047 đề hsg toán 8 bến tre 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2) Tìm đa thức biết rằng chia cho dư 7, chia cho dư 3[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẾN TRE

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN LỚP 8

Bài 1 (4 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử  2   2  2

2) Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x  3dư 7, f x chia cho x 3dư 3,

 

f x chia cho x 2 9được thương là 2xvà còn dư

Bài 2 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng số A 20202 2020 20212 2 20212 là số chính phương

2) Chứng minh rằng số B 2 3n 1 2 3 1n 1

   chia hết cho 7

Bài 3 (4 điểm) Giải phương trình

1) x  x 1  4x x  x 1  5x

2) 3x 2 x 1 3x 8  16

Bài 4 (4 điểm)

a b b c b c c a c a a b

a b b c b c c b c a a b

2) Tính tổng            

P

Bài 5 (4 điểm) Cho hình vuông ABCDcó hai đường chéo ACvà BDcắt nhau tại O Trên cạnh ABlấy M MA MB và trên cạnh BClấy MON  90  Gọi E là giao điểm của ANvà DC, gọi Klà giao điểm của ONvà BE

a) Chứng minh MONvuông cân

b) Chứng minh MN/ /BEvà CK BE

Bài 6 (2 điểm) Đường phân giác của các góc tù ở một cạnh đáy của một hình

thang cắt nhau tại 1 điểm thuộc cạnh đáy kia Tính các cạnh của hình thang, biết chiều cao của hình thang bằng 12cm,các đường phân giác nói trên dài 15cmvà 13cm

ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm)

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x2  x 1 x2  3x 1x2

               

4) Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x  3dư 7, f x chia cho x 3dư

3, f x chia cho x 2 9được thương là 2xvà còn dư

Đặt biểu thức dư của phép chia f x cho x 2 9là ax b Vì f x chia cho x 2 9được thương là 2xnên : f x x2  9 2 ax b  1

Vì f x chia cho x  3dư 7 nên f x   x 3   A x 7(A x là một đa thức)

f

Vì f x chia cho x+3 dư 3 f x   x3  B x 3(B(x) là một đa thức)

f

Thay  2 vào (1) ta có :  2 

7  3  9 2.3 3  a b  3a b  7

Thay (3) vào (1) ta có :  

2

3  3  9 2.3 3   a b  3a b 3

 

2 3

* 3



  

Thay  * vào (1)    2  2 3 52

Bài 2 (4 điểm)

3) Chứng minh rằng số A 2020 2  2020 2021 2 2  2021 2 là số chính phương

Đặt a 2020  a  1 2021

2 2

2

         

Vậy Alà một số chính phương

4) Chứng minh rằng số B 2 3n 1 2 3 1n 1

   chia hết cho 7

 

3 1 2

3 1 3 1

2 n 2 n 1 2.8n 2 n 1

      chia 7 dư 2 , chia 7 dư 4 2.8n 4.8n1 1

Ta có : 8chia 7 dư 1 8 ,8n n1chia 7 dư 1

2.8n

 chia 7 dư 2, 4.8n

chia 7 dư 4 2.8n 4.8n1 1

   chia hết cho 7 Nên B chia hết cho 7

Bài 3 (4 điểm) Giải phương trình

1) x  x 1  4x x  x 1  5x

Đặt x2  x 12 a x, 2 b a  0,b 0

5 0

a b

 





2

2 2

1

x



     

*)a 5b 0,Do a 0,b  0 a 5b 0 Dấu bằng xảy ra khi

0 0

a b











 2 2

2

1 0( )

0 0

ktm

Ktm x

x







 



Vậy S  1

     

2

Đặt x12 a a 0 Ta có :

2 2

2

2

1

1

7 9

9 16

1

0

1 1

2

x x

a

x x

x



    













   





Vậy

1 7

; ;0; 2

3 3

S    

Bài 4 (4 điểm)

a b b c b c c a c a a b

a b b c b c c b c a a b

a b b c b c c a c a a b

a b b c b c c b c a a b

1

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a





4) Tính tổng            

P

Ta có :

           

( )( )

P

P

x y y z z x

cm cau a

x y y z z x



Vậy P 1

Bài 5 (4 điểm) Cho hình vuông ABCDcó hai đường chéo ACvà BDcắt nhau tại

O Trên cạnh ABlấy M MA MB và trên cạnh BClấy MON  90  Gọi E là giao điểm của ANvà DC, gọi Klà giao điểm của ONvà BE

K

N O

C

B A

M

c) Chứng minh MONvuông cân

Xét hình vuông ABCDcó Acắt BD tại O

( / )

2

OA OB OC OD t c







Ta có 180  AOCCON MON AON

90   NOC AOM  180   NOC MOA 90 

Mà 90  AOBAOM  BOM  NOCBOM

Xét ONCvà OBMcó:

( )

Mà MON 90   OMNvuông cân tại O (đpcm)

d) Chứng minh MN/ /BEvà CK BE

Xét ADEcó

 









Từ (1) suy ra NC MB

 

Từ (2) và (3) suy ra

NE MB Xét AEBcó :

 

Từ (4)  BKOMON(đồng vị) BKO 45 (vì MONvuông cân tại O)

1

45 2

Hay BKNOCN (với N là giao điểm của BC và OK)

Xét ONCvà BNKcó :

,

Xét ONBvà CNK có :

45

CKN

   (do

1

45 ) 2

45 45 90 ( )

Bài 6 (2 điểm) Đường phân giác của các góc tù ở một cạnh đáy của một hình thang cắt nhau tại 1 điểm thuộc cạnh đáy kia Tính các cạnh của hình thang, biết chiều cao của hình thang bằng 12cm,các đường phân giác nói trên dài

15cmvà 13cm

x

H

H'

Giả sử có hình thang ABCD với M là giao điểm của 2 đường phân giác, MH  12cm

là đường cao, AM 15 ,m BM 13cm AB CD / /  AD BC, là hai cạnh bên

Có AB CD/ / nên

Xét AMH vuông tại H có AH2HM2 AM2 AH2 152122  AH 9(AH 0) Xét BMH vuông tại H có BH2HM2 BM2  BH2  132 122 BH  5

14

Xét AH D' vuông tại H’ ta có :

2

2 9

x





7

9 12,5 2

Tương tự ta tính được BC MC 16,9cm CD MD MC  29, 4cm Vậy độ dài các cạnh của hình thang là

14 , 12,5 , 16,9 , 29, 4