể phát triển tương tự cho

hàm số n biến số Chẳng hạn, các định lý về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm

số liên tục có nội dung như sau:

Định lý 1 Các hàm số f(X) và g(X) của biến điểm n chiều liên tục tại điểm

g X cũng liên tục tại điểm X

5.3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

5.3.1 Số gia riêng và số gia toàn phần

Cho hàm z = f(x; y) và điểm M(x; y) thuộc miền xác định Nếu cố định y cho x thay đổi một số gia x thì giá trị của hàm thay đổi một lượng tương ứng:

( ; ) ;

Ta gọi x z là số gia riêng theo biến x tại điểm (x; y) của hàm f(x; y)

Tương tự, nếu cố định x cho y thay đổi một số gia y thì giá trị của hàm

thay đổi một lượng tương ứng:

Số gia toàn phần biểu thị lượng thay đổi giá trị thay đổi của hàm số khi

cả hai biến x, y cùng thay đổi, về mặt hình học có nghĩa là điểm M(x; y) biến thiên tới điểm M1(x + x; y + y) Số gia toàn phần được tính như sau:

ii) Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm theo quan điểm một biến số, khi

ta xem một trong các biến độc lập là đối số, các biến còn lại được cố định giá trị

Do đó khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào ta chỉ xem như

hàm chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến khác được xem là không đổi, rồi áp dụng qui tắc tính đạo hàm của hàm một biến

Ví dụ 5.11: Các đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy là:

5.3.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Giả sử z = f(u; v), với u = u(x; y), v = v(x;y) là các hàm của hai biến x, y

Khi đó ta nói:

 ( ; ); ( ; )



là hàm hợp của hai biến x, y qua hai biến trung gian u, v

Định lý 2 Nếu hàm f có các đạo hàm riêng   ,

 

u v liên tục và u, v có các đạo hàm riêng     , , ,

Chú ý: Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm n biến (n  3)

Ví dụ 4: Cho hàm z = e u lnv, với u = x + y, v = xy Khi đó ta có:

Giả sử hàm z = f(x; y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng liên tục tại

M0(x0; y0)  D Xét số gia toàn phần của hàm số tại M0:

M0(x0 ; y0) và được ký hiệu dz hoặc df(x0 ; y0)

Do x, y là các biến độc lập, ta có dx = x, dy = y Vì vậy biểu thức vi

phân toàn phần được viết dưới dạng:

Chú ý: i) Đối với hàm n biến (n > 2) công thức tính vi phân được định nghĩa

một cách tương tự

5.3.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

5.3.5.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm hai biến số z = f(x; y) Các đạo hàm riêng   ,

 

x y là những đạo hàm riêng cấp một Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai, được ký hiệu như sau:

đạo hàm riêng cấp ba, cứ tương tự như vậy ta có đạo hàm riêng cấp 4, cấp 5, …, cấp n Các đạo hàm riêng từ cấp hai trở lên sẽ được gọi là đạo hàm riêng cấp

    được gọi là đạo hàm hỗn hợp

Các đạo hàm hỗn hợp nói chung khi trình tự lấy đạo hàm khác nhau thì có thể không bằng nhau, khi nào thì chúng bằng nhau? Ta công nhận định lý Schwarz sau:

Định lý 3 Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M, hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng

Giả sử hàm z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục cấp một và cấp hai

trên miền D  2 Khi đó vi phân toàn phần:

là một hàm hai biến xác định trên D

Định nghĩa 14 Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số z = f(x; y) được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm số đó và được ký hiệu d 2 z hoặc d 2 f(x; y):

Tổng quát, vi phân toàn phần cấp n (n > 1) của hàm hai biến z = f(x; y) là

vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp n1 của nó và ký hiệu là

 1 

d f  d d  f 5.3.6 Ứng dụng trong kinh tế học

5.3.6.1 Đạo hàm riêng và giá trị cận biên

Xét hàm số w f x x( ;1 2; ;x n) biểu diễn sự phụ thuộc của biến số kinh

tế w vào n biến số kinh tế x x1; 2; ;x n Trong kinh tế học, đạo hàm riêng của w theo xi tại điểm X x x( ;1 2; ;x n) được gọi là giá trị w- cận biên của x i tại điểm

đó Giá trị w - cận biên của xi biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến

phụ thuộc w khi biến xi tăng thêm một đơn vị, trong khi các biến độc lập còn lại không thay đổi giá trị Đối với mỗi hàm kinh tế, người ta thường dùng các thuật ngữ tương ứng tùy theo tên gọi của các biến số kinh tế

- Đối với hàm sản xuất

Trong kinh tế học, sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và sản phẩm

hiện vật cận biên của lao động được ký hiệu là MPP K (Marginal Physical

product of Capital) và MPP L (Marginal Physical product of Labor ):

Ví dụ 5.15: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:

Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao

động trong một ngày ( K = 27, L = 64 ) Sản lượng cận biên của tư bản và của

nó sẽ tăng thêm khoảng 26,7 đơn vị sản phẩm hiện vật; nếu doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng 27 đơn vị tư bản trong một ngày thì sản lượng hàng ngày sẽ tăng thêm khoảng 5,6 đơn vị sản phẩm hiện vật

- Đối với hàm lợi ích

x





 được gọi là lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i đối với

người tiêu dùng và được ký hiệu là MU i Con số MU i tại điểm X x x( ;1 2; ;x n)biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng

hóa thứ i và lượng các hàng hóa khác không thay đổi

5.3.6.2 Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét mô hình hàm số:

( ; ; ; n),

u f x x x

Trong đó biến số u biểu diễn lợi ích kinh tế và x x1; 2; ;x n là các yếu tố

đem lại lợi ích u Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (lợi ích tăng chậm dần) nói rằng, khi các yếu tố khác không thay đổi, giá trị u – cận biên của x i giảm dần khi

x i tăng Dưới góc độ toán học, quy luật này biểu hiện dưới dạng:

cận biên giảm dần biểu hiện ở các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm lợi ích như sau:

U   MU U giảm khi y tăng và x không đổi

- Đối với hàm sản xuất, quy luật lợi ích cận biên giảm dần có nghĩa là ở mức sử dụng một yếu tố sản xuất càng lớn ( trong khi lượng sử dụng các yếu tố khác không thay đổi ) thì sản lượng gia tăng do sử dụng thêm một đơn vị yếu tố sản xuất đó đem lại càng nhỏ Nói cách khác, sản phẩm hiện vật cận biên của mỗi yếu tố giảm dần khi lượng sử dụng yếu tố đó tăng lớn (trong khi lượng sử dụng các yếu tố khác không thay đổi) Quy luật này biểu hiện thông qua đạo

hàm riêng cấp 2 của hàm sản xuất Q = f(K; L) như sau:

tổng quát, ta có thể nói đến hệ số co dãn của biến số w theo một biến x k trong

mô hình hàm số biểu diễn ảnh hưởng của các biến số kinh tế x1, x2,…, x n đối với

biến số kinh tế w:

w f x x( ;1 2; ;x n) (5.3.3)

Định nghĩa 15 Hệ số co giãn của w theo x k tại điểm X x x( ;1 2; ;x n) là số đo

lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi x k tăng 1% và các biến độc lập khác không thay đổi

Với giả thiết hàm số w f x x( ;1 2; ;x n) có các đạo hàm riêng, hệ số co

giãn của w theo x k tại điểm X x x( ;1 2; ;x n) được tính theo công thức:

1 2

( ; ; ; )

.( ; ; ; )

1d 1( ;1 2; ), 2d 2( ;1 2; )

trong đó Q id là lượng cầu đối với hàng hóa i, p i là giá hàng hóa i, m là thu nhập

Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo giá của hàng hóa đó tại điểm ( ;p p m1 2; ) được tính theo công thức:

 



Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo thu nhập tại điểm

5.4.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần

Khái niệm cực trị địa phương của hàm số n biến số được định nghĩa tương

tự như cực trị của hàm số một biến số

Cho hàm số w f x x( ,1 2, ,x n) f X( ), xác định và liên tục trong miền

( , )

d X X r

Điểm X x x( ,1 2, ,x n) mà tại đó hàm số f x x( ,1 2, ,x n) đạt giá trị cực

đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó Nói cách khác

điểm cực đại (điểm cực tiểu) địa phương của một hàm số là điểm mà tại đó hàm

số đạt giá trị lơn nhất (nhỏ nhất) trong phạm vi bán kính r nào đó

Điều kiện cần của cực trị

Giả sử hàm số w f x x( ,1 2, ,x n) f X( ) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong miền:

