Giáo trình Toán cao cấp được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 1 này gồm 6 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: ma trận và định thức; véctơ và không gian véctơ; hệ phương trình tuyến tính; dạng toàn phương; hàm số, giới hạn và sự liên tục; đạo hàm và vi phân hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1Nguyễn Sinh Bảy,Nguyễn Văn Pứ, Nguyễn Ngọc Hiền, Nguyễn Sỹ Thìn,Nguyễn Khánh Toàn, Lê Ngọc Tú, Đinh Thị Nhuận
TOÁN CAO CẤP
(DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ)
NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ, 2017
Trang 2Mục lục
Lời nói đầu 1
Chương 1 Ma trận và định thức 3 1.1 Ma trận 3
1.1.1 Khái niệm mở đầu 3
1.1.2 Ma trận vuông 4
1.1.3 Các phép toán trên ma trận 5
1.1.4 Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 8
1.2 Định thức 9
1.2.1 Định nghĩa 9
1.2.2 Tính chất của định thức 11
1.2.3 Cách tính định thức 13
1.2.4 Phương trình đặc trưng và giá trị riêng 16
1.3 Hạng của ma trận 17
1.3.1 Định nghĩa, tính chất 17
1.3.2 Cách tính hạng của ma trận 18
1.4 Ma trận nghịch đảo 20
1.4.1 Định nghĩa, tính khả nghịch 20
1.4.2 Các tính chất của ma trận nghịch đảo 21
1.4.3 Cách tính ma trận nghịch đảo 22
1.4.4 Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận 25 Chương 2 Vectơ và không gian vectơ 31 2.1 Khái niệm và các phép toán trên vectơ 31
2.1.1 Vectơ n chiều 31
2.1.2 Các phép toán trên các vectơ n chiều 32
2.2 Hệ vectơ và sự độc lập, phụ thuộc tuyến tính 33
2.2.1 Khái niệm 33
2.2.2 Dấu hiệu nhận biết 35
2.3 Hạng và cơ sở 36
2.3.1 Cơ sở và hạng của một hệ vectơ 36
2.3.2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vectơ 38
2.4 Không gian vectơ 41
Trang 32.4.1 Cơ sở của không gian Rn 41
2.4.2 Phép đổi cơ sở 43
2.4.3 Không gian tuyến tính sinh bởi một hệ vectơ 45
2.4.4 Biểu diễn tuyến tính 48
Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính 53 3.1 Cách biểu diễn hệ 53
3.2 Hệ có hình dáng đặc biệt 55
3.2.1 Hệ thuần nhất 55
3.2.2 Hệ Cramer 55
3.3 Biện luận về tập nghiệm 56
3.4 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 59
3.4.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp 59
3.4.2 Phương pháp Cramer 62
3.4.3 Phương pháp ma trận nghịch đảo 63
Chương 4 Dạng toàn phương 80 4.1 Các khái niệm cơ bản 80
4.1.1 Mở đầu về dạng toàn phương 80
4.1.2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 82
4.1.3 Phép biến đổi tuyến tính 82
4.1.4 Giá trị riêng và vectơ riêng 83
4.2 Đưa về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 84
4.2.1 Phương pháp giá trị riêng 84
4.2.2 Phương pháp Jacobi 86
4.2.3 Phương pháp Lagrange 91
4.2.4 Định luật quán tính 95
4.3 Tính xác định dấu, tính không xác định dấu 96
4.3.1 Định nghĩa và hệ quả 97
4.3.2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu 98
4.4 Một vài ứng dụng của dạng toàn phương 105
4.4.1 Nhận dạng đường, mặt bậc hai 105
4.4.2 Tìm cực trị hàm số nhiều biến số 108
Chương 5 Hàm số, giới hạn và sự liên tục 112 5.1 Số thực và hàm số một biến số 112
5.1.1 Tập số thực 112
5.1.2 Hàm số một biến số 113
5.2 Giới hạn của hàm số 120
5.3 Các định nghĩa 120
5.3.1 Một số giới hạn dạng vô định 126
5.3.2 Hai giới hạn quan trọng 128
5.3.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn 129
Trang 45.4 Sự liên tục của hàm số một biến số 133
5.4.1 Các định nghĩa 133
5.4.2 Các phép tính về hàm liên tục 135
Chương 6 Đạo hàm và vi phân hàm một biến 143 6.1 Đạo hàm 143
6.1.1 Các khái niệm 143
6.1.2 Tính đạo hàm bằng công thức 147
6.1.3 Đạo hàm bậc cao 152
6.2 Vi phân 153
6.3 Một số ứng dụng của đạo hàm, vi phân 154
6.3.1 Tính gần đúng bằng vi phân 154
6.3.2 Tính các giới hạn dạng vô định 156
6.3.3 Tìm cực trị của hàm số 159
Chương 7 Hàm hai biến 167 7.1 Các khái niệm mở đầu 167
7.1.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến 169
7.1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến 173
7.2 Hàm ẩn 176
7.3 Bài toán cực trị 178
7.3.1 Cực trị tự do 178
7.3.2 Cực trị có điều kiện 181
Chương 8 Phép tính tích phân 193 8.1 Tích phân bất định 193
8.1.1 Nguyên hàm và định nghĩa tích phân 193
8.1.2 Các tính chất của tích phân bất định 194
