Giáo trình toán cao cấp giải tích phần 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH KHOA TOÁN THỐNG KÊ BỘ M ÔN TO Á N C ơ B Ẳ N PHẠM HỒNG DANH (chủ biên) GIẢI TÍCH B i ê n S o ạ n Tuấn Anh Phạm Hồng Danh Đào Bảo Dũng Nguyễn Văn Nhân Hoàng Ngọc Qu[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH

KHOA TOÁN THỐNG KÊ

BỘ M Ô N T O Á N C ơ B Ẳ N

PHẠM HỒNG DANH (chủ biên)

GIẢI TÍCH

B i ê n S o ạ n : Tuấn Anh - Phạm Hồng Danh - Đào Bảo Dũng Nguyễn Văn Nhân - Hoàng Ngọc Quang - Nguyễn Hữu Thái

Lê Quang Trung - Nguyên Thanh Vân - Võ Minh Vinh - Ngô Trấn VQ

¿TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH

ĐỘ MÔN TOÁN C ơ BẢN

PHẠM HỒNG DANH (Chủ biên)

TOÁN CAO CẤP

GIẢI TÍCH

Đ ào B ảo Dũng - N guyễn Văn Nhăn

H oàng N gọc Quang - N guyễn Hữu T hái

Lê Quang Trung - N guyễn Thanh Vân

Võ Minh Vinh - Ngô Tuấn Vũ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA

TP HỒ CHÍ MINH - 2007

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách này được biên soạn dựa trên chương trình giảng dạy môn Giải tích cho sinh viên năm thứ nhất tại trường Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh Trong quá trình biên soạn, chúng tôi có tham khảo một số sách toán dành cho sinh viên kinh tế và sinh viên các ngành khác trong và ngoài nước Một số ví dụ kinh tế được giới thiệu để sinh viên bước đầu thấy được việc vận dụng các kiến thức giải tích vào các bài toán kinh tế

Để hiểu được bản chất các khái niệm và các tính chất trong môn toán giải tích là điều râ't khó, cần có quá trình Chúng tôi chỉ mong mỏi cuốn sách nàv giúp các sinh viên Ikinh tế có được các kiến thức toán giải tích cần thiết để có thể tiếp thu được các giáo trình kinh tế ở các năm trên

Dù đã cố gắng rất nhiều nhưng chắc chắn không tránh khỏi sai sót Chúng tôi mong nhận được các lời góp ý để

bổ sung sửa chữa cho các lần in sau Chúng tôi xin chân thành càm ơn

Nhóm biên SỌUÍÌ

Chương o :

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

A TẲP HƠP.

I Khái niêm

Tập hợp là một ý niệin nguyên thủy của toán học, không

định nghĩa

Ta mô tả : một số vật thể hợp thành tập hợp; mồi vật thể

là một phần tử

• Cho một tập hợp A và phần tử X Nếu X là phần

tử của A ta viết X e A Ngược lại, ta viết X ẽ A hay X Ệ Ầ (x không thuộc A)

Ví du : Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử

• Đường thẳng là một tập hợp mồi điểm là một phần tử

II Cách diễn t á Có nhiều cách :

1) L iẽt kê : liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { }

Ví du : Tập hợp các nguyên âm A = (a, e, i, u, o, y Ị

Ví du : T = ị bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai ì

2) Triftig tính : (nêu tính chất đặc trưng)

Nếu mọi phần tử X của tập A đều có tính chất b, ta viêt :

A = {x I X có tính chất bị

M = {x| X là sô" nguyên dương nhỏ hơn 5}

=> M = {1, 2, 3, 4}

3) G iản đổ Venn

III Vài tâp hơp thông dung

N = {0, 1 , 2 , 3 , N* = N \ {0}

z = [0 ± 1, ± 2, .}

m e z , n 6 z * } : tập các số hữu tỷ

‘R là tập các số thực.

