031 đề hsg toán 8 hà trung 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của biểu thức b[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của biểu thức Pbiết x  2 3 0 

c) Tìm giá trị của xđể biểu thức P đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Phân tích các đa thức thành nhân tử :

3

a x  x

b a b c  abc

2) Xác định đa thức f x  biết f x  chia cho x 1dư 4 và chia cho x2 x 2được thương là 5x2

Bài 3 (5,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên kđể 2k 24 27

  là số chính phương 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2   1 x x2x3x4

3) Giải phương trình

2

x



Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác đều ABC Gọi O là trung điểm của BC.Trên cạnh

ABvà AClần lượt lấy các điểm di động Mvà N sao cho MON60 Chứng minh rằng :

1) OBM∽ ONCtừ đó suy ra tích BM CN không đổi

2) Các tia MO NO, lần lượt là tia phân giác của BMN,CNM

3) Chu vi tam giác AMNkhông đổi

Bài 5 (1,0 điểm)

1) Cho a b, là các số không âm Chứng minh rằng a b 2 ab

2) Cho các số x y, thỏa mãn xy0 Chứng minh rằng :

   

4

3 1

x

x y y

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

P

d) Rút gọn biểu thức P

 

 

3







e) Tìm giá trị của biểu thức Pbiết x  2 3 0 

 

 

2 2

5( )

2 3

4

5

x tm A x

x







f) Tìm giá trị của xđể biểu thức P đạt giá trị lớn nhất

4

x

P

Vậy maxP 1 x1(ktm)

Vậy P không có giá trị lớn nhất

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Phân tích các đa thức thành nhân tử :

3

3

b a b c abc a b c ab a b abc

a b c a b a b c c ab a b c

a b c a b ab ac bc c ab

a b c a b c ac bc ab

4) Xác định đa thức f x  biết f x  chia cho x  1dư 4 và chia cho x2 x 2được thương là 5x2

Gọi A x B x ,   là các đa thức sao cho f x   x1  A x 4, f x   x2  B x 1

Khi đó

           

           







           

         

             

3

x f x x x A x B x x

f x x x A x B x x

A x B x



Theo bài ra khi chia f x  cho x2 x 2x1 x2 ta được thương là 5x2nên

    5

3

A x B x

x





Khi đó  * trở thành : f x   x1 x2 5 x2 x 3 Vậy f x  5x x2 1 x2 x 3

Bài 3 (5,0 điểm)

4) Tìm số tự nhiên kđể 2k 24 27

  là số chính phương

Gọi a  sao cho 2k2427 a2  2k16 128 a2

Đặt a12 2 , m a12 2 nm n  và m n k 

n m







Do đó k n m    5 3 8

Vậy với k 8thì 2k 24 27

  là một số chính phương.

5) Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2   1 x x2 x3x4

 

2

x  x  x  x   x

Do 2x2x2

và 2x2 x 22

là số chính phương

Nên

2 2

y x x

y x x





Với 2y2x2 x 1thay vào (*) ta được :

 

2

2

Với 2y2x2 x 2, thay vào (*) ta được :

2

Vậy x y ;   0;1 ; 1;1 ; 3;11      thỏa mãn yêu cầu bài toán

6) Giải phương trình

2

x



   

   

   

   

 

2

2

0

x

x

x







       

   

2

2 2

10

0

0

x

x x















Vậy phương trình có tập nghiệm S  0

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác đều ABC Gọi O là trung điểm của BC.Trên cạnh ABvà AClần lượt lấy các điểm di động Mvà N sao cho MON 60 Chứng minh rằng :

K H

A

B

M

N

4) OBM∽ ONCtừ đó suy ra tích BM CN không đổi

ABC

 đều  ABCBACACB60

Lại có MON MOB NOC180  MON NOC120

Xét OBM và ONCcó : NOCOMB60 , OMBNOC cmt( )

OBM ONC g g

OC NC

2

BC

BM CN OB OC BC BC

(không đổi)

5) Các tia MO NO, lần lượt là tia phân giác của BMN,CNM

OBM ONC cmt

(O là trung điểm BC) Xét MBOvà MONcó:

 

OM ON

Do đó MBO∽ MON c g c . 

BMC OMC

   (hai góc tương ứng)

Hay MOlà đường phân giác của BMN

*Chứng minh ONlà phân giác của CMNtương tự

6) Chu vi tam giác AMNkhông đổi

Kẻ OH AB H AB OK, AC K AC OI, MN I MN  

Do O nằm trên tia phân giác của BMN,MNC

OH OI OK MH MI MHO MIO NK NI NKO NIO

Có :

AMN

C AM AN MN AM AN MI IN

AM AN MH NK Do AH AK

Chu vi AMNkhông đổi do AH không đổi

Bài 5 (1,0 điểm)

3) Cho a b, là các số không âm Chứng minh rằng a b 2 ab

2

a b  ab  a b  ab a b

 2

       (luôn đúng)

Vậy a b 2 abnếu a b , 0

4) Cho các số x y, thỏa mãn x y0 Chứng minh rằng :

   

4

3 1

x

x y y

Do

0 0

1 0

x y

x y

y



 



1 1

   2  

4

1

x y y

Dấu bằng xảy ra

2

0 1

do x y y

y









Vậy    

2

4

3 1

x

x y y

  với mọi x y0

Dấu bằng xảy ra tại x2,y1