Phương trình vi phân cấp 1

Ch ng 4 ươ PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1ƯƠ Ấ 1 Đ nh nghĩa ị Ph ng trình vi phân c p 1 t ng quát có d ng ươ ấ ổ ạ F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) • Nghi m t ng quátệ ổ c a ph ng trình vi phân c p ủ ươ ấ 1[.]

Ch ươ ng 4: PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 Ấ

1.Đ nh nghĩa: ị

Phương trình vi phân c p 1 t ng quát có d ng ấ ổ ạ

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)

• Nghi m t ng quátệ ổ c a phủ ương trình vi phân c p ấ

1 là hàm y=φ(x,c)

đây

Ở : x là bi n đ c l p, ế ộ ậ y(x) là hàm ch a bi t ư ế

và y’(x) là đ o hàm c a nóạ ủ

• Nghi m b t kỳ nh n đệ ấ ậ ượ ừc t nghi m t ng quát ệ ổ khi cho h ng s ằ ố c m t giá tr c th độ ị ụ ể ược g i là ọ nghi m riêng.ệ

• Nghi m c a phệ ủ ương trình vi phân c p 1 nh ng ấ ư nghi m này không nh n đệ ậ ượ ừc t nghi m t ng ệ ổ quát cho dù c l y b t kỳ giá tr nào đấ ấ ị ược g i là ọ nghi m kỳ dệ ị

1

2

1

dx

dy

VD: Xét phương trình vi phân c p 1 ấ

Ta có:

) 1 :

(

−

y dy

(*)

c x

y c

x y

−

Đây là nghi m t ng quátệ ổ

Trường h pợ : y=±1 th a phỏ ương trình (*) nên cũng là nghi m c a phệ ủ ương trình vi phân này

nh ng chúng không nh n đư ậ ượ ừc t nghi m t ng ệ ổ quát nên là nghi m kỳ dệ ị

2 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghi m c a ệ ủ

phương trình vi phân c p 1 ấ y’=f(x,y) th a ỏ đi u ề

ki n ban đ u ệ ầ y(xo) = yo

) sin( x c

⇒

y

y ' =

x

y dx

dy

y ' = =

0 : ≠

=

x

dx y

dy

0 ,

ln ln

⇒

=

x

dx y

dy

0 ,

=

⇒ y c x c

VD: Xét bài toán Cauchy

Ta có:

th a ỏ y(1) = 2

T đi u ki n đ u ừ ề ệ ầ y(1)=2 ta gi i đả ược c=2

V y nghi m c a bài toán th a đi u ki n đ u ậ ệ ủ ỏ ề ệ ầ

y(1)=2 là y=2.x

x

y x

x

y

Q

; cos

2

∂

∂

y

P x

Q y

P

1

=

∂

∂

−

∂

∂

y

e x

H ( ) = −∫ 1y dy = 1

Ta có:

V y đây không ph i là phậ ả ương trình vi phân toàn ph n.ầ

Do đó th a s tích phân là ừ ố

Nh n xét: ậ

0 )

sin (

1 )

1 cos

(

y

x x

y y

dx x

y y

c y

x x

y sin + =

là phương trình vi phân toàn ph n.ầ

Gi i phả ương trình này ta được nghi m t ng quát là: ệ ổ