Định lý 4 Điều kiện cần để hàm số w f x x( ,1 2, ,x n) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm X x x( ,1 2, ,x n)D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:

' ' ( ) 0

,1,2, ,

Với mỗi i cố định (i = 1, …, n) ta xét hàm số một biến x i:

Nếu hàm số f X( ) f x x( ,1 2, ,x n) đạt giá trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm X x x( ,1 2, ,x n)D thì bất đằng thức (5.4.1) thỏa mãn khi X D và

tiểu) tại điểm x i Theo định lý về điều kiện cần để hàm một biến đạt cực trị ta có:

Định lý trên cho thấy hàm số f(X) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng

Tuy nhiên, đây mới chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điều kiện đủ Điều kiện

đủ dưới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực trị hay không Chú ý, điều kiện đủ chỉ được áp dụng sau khi điều kiện cần đã được thỏa mãn (chỉ áp dụng cho các điểm dừng)

5.4.2 Điều kiện đủ

5.4.2.1 Điều kiện đủ tổng quát

Giả sử X x x( ,1 2, ,x n) là một điểm dừng của hàm số

( , , , n)

w f x x x và tại đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, khi đó vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số n biến số w f x x( ,1 2, ,x n) có dạng:

( )( , 1,2, , )

- Nếu d f X2 ( ) luôn luôn nhận giá trị dương thì điểm dừng

( , , , n)

X x x x là điểm cực tiểu của hàm số w f x x( ,1 2, ,x n);

- Nếu d f X2 ( ) luôn luôn nhận giá trị âm thì điểm dừng X x x( ,1 2, ,x n)

là điểm cực đại của hàm số w f x x( ,1 2, ,x n);

- Nếu d f X2 ( ) không xác định thì điểm dừng X x x( ,1 2, ,x n) không phải

là điểm cực trị của hàm số w f x x( ,1 2, ,x n);

5.4.2.2 Trường hợp hàm số hai biến số

Giả sử M0(x0; y0) là một điểm dừng của hàm số z = f(x; y) và tại đó tất cả

các đạo hàm riêng cấp hai đều tồn tại và liên tục

- Nếu D > 0 thì điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị của hàm số z = f(x; y) và hơn thế

M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực đại nếu a 11 < 0;

M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm cực tiểu nếu a 11 > 0

- Nếu D < 0 thì điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) không phải là điểm cực trị của hàm số z = f(x;

y)

- Nếu D = 0 ta không có kết luận gì về cực trị tại điểm tới hạn: hàm số có thể

đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại đó

Vậy để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta phải xét các điều kiện

cần, sau đó dùng điều kiện đủ để kiểm tra và đi đến kết luận

x y

122

1

5.5 Một số bài toán về lựa chọn của nhà sản xuất

5.5.1 Lựa chọn tối ưu mức sử dụng các yếu tố sản xuất

5.5.1.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận

Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản

phẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp

lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên)

Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá thị trường, kể cả giá

đầu vào và giá đầu ra Gọi p là giá thị trường của loại sản phẩm do doanh nghiệp sản xuất, W L và W K là giá thuê lao động và giá thuê tư bản, căn cứ vào hàm sản

xuất Q = f(K; L), ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận dưới dạng hàm số của hai biến số K, L:





 (5.5.1)Dưới giác độ kinh tế, điều kiện (5.5.1) có nghĩa như sau:

Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là: doanh nghiệp phải sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức mà giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của mỗi yếu tố đúng bằng giá của chính yếu tố đó

Điều kiện đủ để hàm lợi nhuận đạt cực đại là:

trị tuyệt đối của Q KL lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của Q LL và Q KK (khi đó

5.5.1.2 Tối thiểu hóa chi phí sản xuất

Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy với hàm sản xuất:

( ; )

Q f K L

Giả sử doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định

Q0 trong trường hợp này tổng doanh thu TR = pQ0 là cố định, do đó mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối thiểu hóa chi phí sản xuất

Bài toán được đặt ra:

Chọn (K; L) để hàm số

CwK KwL L (5.5.4) đạt cực tiểu với điều kiện

5.6.2 Lựa chọn mức sản lượng tối ưu

5.6.2.1 Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm

Xét trường hợp một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 2 loại sản phẩm Giả sử tổng chi phí kết hợp được tính theo số lượng sản phẩm:

