MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Do đó chúng tôi làm sáng tỏ một số mô hình các bài toán thực tế cho phƣơng trình vi phân và ứng dụng của nó, nhằm giúp ngƣời dạy và ngƣời học hiểu rõ hơn vai trò, ứng dụng c[r]

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Vũ Hồng Quân, Lê Bích Ngọc

Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Phương trình vi phân là một lĩnh vực của Toán học có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống Bài báo tập trung nghiên cứu xây dựng mô hình toán học của một số hệ thống thực dẫn tới phương trình

vi phân cấp 1 Thông qua mô hình đó tác giả trình bày 5 ứng dụng quan trọng: ứng dụng trong kinh tế, ứng dụng trong Vật lý, ứng dụng trong mô hình tốc độ tăng dân số, ứng dụng trong hình học, ứng dụng tốc độ trộn nguyên liệu Ở mỗi ứng dụng, tác giả xuất phát từ một bài toán thực tế rồi tìm mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán đó để hình thành nên phương trình vi phân Tác giả cũng giải nghiệm cụ thể các phương trình bằng phương pháp cầu phương Từ đó rút ra một số kết quả lý thú và bổ ích

Từ khóa: vi phân, đạo hàm, mô hình, hình học, vật lý…

GIỚI THIỆU*

Lý thuyết phương trình vi phân đóng vai trò

quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của

Toán học Hầu hết các quá trình tự nhiên đều

tuân thủ theo một quy luật nào đó mà phương

trình vi phân có thể mô tả được Bằng chứng

là các ngành toán học [3], cơ học, vật lý [1],

hóa học, sinh học, sinh vật, kinh tế, và xã

hội học đều liên quan đến phương trình vi

phân Vì thế, phương trình vi phân là một

môn học cần thiết cho hầu hết các ngành ở

bậc cao đẳng và đại học Tuy nhiên, trong quá

trình nghiên cứu môn học này, chúng tôi thấy

vẫn còn rất nhiều vấn đề cần lưu ý trong

giảng dạy và học tập Rất nhiều học giả chưa

hiểu rõ mối quan hệ phương trình vi phân với

thực tiễn đời sống Do đó chúng tôi làm sáng tỏ

một số mô hình các bài toán thực tế cho phương

trình vi phân và ứng dụng của nó, nhằm giúp

người dạy và người học hiểu rõ hơn vai trò, ứng

dụng của phương trình vi phân trong cuộc sống

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Ứng dụng trong hình học

Tìm phương trình đường cong (C): y f x( )

biết tiếp tuyến tại mỗi điểm cắt trục hoành tại

điểm khác có hoành độ bằng hai lần hoành

độ tiếp điểm

*

Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com

Ta có phương trình tiếp tuyến [3] tại M(x 0 ,y 0 ) có dạng: yy0  f x( 0)(xx0)

Giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:

0 ( 0)( 0)

Theo giả thiết x  2 x0 Vì M(x 0 ,y 0 ) bất kỳ nên đường cong (C) là nghiệm của phương trình

vi phân: y y

x

  

x

     

ln x

Ứng dụng trong kinh tế

Phương trình vi phân có tầm quan trọng và ứng dụng rộng rãi trong kinh tế Một trong những ứng dụng cụ thể là bài toán đầu tư vào ngân hàng

Ban đầu chúng ta gửi M triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm trong ngân hàng với lãi xuất kép Y% mỗi năm Mỗi tháng gửi thêm N triệu đồng vào tài khoản

Giả sử tiền gửi hàng tháng gần bằng tiền gửi liên tục để ta có thể ước tính hợp lý số dư bằng cách sử dụng phương trình vi phân Chúng ta xây dựng một bài toán giá trị ban đầu so với số dư theo thời gian như sau: Gọi X(t) là lượng tiền sau t năm

Một năm có 12 tháng, do đó mỗi năm chúng

ta bỏ thêm 12.N triệu đồng

Khi đó:

t t X t  Y% .t X t  12 .N t

Trong đó Y%.t X t   là số tiền lãi sinh ra

sau thời gian t và 12 N t là số tiền nộp

thêm vào

Từ đó:

t

X   



Cho  t 0 ta được:

%.X 12

X





%.X 12

X





1

ln %X 12

Y

%( )

Y %( )

Y %( )

%.X 12

12

% 100

12

Y t C

t C

t C

X

Y

Y









Khi t = 0 ta được 100Y lnM Y100. 12NC

Ứng dụng trong vật lý

Phương trình vi phân có nhiều ứng dụng quan

trọng trong vật lý Trong mục này chúng ta

khám phá 3 mô hình sau:

Bài toán 1 [1]: Một vật có khối lượng m rơi

tự do trong không khí với vận tốc v(t) Sức

cản không khí tỉ lệ với vận tốc rơi, hệ số tỉ lệ

là K Tính vận tốc rơi của vật

Theo định luật Newtơn ta có: F ma

F - Lực tác động lên vật gồm trọng lực và lực

cản không khí

a - Gia tốc rơi tự do của vật

dt

mv mg Kv

Đây chính là phương trình vi phân cấp 1 đối với vận tốc

Bài toán 2: Chu kỳ bán rã của nguyên tố M là

K năm, nghĩa là cứ khoảng K năm thì khối lượng của M giảm một nửa Ta thiết lập mô hình khối lượng của M theo thời gian t Gọi X(t) là khối lượng của nguyên tố M theo thời gian t năm

Ta có: X t   t X t( )K X t  .t

 

K X t t là khối lượng giảm theo thời gian t

K X t t

  

 



Cho  t 0 ta được:

 

X t

X t



( ) Kt

X t C e

Nếu khối lượng ban đầu của nguyên tố là m Tại t=0 ta có:

Kt

mC e  C m

Vậy: X t( )m e Kt

Bài toán 3 [2]: Cho một mạch điện gồm hiệu

điện thế E(V), điện trở R  , điện cảm L(H)

Xây dựng công thức cường độ dòng điện

Ta có:

Điện áp trên điện trở là RI

Điện áp trên cuộn cảm là L dI

dt Tổng các điện áp đó bằng điện áp cung cấp nên ta có phương trình:

LI RIE

R E

I I

L L



e I e I e



R R R





Nếu dòng điện bằng 0 khi t = 0 thì

R t L



      

lim

t

E

I

R

  , do đó ta thấy giới hạn dòng điện

là E

R A

Ứng dụng trong dân số học

Một mô hình cho sự phát triển của một

dân số được dựa trên giả định rằng dân số

phát triển với tốc độ tỷ lệ thuận với số

lượng của dân số Đó là một giả định hợp

lý cho một quần thể vi khuẩn hoặc động

vật trong điều kiện lý tưởng (không giới

hạn môi trường, dinh dưỡng đầy đủ,

không có kẻ thù, khả năng miễn dịch

bệnh) Xây dựng mô hình quần thể số dân

P(t) phụ thuộc theo thời gian biết tỉ lệ sinh,

tử tương ứng là a, b Tốc độ di cư là m

không đổi

Ta có:

P t  t P t aP t  t bP t   t m t

( ) ( )

t

  



Cho  t 0 ta được:

( ) ( ) ( )

P t  ab P t m

( )

1 ( ) ( )

P t



( )

( ) ( )

