047 đề HSG toán 8 lập thạch 2011 2012

2 BM CN AP BM BC = CA = AB BC < Chứng minh rằng hai tam giác ABCvà MNPcó cùng trọng tâm... Nên tồn tại một đa thức q x sao cho... Gọi I K, là trung điểm của MQ và MN.

PHÒNG GD – ĐT

HUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Năm học: 2011-2012

Bài 1 (4 điểm)

1 Cho

,

x y

thỏa mãn y x y( + ) ≠0

và

2 2 2

x −xy= y

Tính

3x y A

x y

−

= +

2 Tính ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1

1 1 1 2 2 1 3 3 1 99 99 1

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm a b, sao cho f x( ) =ax3+bx2 +10x−4

chia hết cho đa thức

2

g x =x + −x

2) Tìm số nguyên a

sao cho

4 4

a +

là số nguyên tố

Bài 3 (3 điểm)

Giải phương trình:

5

2

x x + x = −

Bài 4 (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD có góc

· 60 0

ABC=

Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia

BC sao cho BE

bằng ba phần tư BC, AE cắt CD tại F Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CGsong song với FH

1) Chứng minh rằng :

2 3

4

BG DH = BC

2) Tính số đo góc GOH

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC, ba điểm M N P, , lần lượt thuộc các cạnh BC CA AB, , sao cho

1

&

2

BM CN AP BM

BC = CA = AB BC <

Chứng minh rằng hai tam giác ABCvà MNPcó cùng trọng tâm

Bài 6 (2 điểm)

Cho các số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện

2 2 2 1

x + y +z =

Chứng minh rằng:

y z + z x + x y ≥

ĐÁP ÁN Bài 1.

1) Từ

0

0

x y

y x y

y

+ ≠





x −xy= y ⇔ ⇔ x y x+ − y =

Vì x y+ ≠0

nên x−2y= ⇔ =0 x 2y

Ta có:

y y y A

y y y

−

+

2) Với n≥1,

ta có: ( ) ( ( ) ) ( )

2 2

1

1

n

n

n n

+

Áp dụng vào bài toán ta có:

1 2 2 3 99 100 100 10000

Bài 2.

1) Ta có: g x( )=x2 + − =x 2 ( x−1) (x+2)

Vì

f x =ax +bx + x−

chia hết cho đa thức g x( ) = x2 + −x 2

Nên tồn tại một đa thức

( )

q x

sao cho

( ) ( ) ( )

f x =g x q x

( ) ( ) ( )

Với x= ⇒ + + = ⇒ = − −1 a b 6 0 b a 6

(1) Với

2 2 6 0 (2)

x= − ⇒ a b− + =

Thay ( )1

vào ( )2

ta có: a=2 &b=4 2) Ta có: a4 + =4 (a2 −2a+2) (a2 +2a+2)

Vì

a c∈ ⇒a − a+ ∈c a + a+ ∈c

Có 2 ( )2

a + a+ = a+ + ≥ ∀a

Và 2 ( )2

a − a+ = a− + ≥ ∀a

Vậy

4 4

a +

là số nguyên tố thì

a + a+ =

hoặc

a − a+ = Nếu

a − a+ = ⇒ =a

thử lại thấy thỏa mãn Nếu

a + a+ = ⇒ = −a

thử lại thấy thỏa mãn

Bài 3.

Điều kiện x≠ −2

Với x=0

không phải là nghiệm của phương trình :

5

2

x x + x = −

Với x≠0

phương trình

5

2

x x + x = −

trở thành:

( )

2 *

4

Đặt

4 2

y x

x

= + +

phương trình ( )*

trở thành:

2

y + y = −

Điều kiện :

2

y ≠ ±

Phương trình trở thành:

( )

3

y

y

=



Với y=0

thì

2 4

x

Với y = −3

thì

( ) ( )

4

4

x

x x

= −



Vậy tập nghiệm phương trình là S = − −{ 1; 4}

Bài 4.

1) Chứng minh ∆BCG: ∆DHF . .

BC BG

BC DF DH BG

DH DF

Theo định lý Ta let tính được:

2

DF = DC = BC⇒BG DH = BC

2) Theo định lý Pytago tính được:

4

BO = BC −CO = BC BG DH BO2 BO2 BO DO BG BO

DO DH

Ta có

· · 30 0

GBO HDO= =

Nên

· 300

BGO DOH GHO

Bài 5.

Qua N kẻ NQ/ /AB Q AB( ∈ )

, theo định lý Talet ta có:

( )

BC = CA ⇒ BC = BC ⇒ =

( )

AB = CB ⇒ AB = AB⇒ =

Gọi I K, là trung điểm của

MQ

và MN Suy ra IK

là đường trung bình của tam

giác MNQ

, vậy

IK QN IK = ⇒IK AP IK =

Gọi G là giao điểm của AI

và PK , theo Ta let ta có:

1 2

GI GK KI

GA= GP = PA=

Suy ra Glà trọng tâm của tam giác MNPvà G là trọng tâm của tam giác ABC

Bài 6.

Ta có:

Lại có : ( ) (2 ) (2 )2 2 2 2

0

x y− + y z− + −z x ≥ ⇒x +y + ≥z xy yz zx+ +

Nên ta có:

xy yz xz x y z

y z + z x + x y + + + ≥ + +

y z z x x y

Dấu bằng xảy ra khi

1

x y z= = =