(a, b) = {.T € R I a < X < b} }

[a, b] = {x G R I a < X < b}

Ví du : (->/2, 15] = {x € R I -> /ỉ < X < 15}

IV Chính số', tâp trông, tâp hữu han, tâp vô han

1 Tâp hữu han : là tập hợp có số phần tử là n , với

n G N

2 Chính s ố : s ố phần tử của tập A còn được gọi là chính

số của A (hay card A)

Ký hiêu : ch.s A hay card A hay |A|

Ví du : A = {-3, 5, a, b} => carđ A = 4

3 Tảp trông : là tập hợp không có phần tử nào cả

KÝ hiêu : 0 hay { }

Ghi chú : { 0 } * 0 ; {0} * 0

4 Tâp vô han : tập không hữu hạn được gọi là tập vô

hạn.

Ví dư : N, z , Q, R, (0, 1) là những tập hợp vô hận

V Tâp hơp con, tâp hơp bằng nhau

1 Tâp hơp con : A là tập hợp con của B nếu mọi phần

tử của A đều là phần tử của B

Ví du : A = { 1 , - 5 , 0 } ; B = { 2 , 3 , 1, 8 , 0 , - 5 } ;

5

c = {1, -5, 0, 7, 3 }

A (Z B và c <Ị B"(7 G c và 7 ị B }

Nhân x é t : V A , ta có 0 c A và A c A

2 Tâp hơp bằng nhau :A = B o A c B v à B c A

o “V x , x e A o x e B ”

3' Tâp hơp tất cả tâp hơp con của E goi là tâp hơp

các phần của E

Kv hiêu : P ( E ) = { A \ A c E }

Ví du : E = la b c} thì

P(E) = { 0 , {a},{b},{c},{a, b,){b, c},{c, a},{a,b, c}}

Hê quá : Nếu card E = n => card P(E) = 2n

(chứng minh bằng truy chứng)

VI Các phép toán trẽn tâp hơp

!• Phép g ia o : A n B = { xị x€i 4 v à x e B Ị

B = {0, -3, 8,->/2}

c = {1, 2, 3}

=> A n B = {-3, -7 2 } và A n c = 0

A n A = A

A n B = B n A (A rvB) n C = A n ( B n C )

A n B c A

A n B c B

2 Phép h ỏ i: A u B = {x| X e Ả h a y x e B }

Ví du : A = ía b c, d}; B = la c e f|

=*► A u B = {a, b, c, d, e, f}

A u 0 = 0 u A = A ; A u A = A

A c A u B , B c A u B Tính phân bố của phép giao và phép hôi

A n ( B u C Ị = ( A n B ) u ( A n C)

A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C )

3 Phép hiêu : A \ B = {x I x e A và X ị B}

Ví dụ : A = {a, b, c, d};B = {5, a, c, f, -3};

c = {a, f, 7, d}

A \ B = {b,d}; B \ A = { 5 , f , - 3 } (A \ B) \ c = {b} * A \ (B \ C) = {a, b, d} Tính c h ấ t: Nếu A * B thì A \ B * B \ A

Thông thường : (A \ B) \ c * A \ (B\ C)

A \ 0 = A ; A \ A = 0 ; A \ B c A

Hê quả : Chứng minh

A \ (B u C) = (A \ B) n (A \ C)

A \ ( B n C ) = (A \ B ) u ( A \ C)

4 Phần b ù : Cho A c E , phần bù của A đối với E là

A r= Ã = CeA = E \ A - { x / x e E v à x 6 A}

Tính c h ấ t:

Ce0 = E ; CgE = 0 ; CeAu ằ = E

CeA n A = 0 ;

Ce(CeA) = A (A = A )

Ce (A u B) = CeA p> CeB

Ví du : E = {a, b, c, d, e, f}; A = {a, d}; B = {a, e, f}

CEA = {b, c, e, f}; CeB = {b, c, d}

CE ( A u B ) = {b, c}; Ce (A n B) = {b, c, d, e, f}

5 T âp hơp tích : Ả X B = {(rr,2/)|rr € A ,y e B}

Vídụ: A = { 1,2,3}; B = {a,b}

=> A xB = {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)}

và B X A = {(a, 1) (b, 1) (a, 2) (b, 2) (a, 3) (b, 3)}

Ghi chú : Nếu A * B và A, B * 0 thì A xB * Bx A

Vi du : (1,4) *(4, 1)