8.1.3 Bảng các công thức tính tích phân 194
8.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định 198
8.2 Tích phân xác định 207
8.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 207
8.2.2 Các tính chất của tích phân xác định 208
8.2.3 Công thức Newton - Leibnitz 209
8.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 211
8.3 Tích phân suy rộng 215
8.3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn 215
8.3.2 Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vô cực 222
Chương 9 Phương trình vi phân 232 9.1 Các khái niệm mở đầu 232
9.2 Phương trình vi phân cấp một 233
9.2.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân cấp một 233
9.2.2 Phương trình cấp một biến số phân li 235
Trang 59.2.3 Phương trình đẳng cấp cấp một 238
9.2.4 Phương trình tuyến tính cấp một 241
9.2.5 Phương trình Bernoulli 248
9.3 Phương trình vi phân cấp hai 249
9.3.1 Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai 249
9.3.2 Các trường hợp giảm cấp được 250
9.3.3 Phương trình tuyến tính cấp hai 254
9.4 Ôn lại về Số phức (phần phụ lục) 260
Chương 10 Phương trình sai phân 274 10.1 Sai phân và phương trình sai phân 274
10.1.1 Lưới thời gian và sai phân 274
10.1.2 Khái niệm phương trình sai phân 276
10.1.3 Tính chất của phương trình dạng tuyến tính 277
10.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 279
10.2.1 Phương trình thuần nhất hệ số hằng 279
10.2.2 Phương trình không thuần nhất hệ số hằng 280
10.2.3 Phương trình thuần nhất hệ số biến thiên 286
10.2.4 Phương trình không thuần nhất hệ số biến thiên 287
10.3 Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 295
10.3.1 Phương trình thuần nhất 295
10.3.2 Phương trình không thuần nhất 297
10.4 Phần tham khảo 300
10.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng 300 10.4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2 hệ số biến thiên 301
10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến 303
10.4.4 Một vài ứng dụng của phương trình sai phân 304
10.4.5 Một vài bài toán trong thực tiễn 307
Tài liệu tham khảo 315
Trang 6Lời nói đầu
(CHO LẦN XUẤT BẢN)Giáo trình này được tập thể giáo viên giảng dạy môn Toán Cao cấp, Bộmôn Toán, Trường Đại học Thương mại biên soạn lại trên cơ sở giáo trìnhcùng tên, đã được xuất bản năm 2000 Trong giáo trình này, chúng tôi cólược đi một vài nội dung và đưa vào một số nội dung khác cho phù hợp vớiquy định mới về chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo đối với đối tượng
là sinh viên khối Kinh tế Chắc rằng trong giáo trình vẫn còn nhiều thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của quý độc giả.Xin trân trọng cám ơn
Hà Nội, ngày 20 tháng 01 năm 2008
Các tác giả(CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 1)
Giáo trình Toán Cao cấp được tập thể giảng viên và cựu giảng viên, Bộmôn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn vào năm 2008
Do số tín chỉ của chương trình giảm bớt so với trước, chúng tôi rút gọn nộidung giáo trình một lần nữa Chúng tôi cũng sửa lại một số sai sót đã pháthiện được Do thời lượng rất ít nên các mệnh đề nói chung sẽ không đượcchứng minh đầy đủ, tuy nhiên đều có các gợi ý về cách chứng minh
Trong lần chỉnh sửa này, chúng tôi đã nhận được rất nhiều ý kiến traođổi vô cùng quý giá từ các thầy cô giáo, Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đạihọc Thương mại Tập thể các đồng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến quý thầy, cô
Mặc dù các tác giả đã rất cố gắng nhưng chắc chắn giáo trình khó tránhkhỏi thiếu sót Rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến trao đổi, nhữnglời góp ý từ các đồng nghiệp và quý bạn đọc
Xin trân trọng cám ơn
Hà Nội, ngày 12 tháng 4 năm 2015
Các tác giả
Trang 7(CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 2 )Giáo trình này đã được tái bản có sửa chữa và cấu trúc lại vào năm
2015 Trong bản tái bản này, chúng tôi tiếp tục sửa lại một số lỗi về chế bảncũng như về nội dung và hình thức Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏithiếu sót Rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến trao đổi, những lời góp
ý từ các đồng nghiệp và quý bạn đọc