( ; )

TCTC Q Q

trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất, Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai

Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản

phẩm đó Với p1, p2 là giá thị trường của hai sản phẩm, hàm tổng lợi nhuận có dạng:

Bài toán đặt ra trong trường hợp này: Chọn một cơ cấu sản lượng(Q Q1; 2)

để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 5.18: Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là:

Điều kiện đủ  2

       được thỏa mãn với mọi Q1 và Q2, do

đó lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu doanh nghiệp sản xuất 4 đơn vị sản phẩm thứ nhất

CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 6.1 Các khái niệm cơ bản

6.1.1 Các khái niệm chung

6.1.1.1 Khái niệm phương trình vi phân

Định nghĩa 1 Một phương trình mà đối tượng phải tìm là hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình đó dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân các cấp

được gọi là phương trình vi phân

6.1.1.2 Phân loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân được chia thành hai loại: Phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 2 Phương trình vi phân với hàm số cần tìm là hàm số một biến số

được gọi là phương trình vi phân thường

Ví dụ 6.1: Các phương trình sau là phương trình vi phân thường:

y' x2y2 (6.1.1)

x dy2 y dx2 0 (6.1.2)

2 2

d y

y

dx  (6.1.3) Định nghĩa 3 Phương trình vi phân với hàm số cần tìm là hàm số nhiều biến số

được gọi là phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 6.2: Các phương trình sau là phương trình đạo hàm riêng:

6.1.1.3 Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của

hàm phải tìm có mặt trong phương trình đó

Ví dụ 6.3: Trong các phương trình nêu trên, các phương trình (6.1.1), (6.1.2) là

phương trình vi phân thường cấp 1, (6.1.3) là phương trình vi phân thường cấp 2; phương trình (6.1.4) phương trình đạo hàm riêng cấp 1, phương trình (6.1.5) phương trình đạo hàm riêng cấp 2

Trong khuôn khổ giáo trình này, chúng tôi chỉ đề cập đến phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát sau:

F x y y( ; ; ';  ; y( )n )  0 ( 6.1.6) hoặc :

Trong công thức nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n, nếu

cho các C i những giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng của phương trình

đã cho

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân có đồ thị là một đường cong nào đó trong mặt phẳng tọa độ 0xy và gọi là đường cong tích phân của phương trình Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cho ta một họ các đường cong tích phân Nhiều khi từ ( 6.1.6) hoặc (6.1.7) ta tìm được họ đường cong cho bởi:

( ; ;x y C C1; 2; ;C n)0 (6.1.8)

là họ các đường cong tích phân của phương trình đã cho thì (6.1.8) được gọi là

tích phân tổng quát của phương trình ( 6.1.6) hoặc (6.1.7) Từ (6.1.8) cho các C i

những giá trị cụ thể thì ta được một đường cong tích phân hoàn toàn xác định

thỏa mãn phương trình đã cho và nó được gọi là tích phân riêng của phương

6.1.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân cấp một

Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là một hàm số (x) xác định trong khoảng (a; b) mà khi thay y x , y'' x (hoặcdy ' x dx) vào phương trình vi phân thường cấp một ta được một đồng nhất thức

Ví dụ 6.4: Hàm số 1

y x

 xác định trên  \{0}, là một nghiệm của phương trình

Ví dụ 6.5: Hàm số y = Ce 2x , C là hằng số bất kỳ, là nghiệm của phương trình

6.1.2.3 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Do việc tìm nghiệm của phương trình vi phân dẫn đến việc lấy tích phân

bất định, nên trong biểu thức nghiệm có hằng số C bất kỳ:

 ; 

y x C

Họ các hàm số yx C; .được gọi là nghiệm tổng quát của phương

trình vi phân thường cấp 1 Khi gán cho C = C0 một giá trị cụ thể thì

 ; 0

y x C được gọi là một nghiệm riêng của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng:

x y C; ;  0

được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó Mỗi tích phân ứng với một giá trị xác định của C được gọi là tích phân riêng của phương trình