- A x 0 = 0 x A = 0

Card(A X B) = Card A.Card B

Ví du : Mặt phẳng tọa độ là

IR2 = R X R = {(x, y)|x, y G R }

Tương tự ta có:

Ậ XẨ2 X X Ậ ' = j(.Tp2:.2, ,:z;,,)|.T, G A,J = 1,7ỉỊ

= {(.T1,.T2, ,xj|.T 1 g Ạ,ar2 € A2, ,.T„ G A ,)

A x A x x A = A" = G 4,7 = 1,-7?

j-n lầj-n

Ví du : R" = {(Xi, X2, xn)| Xj G = 1,71 }

(-5,2, Vt -8) G R 4

(-2,1,0,3,7) G Z'r> c Q'r> c E r‘

B ÁNHXA

I Đinh nghĩa :

Cho hai tập hợp X, Y Ỷ 0» một phép liên kết f tương ứng

mỗi phần tử X G X với duy nhất phần tử y e Y được gọi

là một ánhxạ từ X vào Y.

Kỵ hiêu : f : X -> Y

X I—> y = f(x)

Khi đó X 201 là'tập hơp nguồn (miền xác định) và Y gọi

Nhân xét : f ; X Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử

của X đều có ảnh duy nhất (e Y)

Ánh xạ f :X -> R với I c ẵ được gọi là một hàm số

thực với biến số thực.

Ví du : f : R -» R , f(x) = 5x2 - 3x là một ánh xạ và là

một hàm số thực với biến số thực

II Nghich ánh : (ảnh ngược, tiền ảnh)

Cho ánh xạ f : X —> Y

A c X, ảnh của tập A là f(A) = {f(x) € Y ị x € Á }

Ảnh ngược của B c Y là f ~ \ B ) = {.T e X I f(x) £ B}

Đặc biệt khi B = {y} <z Y ta viết

/"'({?/}) - ỉ~'(y) = í 1 e x I ỉ i x) = y}

x € ỉ '(y) được gọi là ảnh ngược của y

Ví du : Cho f : R -> 1R, f(x) = X2 và B = {-5, 2,4, 9,0}

Thì f ' ' ( B) = { ±V2 , ±2 , ±3 , 0 }

f '(169) - {±13}; f (-3) - 0

f-'(2) = { ±V 2 } ; f - ' ( - 5 ) = 0

toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y

Ta có :

f(X) = Y <=> Vy G Y, 3x G X : f(x) = y

o Vy 6 Y, phương trình y = f(x) có ít nhất một

nghiệm

' o V y € Y, f '*( y)^t 0

Ví du : i) f : R - > R , f(x) = X2 không là toàn ánh vì

/ _1(—!2) = 0 (phương trình X 2 = 2 : vô nghiệm)

Vy G M +, phương trình f(x) = y <=> X2 = y luôn có nghiệm

X = ±yfij

9

Nhân xét : Giả sử f : X -» Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y

Ghi chü : Để chứng minh f là toàn ánh ta chứng minh

Vy e Y phương trình f(x) = y có nghiệm

IV Đơn ánh : Cho ánh xạ f : X -> Y

f là đơn ánh o “ V x i , X2 € X và Xi * X2 => f(X |) * f(x2>”

Ta có : f là đơn ánh

o “ V x i, x2 G X và f(x i) = f(X2> => Xi = x2”

nhất là một nghiệm”

<=> “Vy € Y, f '*( y) = 0 hay f ' ẳ(y) có đúng một phần tử”

Ví du :

f(-2) = f(2) = 4

* f : R + -» K hay R" -> R , f(x) = X2 là đơn ánh

Va?!,x2 e R và /(Xj) = f ( x 2)

_ 3#, — 5 Sx.j — 5

<=> — 1 - = —2-— <=> X, = x.y

V Song á n h : Cho ánh xạ f : X -» Y

Ta có : f là song ánh

<=> V y € Y , phương trình f(x) — y cỏ duy nhất

nghiệm

o V ị / e y , ỉ~ x{y) có duy nhât một phần tử.