Xin trân trọng cám ơn
Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017
Các tác giả
Trang 8Chương 1
Ma trận và định thức
1.1 Ma trận
Ta đã biết về các số thực và các phép toán trên tập các số thực Khi nhiều
số thực được sắp xếp lại với nhau theo một trật tự được quy định nào đó,
ta sẽ có các đối tượng tổng quát hơn Một trong số đó là các ma trận, đượcđịnh nghĩa ngay sau đây
Định nghĩa 1.1 Có m × n số thực aij, được sắp thành một bảng hình chữnhật gồm m dòng, n cột như sau
Khi đó, bảng này được gọi là một ma trận cỡ m × n Số aij gọi là phần tửnằm ở giao của dòng thứ i và cột thứ j (i =1, m, j = 1, n) của ma trận A
• Ta thường dùng kí hiệu rút gọn: A = (aij)m×n
• Ma trận −A = (−aij)m×n gọi là ma trận đối của A
• Ma trận cỡ m×n có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không
cỡ m × n, kí hiệu là O hoặc chi tiết hơn là Om×n
Trang 9• Ma trận chuyển vị của A là ma trận có kí hiệu A0
Quan hệ "bằng" giữa các ma trận
Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cùng cỡ A = (aij)m×n và B = (bij)m×n đượcgọi là bằng nhau nếu các cặp phần tử tương ứng của chúng đôi một bằngnhau:
Các phần tử a11, a22, , ann là phần tử nằm trên đường chéo chính Còncác phần tử an1, a(n−1)2, , a1n là phần tử nằm trên đường chéo phụ
• Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm về
phía dưới của đường chéo chính đều bằng 0: A =
Trang 10Tương tự, ma trận tam giác dưới: A =
• Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng 0
Trang 11A, kí hiệu là αA, được xác định như sau:
αA = α(aij)m×n = (αaij)m×n
3 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA
4 α(AB) = (αA)B = A(αB)
Trang 125 AE = A; EB = B (E là ma trận đơn vị có cỡ phù hợp với A, B) Đặcbiệt, nếu A là ma trận vuông cùng cấp với ma trận E thì AE = EA =
a) Tính AB
b) Phép nhân BA có thực hiện được không?
Lời giải a) Số cột của A và số dòng của B đều là p = 2 nên phép nhân ABthực hiện được Gọi C = AB Cỡ của C là 3 × 4 Đặt C = (cij)3×4 khi đó:
102
Trang 13Khi đó AX = B ⇔
4x1+ x2+ x3+ x4= 13x1− 2x2+ x3− x4= 0
−x1+ 5x2+ 2x3+ x4= 2
Chú ý
1) Cần phân biệt hai kí hiệu AB 6= BA và AB 6≡ BA
2) Các tích AB và BA không nhất thiết cùng thực hiện được Ngay cả khi
cả hai đều thực hiện được, có thể chúng vẫn không bằng nhau
Ta sẽ thường xuyên dùng đến các phép biến đổi sau đây trên các dònghoặc các cột của các ma trận (và tương tự cho một số đối tượng khác vềsau) Đó là:
1 Giao hoán hai dòng (hoặc hai cột) khác nhau của ma trận
2 Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với cùng một số thựckhác 0
3 Nhân một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào một dòng (hoặccột) khác
Chú ý Ta có thể chỉ ra rằng các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trậnthực chất chỉ là các phép nhân vào bên phải hoặc bên trái ma trận đó với mộttrong ba loại ma trận có hình dáng đặc biệt, được kí hiệu S(k)(i, j), k = 1, 2, 3sau đây Với i 6= j, p nào đó:
Trang 14Đề nghị bạn đọc tự viết các ma trận trên với các phần tử cụ thể Ở Chương
4, để đơn giản, thay cho Sp×p(k) (i, j) nhiều khi ta chỉ viết là S(k)
Ta có thể kiểm tra được rằng các cặp phép toán sau đây thực chất là nhưnhau:
1) Giao hoán dòng i và dòng j của Am×n; Nhân Sm×m(1) (i, j) vào bên trái matrận Am×n
2) Giao hoán cột i và cột j của Am×n; Nhân Sn×n(1) (i, j) vào bên phải ma trận
Định nghĩa 1.5 Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n×n Định thức của
ma trận A là một số thực có ký hiệu là |A| hoặc det(A), và độ lớn được xácđịnh theo cách dưới đây
Định thức của ma trận vuông cấp một A = (a11) là số thực được xác địnhnhư sau: |A| = |(a11)| := a11
Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n − 1 Khi đó, độ lớn củađịnh thức của ma trận vuông cấp n: A = (aij)n×n được xác định như sau
|A| :=
a11 a12 , , a1n
a21 a22 , , a2n
an1 an2 , , ann
+ 3.(−1)2+1
2 1 2
−1 1 1
2 1 3
+ (−1)(−1)4+1
... a11 a22a33+ a12 a23a 31< /sub>+ a13 a 21< /sub>a32− a13 a22a 31< /sub>− a12 a 21< /sub>a33− a11 a23a32.Quả...
a11 a12
a 21< /sub> a22
= a11 a22− a12 a 21< /small>.Quả vậy, phân tích theo dịng 1, ...
a11 a12 a13
a 21< /sub> a22 a23
a 31< /sub> a32 a33
= a11 a22a33+
