De HSG toan 8 cuc hay co dap an chi tiet

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán 8 Đ ề 1 TRƯỜNG THCS BẮC SƠN I Mục tiêu : Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh.. Phân loại được đối tượng học sinh.. Phát hiện

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán 8 ( Đ ề 1) TRƯỜNG THCS BẮC SƠN

I) Mục tiêu :

Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh Phân loại được đối tượng học sinh Phát hiện được học sinh có kiến thức, năng lực để chọn đội tuyển chuẩn bị cho kỳ thi cấp tỉnh

II) MA TRẬN

Chủ đề Cấp độ nhận thức điểm

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng cấp độ

thấp

cấp độ cao

I )Biến đổi

đồng nhất

biểu thức

hữu tỉ

Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử,bằng phương pháp đăt ẩn phụ ; tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến

Số câu

Điểm

2 4

2 4 II)Chứng

minh chia

hết

K ỹ năng vận dụng các tính chất chia hết; các phương pháp chứng minh chia hết

Số câu

Điểm

1 1,5

1 1,5 III)Đa thức

chia hết

Kỹ năng vận dụng các tính chất chia hết của đa thức; kỹ năng phân tích thành nhân tử

Số câu

Điểm

1 2

1 2 IV)Số lũy

thừa

Ước của một số nguyên tố;

kỹ năng phân tích thành nhân tử

Số câu

Điểm

1 2

1 2 V)Phương

trinh

bất phương

trình

Kỹ năng giải phương trình đưa về phương trình bậc nhất

1 ẩn; giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Số câu

Điểm

2 3

2 3 VI)Cực trị

đại số

Kỹ năng vân dụng bất đẳng thức phụ và đặt ẩn phụ trong bài toán cực trị

Điểm 1,5 1.5 chứng

minh tính

chất các

hình

Kỹ năng vận dụng định lý Ta let; tính chất đường phân giác; tam giác đồng dạng; kỹ năng biến đổi tỉ lệ thức

Số câu

Điểm

3 6

3 6

20

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (ĐỀ 1)

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6

b, Cho x  Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1

Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và

x

1

+

y

1

+

z

1

= 3

Tính giá trị của biểu thức P = 2 2 2

1 1 1

z y

x  

Câu 3: (3đ) Tìm x biết

a, 3  x 2 < 5x -4

b,

57

43



x

+

54

46



x

=

48

52 51

49 



x

Câu 4: (3đ)

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3

 9 với mọi n N*

b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

y x

z x

z

y z

y

x











Bài 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia

HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

BE theo m AB

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

BC AH HC

Bài 6: (2 đ)

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ

có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN

1

Câu1(4đ)

a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1

 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)

=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +

(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

 A chia hết cho x4 + x2 + 1

.1đ 1đ 1đ

1đ

Cau 2 :

(2đ

Có (1 1 1)2

z y

x  = 12 12 12

z y

1 1 1

yz xz

xy  

( 3 ) 2= p + 2zxyz yx vậyP+2=3

suy ra P = 1

0.75đ 0,75đ 0.5đ

Câu 3:

(3đ)

giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4

làm đúng được x> 3

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

(x+100)(

48

1 51

1 54

1 57

1





 ) = 0  S =  100

1đ 0.5đ 1đ 0.5đ

Câu 4:

3đ

a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)

=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)

Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên

liên tiếp )

3(n+1) chia hết cho3  B chia hết cho 3  A =3B chia

hết cho 9

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z = a2bc

 x =

2

c b

a 



; y =

2

c b

a 

; z=

2

c b

a 

P =

c

c b a b

c b a a

c b a

2 2

2



















= ) 1

1 1

( 2

1

c

b c

a b

c b

a a

c a

b

















0.5đ 0,5đ

0,5đ

0.5đ

)) (

) ( ) ( 3 ( 2

1

b

c c

b c

a a

c b

a a

b













2 3

Min P =

2

3 ( Khi và chỉ khi a=b=c  x=y=z 1đ

Câu 5:

(2đ)

+ Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra:BEC=ADC  135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H

theo giả thiết)

Nên AEB 45 0do đó tam giác ABE vuông cân tại A

Suy ra: BEAB 2 m 2

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,5 đ

b)

BC  BC  AC (doBEC~ADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BC  AC   AC AB BE (do ABH Đồng dạng CBA)

Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)

suy ra: BHM  BEC 135 0  AHM  45 0

0,5đ

1đ

0,5đ C)

2đ

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác

góc BAC

Suyra: GB AB

GC AC ,

vìABC~DEC nên AC AB DC ED HC AH HC HD (DE//AH)

GC HC GB GC HD HC  BC AH HC

1đ

1đ Câu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)

Vì p là số nguyên tố nên:

Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)

Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1

Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)

chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác

1đ 0,5đ

0,5đ Lưuý: Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa

Người ra đáp án: Nguyễn Văn Bằng