Ví du : f : M -> M ; f(x) = —— - là song ánh vì

V y e M, phương trình y = có duy nhất nghiệm T = 7y + 5

Ví du : f : R -> M; f(x) = X2 không là đơn ánh, không là

toàn ánh

f : R + -» E, f(x) = X2 là đơn ánh nhimg không là toàn ánh => không song ánh

f : M -* R +, f(x) = X2 không là đơn ánh nhưng là toàn ánh => không song ánh

Ví du : f : M+ -> R +, f(x) = X2 là song ánh

f : R~ -> R +, f(x) = X2 là song ánh

X h-> f(x)

thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược c ủ a f :

y = f(x)i->x = f ' l(y)

Vi du : f : R + ^> R + ,f(x) = x2

f~'(y) = -Jỹ (x ,y > 0) hay = y/x

Ví du : f : R -> R + ; f(x) = x2

r \ y ) = - J ỹ hay r ' ( x ) = - V ĩ

Ví du : f :R -> \ (0) : f(x) = 3*

f ' : R + \ {0} -* R hay f '( x ) = log3X 7T 7T

2 ' 2

Thì f 1: [-1,1]

[-1, 1]; f(x) = sinx

- Ĩ - , — , f _1(x) = arcsinx

2 2

11

* f : [0,7r] —> [-1, 1], f(x) = cosx

T h i f 1 :[•-!, 1] —>[0,7r], f _I(x) = arccosx

f : 7T 7T

-> R , f(x) = tgx

Thì f 1 : R -> 7 T 7 r | _ j

* f : (0,7r) -> R , f(x) = cotgx

T h if ' 1 : M ->(0,7r); f ^(x) = arccotgx

¡Ü f TTJ Tn> \ -b 7 - _ Sx + 7

* f : R -» M, /(x) = -■—- Vi y = - — <=>

X — — — - n ên f 1 : R -> K , f _1(x) = — — —

Ví du : Cho X c R , Y c R Xác định X, Y để f là

song ánh, với f : X -» Y , Ị(x) = —— - ;

■"|~ 1 Với X = R \ Í — Ị tacó

l 2 J 52’ — 3

?/ = T- — 7 <=> y(2x + 1) = 5x - 3

'2x + 1

2xy + y = 5x - 3

<=> x(2y - 5) = - y - 3 (*)

5

2

Với y ^ —, ta có (*)<=>£= ^

Vậy với X = R \ Ị— I và Y = R \ j - j thì f : X -> Y, /(:c) = ^ — - là một song ánh, và f 1 : Y —> X với

12

/-■(*) = X

-f- 3

5 — '2x

Ghi chú :

i) f : X -> Y là đơn ánh và X, Y là 2 tập hữu hạn thì card X < card Y

ii) f : X -> Y là song ánh và X, Y là hữu hạn thì ix ; = m

iii) ÁAịih xạ ngược f 1 của f chỉ tồn tại khi f là

st ìiiỉ ánh

VIL Ảnh xa lìơp : (Ánh xạ tích)

Cho hai ánh xạ f X —> Y và g : Y -» z

Ánh xạ h : X —» z được định nghĩa

h(x) = g[f(x)], Vx G X

Ký hiêu : h = gof được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích)

của f và g

Ví du : f :R —> [5,+oo), /(.r) = z 2 + 5

g ! [5, + o o ) —^ M , ~ —

T h ì g„f(x) = g ự + 5) = - y j ự + 5) + 2 = - V ? + 7

Ví du : f, g : 1R —» K ; /(x) = 3x2 — T ;

Thì

2 2 ( 3 i2 - x) + 5 6 r ’ - 2 x + 5

9»ỉ(x) = .9(3* x ) = —= J —

/o™ I /o™ I K\2 / # ) = /

Nhân xét :

i) Thông thường, ỹof ^ fog

ii) (#"/) 1 = ỉ V 1 (giả sử f, g là song ánh)

iii = y , V y e Y ( f : X —»Yl à song ánh)

(2t+5Ì

13

iv ) Giả sử fo(goh) tồn tại, ta c ó : (fog)oh = fo(qoh)

VIII Đinh nghĩa :

1) Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu

tồn tại một song ánh giữa A và tập con

của N Khi đó, ta viết :

2) Nếụ tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.

3) Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn

tại một song ánh từ A vào B

4) Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N Khi đó, nếu

N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được Nói

cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N

CardA = n hay \A\ = n.

14

Chương I :

SỐ THựC

I M ôt thiếu sót của o

M ênh để : Phương trình X2 — 2 không có nghiệm trong Q

Chứng minh : Giả sử X2 = 2 có nghiệm trong Q là ir(l =>

£0 = — v ớ i r a , 71 £ z , n ^ 0 v à — là p h â n sô" tố i g i ả n (m ,

n nguyên tố cùng nhau )

Khi đó (— 1 = 2 => ?Ệr = 2 => m 2 = 2n 2 (1)

=> m2 là sô" chẵn => m là số chẩn (vì nếu m là số lẻ thì ra2 là

(1) và (2) ==> (2Ẵ;)2 = 2n2 => 2k2 = n 2 =>rc2 là số chẩn

=> n là sô"chẵn => n = 2h (h E X ) => — — — = —

=> — không là phân số không tối giản.

n

=> mâu thuẫn với giả th iế t.

II Tiên đề Zorn :

1 Khái niêm : Tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi chung là số

thực.

Tập hợp các số thực ký hiệu là M Trên R có các tính chất

15

về phép cộng, nhân và bất đẳng thức như đã biết.

2 Đinh nghĩa : Cho Ả c R và A VÉ 0

i) A là bị chận trên nếu 3 k e R sao cho X < k ,v X G A ii) A bị chận dưới nếu 3 k e l sao cho X > k , V X G A

3 Tiên đề Zorn : Mọi tập con của M khác 0 bị chận trên đều tồn tại chận trên nhỏ n h ấ t

Nhân xét : nếu A có chận trên nhỏ nhất thì chận trên nhỏ

nhâ't là duy nhất và ký hiệu là supA

Chứng minh : Giả sử A có hai chận trên nhỏ nhất là ki và k2,

ta c ó :

k.2 < k] (vì k2 là chận trên nhỏ nhất)

=> kị = k2

• M là chận trên nhỏ nhất của A nếu mọi T là chận trên của

A thì M < T

• m là chận dưới lớn nhất của A nếu ta có m > t, V t là chận dưới của A

• A c M,A * 0 Nếu A bị chận trên thì A có vô số chận trên Nếu A bị chận dưới thì A có vô sô" chận dưới

3 Hê quẵ : Cho A c M, Ả 0 Nếu Ả bị chận dưới thì A

có chận dưới lớn nhất, ký hiệu là Inf

Chứng minh: Đặt D = {—X / X G A} Vì A bị chận dưới nên

tồn tại m G R sao cho :

m < X, V X e A => - X < - m , V -X e B

=> B bị chặn trên, do tiên đề Zorn ta có Sup B tồn tại.

Ta có : V X G Ả , -X < sup B => -sup B < X

=> - Sup B là một chận dưới của Ả

Ta sẽ chứng minh -sup B là một chận dưới lớn nhất của A Thật vậy, Vt là chặn dưới của Ả thì

t < X , v X e Ả

=> —X < —t , V - x e B

=> - 1 là một chận trên của B

=> sup B < -t => t < -sup B

=> inf Ả - -sup B

A = {-2,18} thì supA = 18 ; infA = -2

A = (-5 ,2 ) thì supA = 2 ; infA = - 5

• Nhân xét : SupA có thể thuộc A hoặc không thuộc A Nếu supA € A ta có SupA = MaxA

• InfA có thể thuộc A hoặc không thuộc A

Nếu infA € A ta có inf A = Min A

5/ M ênh đề (đặc trưng của sup)

Cho A c K , A ^ 0 Khi đó:

M = sup A <=>

17