Giáo trình toán cao cấp phần 2 trường đại học nông lâm

Các phương pháp tính tích phân bất định a Phương pháp tính trực tiếp Sử dụng các tính chất và bảng tích phân bất định của một số hàm cơ bản để tínhtrực tiếp một số tích phân đơn giản...

tế, nông nghiệp và một số ngành khoa học khác.

(1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b).(2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b) đều có dạng F (x) + C

3.1.2 Tích phân bất định

Định nghĩa 3.1.4 Nếu f (x) có một nguyên hàm là F (x) thì nó có một họ các nguyênhàm là F (x) + C với C là một hằng số tùy ý và họ nguyên hàm đó được gọi là tíchphân bất định của hàm f (x)

Ký hiệu: f (x)dx, trong đó: là dấu tích phân; x là biến lấy tích phân; f (x) làhàm dưới dấu tích phân; f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

Như vậy theo định nghĩa

a + x

a − x

+ C;

ta suy ra được bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản, chẳng hạn các tích phân từ

1 đến 10 trong bảng Các tích phân từ 11 đến 15 ta có thể xây dựng dựa vào tính chấtcủa tích phân bất định và các tích phân đã biết

3.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định

(a) Phương pháp tính trực tiếp

Sử dụng các tính chất và bảng tích phân bất định của một số hàm cơ bản để tínhtrực tiếp một số tích phân đơn giản

Z 1 − sin2tsin2t dt =

Zdt

(1) Công thức (3.1) và (3.2) chứng minh bằng phương pháp lấy đạo hàm hai vế

(2) Sau khi tìm được nguyên hàm ta phải trả lại vai trò cho biến cũ ban đầu

(c) Phương pháp tích phân từng phần

Định lí 3.1.12 Giả sử u = u(x); v = v(x) là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K,

ta có:

Zudv = uv −

Zvdu

Chú ý 3.1.13 Công thức tích phân từng phần dùng để tính tích phân của một tíchcác hàm số Để tính được tích phân các hàm số này ta phải khéo léo lựa chọn hàm u

Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = ex ⇒ v = ex

⇒ I = x2ex− 2

x.ex−

• Nếu q(x) có nghiệm thực: Phân tích q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tamthức bậc hai sau đó dùng phương pháp hệ số bất định, hoặc phương pháp thêm bớt

Z d(x2+ px + q)

x2+ px + q +



B − Ap2

2p4q − p2 arctan 2x + p

2(2x − 4) + 5

x2− 4x + 8 dx =

32

(b) Tích phân các biểu thức lượng giác

Để tính tích phân của các hàm số lượng giác thông thường tùy vào đặc thù củatừng bài toán ta có thể biến đổi sơ cấp đưa về tích phân của các hàm lượng giác cơbản, hoặc dùng phương pháp đổi biến đưa về tích phân của các hàm hữu tỷ đơn giản.Giả sử cần tính tích phân I =

ZR(sin x; cos x)dx

1 + t2 là tích phân của hàm hữu tỷ

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng quy tích phân dạng trên về tích phân củahàm hữu tỷ bằng cách đặt trên, vì có thể sẽ đưa về tích phân của hàm hữu tỷ phứctạp

Ví dụ 3.1.17 Tính tích phân I =

4 sin x + 3 cos x + 5·Giải: Đặt t = tanx

2 Suy ra ta có tích phân theo biến t như sau:

2 + 2+ C

Ví dụ 3.1.18 Tính tích phân I =

Zcos3xsin4xdx·

Giải: Ta viết lại tích phân trên như sau: I =

(2) Nếu R(sin x; − cos x) = −R(sin x; cos x) (lẻ đối với cos x); đặt t = sin x.

(3) Nếu R(− sin x; cos x) = −R(sin x; cos x) (lẻ đối với sin x); đặt t = cos x

(4) Nếu I =

Z

sinmx cosnxdx trong đó:

+ Nếu ít nhất một trong hai số m; n lẻ, đặt t = sin x (n lẻ) hoặc t = cos x (m lẻ);+ Nếu m; n chẵn và mn < 0, đặt t = tan x;

+ Nếu m; n chẵn và dương áp dụng công thức hạ bậc sin2x = 1 − cos 2x

2 · · ·(5) Các tích phân dạng:

Zsin ax cos bxdx;

Zsin ax sin bxdx;

Zcos ax cos bxdx ta ápdụng các công thức biến đổi tích thành tổng

sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]

3.1.5 Một số bài toán về ứng dụng của tích phân bất định

Chúng ta biết phép toán nguyên hàm là phép toán ngược của phép toán đạo hàm

và tích phân bất định là một họ các nguyên hàm, các nguyên hàm đó sai khác nhaubởi hằng số C Vì vậy, đối với các bài toán thực tế, khi bài toán được mô hình hóa bởiđạo hàm của hàm số tức là cho biết tỷ lệ biến đổi tức thời của một hiện tượng chẳnghạn như, lợi nhuận biên, doanh thu biên, vận tốc, gia tốc, tỷ lệ tăng trưởng của vikhuẩn, tỷ lệ phát triển của sâu bệnh, thì chúng ta hoàn toàn có thể tìm được hàmtổng lợi nhuận, tổng doanh thu, quãng đường, vận tốc, số lượng vi khuẩn sau khoảngthời gian t nhờ tính tích phân Ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng này thông qua các ví dụ

Với t là thời gian tính bằng giờ, t = 0 thì P = 0

(a) Tìm mô hình về số lượng vi khuẩn

(b) Sử dụng mô hình này để dự đoán số lượng vi khuẩn sau 24 giờ

Giải: (a) Ta có P =

Z(105, 74t + 2639, 3)dt = 52, 87t2+ 2639, 3t + C

Vì khi t = 0 thì P = 0 nên C = 0 Vậy mô hình về số lượng vi khuẩn là

P = 52, 87t2+ 2639, 3t

(b) Khi t = 24 thì

P = 52, 87.242+ 2639, 3.24 = 93796, 32 (con)

Vậy, sau 24 giờ số lượng vi khuẩn lên tới 93796,32 con

Ví dụ 3.1.21 Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi

dR

dx = 50 − 0, 02x +

100

x + 1,với x là số lượng hàng hóa đã bán, khi x = 0 thì R = 0 Tìm tổng doanh thu khi bánđược 2000 sản phẩm

Từ các kiến thức đã được học ở hình học phẳng, chúng ta biết diện tích là một số

đo bằng số của miền được giới hạn Với các hình đơn giản, như miền hình tam giác,miền hình chữ nhật, miền hình thang, tức là các miền giới hạn bởi các đoạn thẳng,hay miền hình tròn, chúng ta có thể tính diện tích bằng các công thức tính trong hìnhhọc

Ta cùng tìm hiểu một số ví dụ sau đây:

Ví dụ 3.2.1 (a) Tính diện tích S của miền tam giác giới hạn bởi các đường f (x) = 2x,

x = 0 và x = 2

(b) So sánh diện tích S và hiệu F (2) − F (0) với F (x) là nguyên hàm bất kỳ của f (x)trên đoạn [0, 2]

Hình 3.1:

3.2.1 Diện tích của hình thang cong và tích phân xác định

Định nghĩa 3.2.2 Cho hàm số f (x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a, b] Hìnhphẳng giới hạn bởi đường cong y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = bđược gọi là hình thang cong (Hình 3.2)

và f (x), cho x một số gia ∆x, diện tích của phần ứng với số gia ∆x ký hiệu là ∆A.Gọi f (m) và f (M ) tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f trênđoạn [x, x + ∆x]

Do đó A0(x) = f (x) vì F0(x) = f (x) ⇒ A(x) = F (x) + C Vì A(a) = 0 nên

C = −F (a) Vì thế A(x) = F (x) − F (a) ⇒ A(b) = F (b) − F (a)

Vậy diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f , trục hoành vàhai đường thẳng x = a, x = b được xác định bởi

A = F (b) − F (a)

Trong đó F (x) là một nguyên hàm bất kỳ của f (x) trên đoạn [a, b]

Định nghĩa 3.2.3 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu

F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân xácđịnh của f từ a đến b và ký hiệu là

b a

F (x) trong họ các nguyên hàm của f Thật vậy,

(3) Với định nghĩa tích phân xác định, diện tích A của hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị của hàm số y = f (x) (hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a, b]), trục hoành

0

+ x2− x

f (x)dx với f (x) liên tục trên [a, b]

Định lí 3.2.8 Giả sử phép đổi biến x = ϕ(t) thỏa mãn các điều kiện:

(1) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên [α, β];

π 2

π 2

8ln u

BÀI TẬP CHƯƠNG 3Bài 1: Tính các tích phân

Bài 2: Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được đobởi

dP

dt =

3000

1 + 0, 25t·Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày Khi t = 0 thì số vi khuẩn P = 1000.a) Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t;

b) Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày;

c) Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con

Bài 3: Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi

dR

dx = 50 − 0, 02x +

100

x + 1·Với x là số lượng hàng hóa đã bán

a) Tìm hàm doanh thu R biết khi x = 0 ⇒ R = 0;

b) Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm;

c) Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230$

Bài 4: Mức lương trung bình cho một người quản lý (S$) ở Mỹ được thay đổi với tỷ lệ

a) Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm

b) Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiêu?

Bài 5: Do sự cung cấp thiếu oxy nên cá hồi trong hồ đang bị chết dần Tỷ lệ thay đổicủa số lượng cá hồi trong hồ được đo bởi

dP

dt = −125e

−t

20

Với t là thời gian tính bằng ngày Khi t = 0 thì số cá hồi trong hồ là 2500

a) Viết phương trình mô tả số lượng cá hồi theo thời gian t;

b) Số lượng cá hồi còn là bao nhiêu sau 15 ngày

Bài 6: Một vườn ươm cây xanh thường bán một loại cây bụi sau 5 năm trồng và chămsóc Tỷ lệ phát triển của cây sau 5 năm được đo bởi

dh

dt =

17, 6tp17, 6t2 + 1·Với t là thời gian tính bằng năm, h là chiều cao của cây tính bằng cm Biết mầm câytrước khi đem ươm cao 6cm

a) Tìm hàm số mô tả chiều cao của cây;

b) Khi cây được đem bán thì chúng cao bao nhiêu?

