Câu 5 7 điểm: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF.. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N.. ĐỀ CHÍNH THỨC... +
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
Cho biểu thức
x 1
−
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A > -1
Câu 2 (5 điểm):
Giải các phương trình sau:
a) x 2012 x 2011 x 2010 x 1 x 2013
8
x 3x 2 x+ 5x 6 x+ 7x 12 x+ 9x 20 =
Câu 3 (2 điểm):
Xác định a và b để đa thức 4 3 2
f (x) x= −9x +21x +ax b+ chia hết cho đa thức 2
x − −x 2
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho phương trình 1 21a 1 3a
x 7
+ (a là tham số) Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm
Câu 5 (7 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N
a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh rằng: · 0
MKN 90= c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Câu 6 (1,5 điểm):
Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
= + ÷ + + ÷
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị số 1 Giám thị số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán 8 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
(2 điểm)
ĐKXĐ: x 0, x 1, x≠ ≠ ≠ −1
a) Rút gọn được:
2
x 1 A
x 1
+
= +
0.25 1 b) Để A> −1 thì
+ > − ⇔ + + >
Do đó x2+ +x 2 và x 1+ phải cùng dấu
mà
2
+ + = + ÷ + >
nên x 1 0+ > ⇔ > −x 1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x> −1, x 0, x 1≠ ≠ thì A > -1
0.25
0.25
0.25
Câu 2
(5 điểm) a)
x 2012 x 2011 x 2010 x 1 x
2013
x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013
0
2 3 2012 2013
2 3 2012 2013
x 2013 0
x 2013
⇔ =
Vậy tập hợp nghiệm của pt là S {2013}=
0.75 0.5 0.25
0.5 0.25
8
x 3x 2 x+ 5x 6 x+ 7x 12 x+ 9x 20 =
ĐKXĐ: x≠ −1, x≠ −2, x ≠ −3, x≠ −4, x ≠ −5
(1)
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) 8
0.25 0.5 0.5
Trang 3(x 3)(x 9) 0
x 3
⇔ = (thỏa mãn) hoặc x = − 9 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của pt là S { 9, 3}= −
0.5 0.5 0.25
Câu 3
(2 điểm)
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 − −x 2 là P(x)
Để đa thức f(x) chia hết cho P(x) thì ta phải có:
x −9x +21x +ax b (x+ = − −x 2).P(x) đúng ∀x
hay x4−9x3+21x2+ax b (x 2)(x 1).P(x)+ = − + đúng ∀x (1)
Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên
Với x = 2, ta có:
2 −9.2 +21.2 +2a b 0+ =
2a b 28
Với x = -1, ta có:
( 1)− − −9.( 1) +21.( 1)− − + =a b 0
b a 31
Thay (3) vào (2) có: 2a a 31+ − = −28
a 1
⇔ =
b 1 31 30
⇒ = − = −
Vậy với a 1
=
= −
thì f(x) chia hết cho
2
x − −x 2
0.25
0.5 0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu 4
(2.5
điểm)
ĐKXĐ: x≠ −7
Biến đổi pt về dạng: (1 3a)x− = −6 (2)
- Nếu a 1
3
= thì pt (2) có dạng 0x= −6 (vô lí)
⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt đã cho VN
- Nếu a 1
3
≠ thì pt (2) là pt bậc nhất một ẩn
⇒ pt (2) có nghiệm duy nhất x 6
3a 1
=
−
Để x là nghiệm của phương trình đã cho thì 6 7 a 1
−
Để pt có nghiệm âm thì x 0 6 0
3a 1
−
3
> ⇒ − < ⇔ <
Vậy với a 1,a 1
< ≠ thì pt đã cho có nghiệm âm
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 0.25 0.5 0.25
Trang 4Câu 5
(6,5
điểm)
0.5
a) Vì ABCD là hình vuông
AB / /CD AB / /CN,AB / /ND
mà
⇒
Vì AB//CM CM CE (2)
Vì AB//DN AB AF (3)
0.5 0.5 0.75
b) Theo câu a, ta có: CM AB CM AD (
Do đó∆CMB: ∆DAN (c.g.c)⇒CMB DAN· =· (4)
Mà DAN AND 90 (· +· = 0 Vì DADN vuôn∆ g tai D) (5)
Từ (4)(5) · · 0
CMB AND 90
Do đó MKN 90· = 0
0.5 0.5
0.5 0.5 c) Áp dụng BĐT côsi ta có
2
DN CM+ ≥2 DN.CM =2 a =2a Vìa 0)( >
VìCD
ha
3a
y MN
(
3a
≥
≥
Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a Khi đó CE AF CM a 1
BE= FD = AB = =a
hay CE BE
AF FD
=
Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ dài nhỏ nhất
là 3a
0.5 0.5
0.5
0.5
Câu 6
(1,5
điểm):
Ta có
2 2
A= +1 + +1
Trang 52 2
2 2
2 2
8 4
Vì x, y > 0 y 0, x 0
⇒ > > nên áp dụng BĐT cô si ta có:
2
y+ x ≥2 y x =
2
y +x ≥2 y x =
A 8 4.2 2 18
Dấu "=" xảy ra khi x y x y 1
=
+ =
Vậy minA =18 khi x y 1
2
= =
0.25
0.25 0.25
0.25
Chú ý:
+ Điểm toàn bài không làm tròn.
+ Nếu học sinh làm cách khác nếu đúng cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm.