Đại Số Tuyến Tính Chương 1: Ma trậnHệ phương trình tuyến tính

Ma trậnHệ phương trình tuyến tính Giới thiệu về ma trận Các phép toán trên ma trận Phép biến đổi sơ cấp Hạng của ma trận Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ma trận khả nghịch

Đại Số Tuyến Tính

PhD DINH VAN HOANG

Tài liệu tham khảo

1 Đại số tuyến tính, Bùi Xuân Hải - Trịnh Thanh Đèo -Thái

Minh Đường -Trần Ngọc Hội, ĐHKHTN.

2 Linear Algebra with Applications, W Keith Nicholson,

McGraw-Hill.

3 Elementary Linear Algebra (Applications version),

Howard Anton & Chris Rorres, Willey.

4 Linear Algebra and its application, Gilbert Strang.

Linear Programming and Game Theory: Chapter 8, Book 2.

Cách tính điểm trung bình môn:

Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2: Định thức

Chương 3: Không gian vector

Chương 4: Không gian Euclide

Chương 5: Trị riêng, vector riêng, chéo hóa ma trận Chương 6: Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương

Contents

Giới thiệu về

Hệ phương trình tuyến tính và Ma trận

Hệ 2 phương trình 2 ẩn

Hệ 3 phương trình 3 ẩn

Định nghĩa: Ma trận cỡ m × n trên là một bảng ℝ là một bảng gồm m.n số thực được viết thành m hàng và n cột như sau:

Kí hiệu: A = [aij]mxn

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên R được ký hiệu là Mmxn(R)

m m m n

Các ma trận đặc biệt:

5 Ma trận cột: là ma trận có n=1.

Ma trận cột có dạng:

11 21

1

m

a a a

Các ma trận đặc biệt:

6 Ma trận hàng: là ma trận có m=1.

Ma trận hàng có dạng:

 a a11 12 a1n 

Các ma trận đặc biệt:

7 Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mxn,

ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu AT

và xác định AT=[bij]nxm với bij=aji với mọi i,j

(chuyển hàng thành cột)

* Khi A= AT thì A được gọi là ma trận đối xứng.

* Khi A = -AT thì A được gọi là ma trận phản đối xứng.

Các tính chất: Giả sử A,B,C là các ma trận cùng

cấp và 0 là ma trận không cùng cấp khi đó:

) )

Các tính chất: là hai ma trận cùng cấp, khi đó

Sinh viên tự kiểm tra.

3 Phép nhân hai ma trận:

Cho hai ma trận A= [aij]m×p và B = [bij]p×n Khi đó tích

của hai ma trận A, B là ma trận C = [cij]m×n được định nghĩa bởi

cij= ai1 b1j + ai2b2j + + aipbpj

Như vậy cij= hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

 Phép nhân 2 ma trận có tính giao hoán không ???

2 10 4

 Phép nhân 2 ma trận có tính triệt tiêu không ???

 Ví dụ:

KHÔNG

???

AB   A   B 

Các tính chất:

Xét hệ phương trình và ma trận biểu diễn tương ứng

Ta sẽ giải HPT bằng các phép biến đổi trên các phương trình, và quan sát các biến đổi tương ứng trên các dòng của ma trận

Dòng 2 = dòng 2 – 2 x dòng 1

§3 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Dòng 3 = dòng 3 – 3 x dòng 1

Dòng 2 = (1/2) dòng 2

Dòng 3 = dòng 3 – 3 x dòng 2

Dòng 3 =- 2 x dòng 3

Dòng 1 = dòng 1 – dòng 2

Dòng 1 = dòng 1 – (11/2) x dòng 3

Ví dụ:

Phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Trong các ma trận sau, ma trận nào có dạng bậc thang ???

, , ,

Ma trận đơn vị

Ma trận chéo.

Trong các ma trận sau, ma trận nào có dạng chính tắc dòng ???

, , ,

Ma trận đơn vị

Ma trận chéo.

Ví dụ:

B là mtbậc thang nên B là 1 dạng bậc thang của A.

??? A có bao nhiêu dạng bậc thang?

Nhận xét: Quan hệ tương đương dòng là 1 quan hệ tương đương, nghĩa là:

và

Ma trận tương đương dòng

Thuật toán tìm dạng bậc thang của ma trận

Thuật toán chính tắc: Đưa về dạng chính tắc

• Đưa phần tử trụ về 1: Dùng phép biến đổi

• Đưa các phần tử phía trên phần tử trụ mới () về 0.

Đưa phần tử trụ về 1: Dùng phép biến đổi

Ma trận thu được là một dạng bậc thang của A.

Thuật toán tìm dạng chính tắc của ma trận

Định nghĩa:

Hạng của ma trận A, kí hiệu: r(A).

r(A) = số dòng khác dòng không của một dạng bậc

thang của A.

§4 Hạng của ma trận

Tính chất

Vậy: A cấp thì

• Nếu thì