Phuong trinh vi phan cap 1

 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng..  Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.Định nghĩa:

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)

 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

là hàm y=φ(x,c))

Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và

y’(x) là đạo hàm của nó

 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c) một giá trị cụ thể được gọi là

nghiệm riêng

 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm

kỳ dị

y dy

(*)

c) x

y c)

x y

Đây là nghiệm tổng quát

Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị

2 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo

) sin( x c)



y '  

0 : 



x

dx y

dy

0,

lnln

Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c)=2

Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2

là y=2.x

3 Các loại phương trình vi phân cấp 1

c) y

2 2

c Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến

 Phương trình dạng: y’=f(y)

dx y

y y

2

1 '   

2

1 )

2

1

y

VD: Tìm nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện

y

y dx

dy y

2

1 '    

) 1 :

1 )

1





y

Từ điều kiện đầu

Vậy nghiệm của bài toán là

Trường hợp: không thỏa điều kiện đầu

c) x

0 )

(

) ( )

(

(

)

1 y f x g

0 )

(

)

( )

(

) (

1

2 2

y g

y

g dx

x f

x f

của phương trình.

0 )

(

2 x 

f

0 )

(

1 y 

g

 Nếu

riêng của phương trình

tại x=a thì x=a là 1 nghiệm

 Nếu tại y=b thì y=b là 1 nghiệm

0 )

1 ( )

1 (  y2 dx  y  x2 dy 

x

0 )

1 ).(

1 (  x2  y2 

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

Vì

) 1

).(

1 (  x2  y2

0 1

y

y dx

x x

ta được phương trình tách biến:

chia 2 vế phương trình cho

c) y

x   



 1 2 ln( 1 2) 1 2 ln( 1 2)

* 2

2

2 ).( 1 ) 1



dx y

dy

xy2   (  1 )

0 )

1 ( y  

x

) 1 (  y

y y

1

2



) (

c) by

y x

y ' 2 

2 '

z   

Trường hợp ta có:

Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với

x

e c) y

2    



2 2



 y c) ex x

2 2

z  2 



x

e c)

z   2 



) ( ' f x y

y 

' '

x y u xu u

y x

f

xu '  ( ) 

Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:

'   

x

y e

y y x

' '

x y u xu u

y x

y

1 '

1 '      

 xu eu u xu euu

VD1: Tìm nghiệm của phương trình:

c) x

e x

du

u

1

0 )

2 ( x  y dx  xdy 

) 0 :

( 2



' '

u  '  1  2

) 0 1

c) x

) ( )

( ' P x y Q x

0 )

0 )

Q

) ( )

] ).

x y

y '  cos  sin cos

b Cách giải:

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

] ).

]

cos sin

1 (sin

cos sin

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

x

y x

y

cos 1

tg

Áp dụng công thức nghiệm

] ).

cos 1

x y

sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là

; ).

( )

( '  P x y  Q x y  

)

(x z

Sau khi tìm được ta lại thay vào.

x y

x

y

2

2 1 '   2

' 2 '

1 '

] [

z  



x z

) 2

( 2

0 )

1 ln

2 (

xy

2

ln 2

x x x

y

y  

VD2: Giải phương trình

) 0 :

(

1

1 1

Đây là phương trình Bernouli với α =2

Đặt

z '  1   2 ln



Nhân 2 vế phương trình đầu với ta được:

(đây là phương trình tuyến tính cấp 1)

2

' '

y

y

z  



] 2

ln 2 [ )

x

x x

x x

Trường hợp thỏa mãn phương trình đầu

tiên ta nhận được nghiệm này

z

nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãn điều kiện

0 )

, ( )

,

P

) , ( ),

, ( x y Q x y P

D y

x x

Q y

( y x U

 dU  P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy

3.5 Phương trình vi phân toàn phần

Ở đây: cùng các đạo hàm riêng của

Khi đó: thỏa

a) Dạng:

dy y

x Q dx

y x P y

x

dU ( , )  ( , )  ( , )

b) Cách giải:Vì

Q y

U P

(' )

) , (

( P x y dx c) y Q x y y

Q y

' y

) ,

, ( )

, ( )

,

dU

c) y

0 )

3 (

) 1

P

VD1: Giải phương trình vi phân:

Vì nên đây là phương trình vi

phân toàn phần

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

3

1

y x

Q y

U

y x

P x

U

Do đó:

) ,

( x y x2 xy x c) y



3 )

( '   2 

( '   2 

 c) y y

1

3

3 3

) ( y y y c) c)    



1

3 2

3 3

2

) ,

( x y x y xy x y c)

Vậy:

) ,

2 1

3 2

3 3

x xy

y

3 2

3 2

Nghiệm của bài toán là:

0 )

( )

1 ( x  y  dx  ey  x dy 

P

VD2: Giải phương trình vi phân

Vì nên đây là PT vi phân tòan phần

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

1

x e

Q y

U

y x

P x

) ,

y c)

x y

) (

) (

( x y x xy x e c)

2 1

x xy

không là phương trình vi phân toàn phần nhưng

có hàm

0 )

, ( )

,

P

) ,

H

) ,

H

0 )

, ( )

, ( )

, ( )

,

H

) ,

là phương trình vi phân toàn phần

được gọi là thừa số tích phân

Nói chung không có phương pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân Ta chỉ xét 2 trường hợp đơn giản nhất:

0 2

sin )

sin ( x2  2 y dx  x ydy 

y x

x

Q y

(

x

e x

H   x dy 

Do đó thừa số tích phân là

0 2

sin

1 )

sin (

x x

là phương trình vi phân toàn phần

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

0 )

sin (

) 1 cos

( y2 x  dx  y x  x y dy 

VD2: Giải phương trình vi phân

x

y x

sin (

1 )

1 cos

y y

dx x

y y

c) y

x x

y sin  

là phương trình vi phân toàn phần

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

