026 đề hsg toán 8 nghi lộc 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán Năm học 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì c[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn Toán _ Năm học 2022-2023 Bài 1.(4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số

hàng chục là chữ số lẻ

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A x 3 9x2 26x 24

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng biểu thức A 75 4 2017  4 2016  4  2  5 25

chia hết cho 4 2018

b) Cho x y z, , là ba số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 yz a y ; 2 xy b

2

z  xy c thì tổng ax by cz   chia hết cho tổng a b c  

Bài 3 (5,0 điểm)

a) Tìm a b, biết

a

a b ab

b

  

và b khác 0 b) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy 4x35 5 y

c) Cho x y 1;x3y3 a x; 5y5 b.Chứng minh rằng 5a a 1 9b1

Bài 4 (6 điểm)

Cho hình thang ABCDcó đáy lớn CD.Qua A vẽ đường thẳng AKsong song với BC

K CD  Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD I CD  .BI cắt ACở F, AKcắt BD

ở E

a) Chứng minh EFsong song với AB

b) Chứng minh AB2 CD EF.

c) Cho biết ADC  2 ACD Tính ACtheo AD và CD

ĐÁP ÁN Bài 1.(4,0 điểm)

c) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ

số hàng chục là chữ số lẻ

Vì M là số chẵn chính phương nên M 4suy ra ab 6 4hay a00 b6 4

Mà a 00 4nên b 6 4, khi b chẵn thì 6không chia hết cho 4

Suy ra b là số lẻ

d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A x 3 9x2 26x 24

2

Vậy Ax2 x3 x4

Bài 2 (5,0 điểm)

c) Chứng minh rằng biểu thức A 75 4 2017  4 2016  4  2  5 25

chia hết cho 4 2018

Đặt 42017 42016 4  2  4 1 B Ta có:

2018 2017 3 2

2018 2018

3

B



Thay B vào A ta có: A 75 4 2018  1 : 3 25 25.4   2018  4 2018

Vậy A chia hết cho 4 2018

d) Cho x y z, , là ba số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 yz a y ; 2 xy b

2

z  xy c thì tổng ax by cz  chia hết cho tổng a b c  

Ta có :

3

Vậy ax by cz   a b c  

Bài 3 (5,0 điểm)

d) Tìm a b, biết

a

a b ab

b

  

và b khác 0

 *

a

a b ab

b

  

Từ

 

0

1

a

b









 



Khi a0,b1thay vào (*) đều không thỏa mãn

Khi b 1thay vào (*) ta có  

1

2

a  a a  a

Vậy

1

2

a b

e) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy 4x35 5 y

Ta có :

Vì





 Để x5 y 4 15 15x5 x5  5;15

Khi x  5 5 y 4 3  x0,y7

Khi x 5 15 y 4 1  x10,y5

Vậy cặp nghiệm của phương trình là 0;7 , 10;5  

f) Cho x y 1;x3y3 a x; 5y5 b.Chứng minh rằng 5a a 19b1

Ta có :

2 2

Ta có  5 5

9b  1 9 x y  1

2

Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh

Bài 4 (6 điểm)

Cho hình thang ABCDcó đáy lớn CD.Qua A vẽ đường thẳng AKsong song với BC

K CD  Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD I CD  .BI cắt ACở F, AKcắt

BD ở E

I K

F E

d) Chứng minh EFsong song với AB

Ta có DI AB CK  DK CI

(áp dụng hệ quả Talet với AB CI/ / )

Do đó

EB BF

ED FI hay EF / /DI suy ra EF/ /AB(vì DI//AB)

e) Chứng minh AB2 CD EF.

Ta có :

CI FI

AB FB(vì AB CI/ / ) 1 1  1

Mà EF/ /DInên

EF FB BI DI

DI BI  FBEF Lại có  2

BI DI AB

DI AB

FB EF EF

Từ (1) và (2) suy ra

f) Cho biết ADC  2 ACD Tính ACtheo AD và CD

α α

α c

a

x

N

M A

B

C

Đăt AM x MC, y AC d AB c BC a,  ,  , 

Ta có DM là tia phân giác của Bnên

AM AB

MC BC hay  3

Tương tự MNCvuông tại N có cos 2cos  4

y

Thay (4) vào (3) ta có 2 cos

c x





Lại có : 2cos 2cos 2 cos

AC d x y



Vậy 2cos

a c

AC