Bài 7: Chi phí biên cho việc sản xuất x đơn vị sản phẩm được mô hình bởi

Chương 4

Phương trình vi phân

Khi dùng toán học để nghiên cứu những hiện tượng tự nhiên, xã hội hay hay trong

kỹ thuật thì không phải bao giờ hàm phải tìm y cũng liên hệ với biến độc lập x bằngnhững phương trình đại số hay siêu việt mà có khi sự liên hệ giữa chúng phức tạp hơnnhiều chẳng hạn bằng những hệ thức giữa x,y và các đạo hàm của y : y0, y00, , y(n).Những phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân Trong chương này,chúng ta sẽ tìm hiểu về một số loại phương trình vi phân và ứng dụng của chúng thôngqua những bài toán có ý nghĩa thực tế

4.1 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình

vi phân

Trong rất nhiều trường hợp, chúng ta không có thông tin để xác định hàm số mộtcách trực tiếp, nhưng chúng ta lại có thông tin về tốc độ tăng trưởng hay chính là đạohàm của hàm số Dựa vào đó, chúng ta có thể thiết lập một loại phương trình mớichứa thông tin về đạo hàm của hàm số cần tìm, gọi là phương trình vi phân Dựa vàoviệc giải phương trình vi phân, ta tìm được hàm số cần tìm Chẳng hạn, chúng ta cóthể sử dụng hàm tốc độ tăng trưởng của dân số (chính là đạo hàm của hàm dân số)

để dự đoán về dân số trong tương lai Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một vài

mô hình toán học từ thực tế cần đến phương trình vi phân để thiết lập bài toán.Bài toán 1: Dân số

Dân số của một quốc gia tại thời điểm t là P Tốc độ phát triển dân số tỷ lệ với sốdân ban đầu Hãy tìm hàm số mô tả mối quan hệ giữa số dân và thời gian

Giải: Ta có, tốc độ phát triển dân số chính là đạo hàm của hàm P theo thời gian t.Gọi k là tỷ lệ tăng dân số

Vì tốc độ phát triển dân số tỷ lệ với số dân ban đầu nên

Như vậy, để tìm được hàm số mô tả dân số theo thời gian P , chúng ta cần giảiphương trình vi phân (4.1).

Bài toán 2: Thu hoạch cá

Chúng ta xét bài toán điều tra những tác động của việc đánh bắt cá trên một quầnthể cá Giả sử rằng, nếu để tự nhiên, số lượng của quần thể cá tăng với tốc độ là 20%mỗi năm Giả sử thêm rằng, tốc độ đánh bắt cá của ngư dân ở quần thể này là 10 triệucon mỗi năm Xác định tốc độ thay đổi của quần thể cá theo thời gian

Giải: Gọi P là số lượng cá (tính bằng triệu con) của quần thể cá tại thời gian t (tínhbằng số năm) Ta đã được cho trước tốc độ tăng trưởng lượng cá của cả quần thể cátrong tự nhiên và tốc độ đánh bắt của ngư dân đối với quần thể cá này Suy ra, tốc độthay đổi của quần thể cá theo thời gian, dP

−

Tốc độ đánh bắtcủa ngư dân trênquần thể cá

Ta có: Tốc độ tăng trưởng lượng cá của cả quần thể cá trong tự nhiên

= 20% Số lượng cá hiện tại

= 0, 2.P (triệu con/năm),

và tốc độ đánh bắt của ngư dân trên quần thể cá = 10 (triệu con/năm)

Vậy suy ra, tốc độ thay đổi của quần thể cá theo thời gian là phương trình sau

dP

Giải phương trình vi phân (4.2), ta sẽ tìm được hàm mô tả số lượng của quần thể cá,

P , theo thời gian t

Bài toán 3: Lượng thuốc trong cơ thể người

Một bệnh nhân sau phẫu thuật được chỉ định dùng liều kháng sinh vancomycintiêm tĩnh mạch với tốc độ 85mg trên giờ Tỷ lệ mà thuốc được đào thải ra khỏi cơ thể

tỷ lệ thuận với số lượng hiện tại, với hằng số tỷ lệ là 0, 1 nếu thời gian tính bằng giờ.Viết phương trình vi phân mô tả lượng thuốc vancomycin, ký hiệu là Q(mg), trong cơthể sau t giờ

Giải: Lượng vancomycin, Q, đang gia tăng với một tốc độ không đổi 85mg/giờ và giảmmột tỷ lệ 0, 1Q Do đó ta có

Tốc độ thay đổi của lượng

kháng sinh vancomycin dQ

dt

= Tỷ lệ đưa vào − Tỷ lệ đào thải

Suy ra, ta có tốc độ thay đổi của lượng kháng sinh vancomycin trong cơ thể theothời gian t là

dQ

Giải phương trình vi phân (4.3), ta sẽ tìm được hàm mô tả lượng thuốc trong cơ thể,

Q, của bệnh nhân theo thời gian t