6.1.2.4 Bài toán Cauchy

Xét phương trình vi phân cấp 1 dưới dạng:

y = y0 khi x = x0 (6.1.13) được gọi là Bài toán Cauchy Điều kiện (6.1.13) được gọi là điều kiện ban đầu (

điều kiện Cauchy) Điều kiện ban đầu là một bộ hai số thực (x0; y0) cho trước,

trong đó y0 là giá trị của hàm phải tìm tại điểm x0

nào đó của D Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x 0 , tồn tại ít nhất

một nghiệm y = y(x), lấy giá trị y 0 khi x = x 0 Ngoài ra nếu f ( ; )x y

y



 cũng liên

tục trong miền D thì nghiệm ấy là duy nhất

6.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

6.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

- Định nghĩa 7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng:

- Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

(trong đó C là một hằng số tùy ý khác không)

Nhận thấy y = 0 cũng là nghiệm của (6.2.2) Vậy nghiệm của phương

y Ce





  y = Cx 2

6.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

6.2.2.1 Liên hệ với phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình tuyến tính (6.2.1) với q(x) không đồng nhất bằng 0

Trong trường hợp này ta gọi phương trình tuyến tính thuần nhất (6.2.2) có cùng

vế trái với phương trình (6.2.1) là phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết

' '( ) p x dx ( ) ( ) p x dx

y C x e  C x p x eThế vào phương trình (6.2.1) ta được

trong đó C là một hằng số tùy ý Thế vào (6.2.4) ta được nghiệm tổng quát của

phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (6.2.1)

Nhận xét: Nhận thấy rằng số hạng thứ hai trong vế phải của (6.2.5) là nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (6.2.2), còn số hạng đầu là một nghiệm riêng của phương trình (6.2.1) được suy ra từ nghiệm tổng quát (6.2.5)

bằng cách cho C = 0 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính

không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm nào đó của phương trình không thuần nhất

Ví dụ 6.9: Tìm nghiệm của phương trình 2 3

ln y ln(x 1)

C   hay y = C(x + 1)2,

trong đó C là hằng số tùy ý Bây giờ ta tìm hàm số C(x) sao cho y = C(x).(x+1)2

là nghiệm của phương trình không thuần nhất Ta có

2

' '( ).( 1) 2 ( )( 1)

y C x x  C x xThế vào phương trình không thuần nhất, ta được

2

2

1( 1)

x 

6.3 Phương trình vi phân cấp hai

6.3.1 Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2

6.3.1.1 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Phương trình vi phân cấp 2 có dạng tổng quát:

 ; ; '; ''  0

F x y y y  (6.3.1)

Trong đó hàm số F xác định trong miền D nào đó của không gian 4 Trong phương trình (6.3.1) có thể vắng mặt một số trong các biến x y y, , ' nhưng y''nhất thiết không được vắng mặt

Việc xét phương trình tổng quát (6.3.1) khá phức tạp, do đó người ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải ra được đối với đạo hàm cấp hai:

'' ( ; ; ')

y  f x y y (6.3.2) Việc giải phương trình vi phân cấp hai thường qua hai lần lấy tích phân bất định, do đó nghiệm của nó có dạng:

y = (x; C1; C2) (6.3.3)

trong đó C1, C2 là các hằng số bất kỳ

Họ hàm số (6.3.3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

cấp hai Khi gán cho mỗi ký hiệu C1,C2 một số bất kỳ thì ta dược một nghiệm

của phương trình Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C1,

C2 một giá trị xác định được gọi là nghiệm riêng của phương trình

6.3.1.2 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp hai được đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (6.3.2) thỏa mãn các điều kiện:

y  , 'y y0  y0' khi x = x0 (6.3.4)

trong đó x0, y0 và y0' là các số thực cho trước

Điều kiện (6.3.4) được gọi là điều kiện ban đầu (điều kiện Cauchy) Chú ý rằng điều kiện ban đầu (6.3.4) bao gồm giá trị của hàm phải tìm và giá trị của

đạo hàm của nó tại một điểm x0 cho trước Bộ ba số thực (x0; ; )y0 y0' được gọi

là bộ giá trị ban đầu

Khi tìm được ngiệm tổng quát của phương trình (6.3.2) để tìm nghiệm

riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu (6.3.4) ta tìm C1, C2 từ hệ:

0 1 2 0

'

0 1 2 0

( ; ; )'( ; ; )