Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O 1 và N là tiếp điểm thuộc O 2 a Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN.. Chứng minh rằng đường t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẾN TRE
ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (7 điểm)
a) Chứng minh rằng 8 7 6 5 4
A n 4n 6n 4n n chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên b) Cho biểu thức 2
2 2
x 3 12x
x
Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2
2y x x y 1 x 2y xy
Câu 2 (3 điểm)
Cho hàm số 2
y 2 x 6x 9 x 2 có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên
b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2
2 x 6x 9 x 2 m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2
2 x 6x 9 x
Câu 3 (2 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa:
2 2
2 2
y
x xy 2017 (1)
3 y
z 1009 (2) (x 0, z 0, x z) 3
x xz z 1008 (3)
Chứng minh rằng2z y z
x x z
Câu 4 (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE Vẽ đường tròn
O 1 đường kính AE và đường tròn O 2 đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O 1 và N là tiếp điểm thuộc O 2
a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB
b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, Vẽ đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD
Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 0
90 Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M (điểm M thuộc AC) Chứng minh
2
1 2
Trang 2ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 BẾN TRE 2016-2017 Câu 1
A n 4n 6n 4n n n n 4n 6n 4n 1 n(n 1)
Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n 1) 2 4 4
n n 1 2 16
Do đó A 16 với mọi n thuộc Z
+) Nếu x < 0:
B có giá trị nguyên khi x x U(3)
3 và x < 0 x 1
x 3
+) Nếu 0 <x 2 :
2
B có giá trị nguyên khi 3 x
x Ư (3) và x>2 x 3 Kết luận
2
2
2x 2x 3
khi x 0 x
2x 3
x 2x 2x 3
khi x 2 x
B có giá trị nguyên khi x 1; 3
2y x x y 1 x 2y xy x 1 x 2y y 1
x 0
y 1
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1)
Câu 2
y 2 x 6x 9 x 2 2 x 3 x 2
3x 4 nÕu x 3
Học sinh tự vẽ đồ thị
b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau: (D) 2
y 2 x 6x 9 x 2 (1)
Trang 3(D’): y=m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ
m Căn cứ vào đồ thị , ta có phương trình (*) vô nghiệm
(D) và (D’) không giao nhau m 5
Vậy m 5thì pt (*) vô nghiệm
c) Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu a, ta có : nghiệm của (1) là tập hợp hoành độ của các điểm (D) có tung độ y 2 , nên x 6
x 2
Vậy tập nghiệm của (1) là x 6 hoặc x 2
Câu 3
2 2
2
2
y
x xy 2017 (1)
3 y
z 1009 (2) (x 0, z 0, x z)
3
x xz z 1008 (3)
Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta có: 2 2
x xy z 1008(4) Trừ (3) và (4) vế theo vế ta có: 2 2
xz xy 2z 0 xz 2z xy 2
2xz 2z xy xz 2z(x z) x(y z)
2z y z
x x z
Điều phải chứng minh
Câu 4
D
C
O
F
O2 O1
M
N
Trang 4a) MN là tiếp tuyến chung của O 1 và O 2 nên MN O M;MN1 O N2 O M / /O N1 2
0
MO E NO E 180
1
O AM
cân tại O1 suy ra MO E1 2O AM1
2
O BN
cân tại O2 nên NO E2 2O BN2
MO E NO E 2 O AM O BN
O AM O BN 90 MFN 90
AME BNE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0
EMF ENF 90
suy ra MENF là hình chữ nhật MEF NME
Mà O EM1 O ME1 ( O ME1 cân tại O )1 và 0
1
NME O ME 90 (MN là tiếp tuyến) 0
1
MEF O EM 90
hay EF AB tại E
b) Ta có AB = 18 cm, AE = 6 cm EB 12 cm,OF 9cm
AFB
vuông tại F có đường cao EF nên 2
EF AE.EB 6.12 72 EF 6 2 (cm)
MN EF 6 2 (cm)
Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF, OF với MN
Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên có NMF NEF mà NEF=ABF (cùng phụ góc BEM) NMF ABF (1) FNM FAB
Ta lại có OAF cân tại O suy ra OAF = OFA (2)
OAF ABF 90 (3)
NMF OFA 90 MIF 90
FNM
đồng dạng tam giác FAB và có FI, FE là hai đường cao tương ứng nên
FI 4 cm OI OF FI 9 4 5cm
EF AB 6 2 18
OID
vuông tại I có 2 2 2 2 2
ID OD OI 9 5 56 ID 2 14 (cm)
Vì OF CD tại I nên CD 2.ID 4 14 (cm)
Câu 5
Trang 5 cân tại A nên AB = AC
Ta có
2
Ta cần chứng minh: 2
BC 2AC.MC
BC BM MC AB AM AC AM
2
2AC 2.AC.AM 2AC.(AC AM) 2.AC.MC
M A