P t



1

ln (a b P t) ( ) m t C



( ) t ( ) C ea b m

P t



Tại t = 0

Từ đó ta rút ra kết luận: Để dân số tăng thì C

> 0  (a b)P0    m 0 m (a b)P0

Để dân số không đổi thì m (a b)P0

Để dân số giảm thì m (a b)P0

Ứng dụng trong sinh hóa học

Trong hóa học, bài toán điển hình liên quan đến một bồn chứa đầy với dung lượng cố định một dung dịch hỗn hợp của cùng một chất, như muối chẳng hạn Một dung dịch với nồng độ đã cho chảy vào bể với một tốc độ cố định và trộn, khuấy đều, chảy ra theo một tốc độ cố định, mà có thể khác với tốc độ chảy vào Nếu y(t) biểu thị lượng chất trong bể tại thời điểm t, thì y'(t)

là tốc độ mà tại đó các chất chảy vào trừ đi tốc độ mà nó chảy ra Mô tả toán học của tình trạng này thường dẫn đến một phương

trình vi phân phân ly cấp một

Một bể chứa 20kg muối hòa tan trong 5000 lít nước Nước biển có chứa 0.03kg muối trong 1 lít Cho nước biển chảy vào bể với tốc độ 25lít/phút Dung dịch pha trộn hoàn toàn và cho chảy ra khỏi bể với tốc độ tương tự Xây dựng mô hình phương trình tính lượng muối còn lại theo thời gian

Gọi y là lượng muối còn lại theo thời gian t phút, ta có:

( ) ( ) ( )

y t  t a  b t y t ; y(0)20

a - lượng muối chảy vào bể

b - tốc độ muối chảy ra

a b t

    



Cho  t 0 ta có y t( )(ab)

0,03 25 lít 0,75

kg

p

kg a

hút

( ) ( )

.25

lí

Vì thế ta có phương trình:

150 0,75

1

y

y



dt y





1

ln 150

200

Vì y(0) = 20 nên C ln130

/200 ( ) 150 130e t

KẾT LUẬN

Bài báo đã giới thiệu một số ứng dụng của

phương trình vi phân trong các lĩnh vực kinh

tế, khoa học tự nhiên, khoa học xã hội Từ đó

minh chứng cho sự quan hệ của phương trình

vi phân với các ngành khoa học khác Với

mỗi ứng dụng tác giả đã chỉ ra cụ thể được

mối quan hệ các yếu tố trong bài toán và từ

đó dẫn tới các phương trình vi phân Trong

ứng dụng trong kinh tế, cho phép ta tính toán

được số tiền gửi trong ngân hàng tại một thời điểm nhất định Trong ứng dụng dân số, giúp con người dự đoán được mô hình của một quần thể trong tương lai và có thể biết được quần thể

đó đang tăng hay giảm hoặc bình thường Trong ứng dụng hóa học, cho phép ta tính toán được tỷ

lệ pha trộn hỗn hợp theo ý muốn

LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại học kỹ thuật công nghiệp Thái Nguyên trong

đề tài cấp cơ sở năm 2016-2017 mã số T2016-70

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lương Duyên Bình (1985),Vật lý đại cương, tập

1, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên

nghiệp

2 Lương Duyên Bình (1985), Vật lý đại cương, tập 2, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên

nghiệp

3 Ôn Ngũ Minh (2011), Bài giảng học phần Toán

3, Lưu hành nội bộ - Trường Đại học kỹ thuật

công nghiệp - Đại học Thái Nguyên

SUMMARY

SEVERAL APPLICATIONS OF THE FIRST ODER ORDINARY

DIFFERENTIAL EQUATION

Vu Hong Quan * , Le Bich Ngoc

University of Technology - TNU

Differential equation is a field of mathematics that has many applications in life This article focuses on the mathematical modeling of some real systems that lead to the first oder ordinary differential equations Through this model, the author presents five key applications: application in economics, application in physics, application in population growth model, application in geometry, application in measuring rate of raw material mixing The author derives from the practical mathematical problems for each application and then finds the relationship between the elements in the problems to form the differential equation The author also solves the equations by the method of quadrature to give the explicit solutions What we learn from the results is interesting and useful

Keywords: Differential, derivative, model, geometry, physics

Ngày nhận bài: 28/7/2017; Ngày phản biện: 24/10/2017; Ngày duyệt đăng: 30/11/2017

*

Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com